高中数学必修二 6 模块综合检测

1、模块综合检测 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i为虚数单位，则zeq f(i,12i)在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.zeq f(i,12i)eq f(i（12i）,1（2i）2)eq f(2i,5)eq f(2,5)eq f(1,5)i，其对应的点eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)，f(1,5)位于第二象限2(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直

2、线D，垂直于同一平面解析：选B.对于A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确综上可知选B.3如图所示的直观图，其平面图形的面积为()A3B6C3eq r(2) D.eq f(3r(2),2)解析：选B.由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4，3的直角三角形，其面积为Seq f(1,2)436.4在120个零件中，一级

3、品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的比例为()A.eq f(1,24) B.eq f(1,36)C.eq f(1,5) D.eq f(1,6)解析：选D.由题意知抽取的比例为eq f(20,120)eq f(1,6)，故选D.5从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A10 B20C8 D16解析：选B.由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.000.750.25)0.20.

4、4，人数为0.45020.故选B.6一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是()A2，2，3，1 B2，3，1，2，4C2，2，2，2，2，2 D2，4，0，2解析：选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2，所以只需计算它们的方差就可以第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8；第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2.7已知a(1，0)，b(1，1)，且(ab)a，则()A2 B0C1 D1解析：选D.因为ab(1，0)(，)(1，)，所以(ab)a(1，)(1，0)1.由(ab)a得10，得1，故选D.8从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

5、()A.eq f(4,9) B.eq f(1,3)C.eq f(2,9) D.eq f(1,9)解析：选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：(1)当个位为奇数时，有5420个，符合条件的两位数(2)当个位为偶数时，有5525个，符合条件的两位数因此共有202545个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为Peq f(5,45)eq f(1,9).9甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq f(1,2) B.eq

6、f(3,5)C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)解析：选D.设Ai(i1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军法一：BA1eq o(A,sup6()1A2，故P(B)P(A1)P(eq o(A,sup6()1)P(A2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(3,4).法二：P(B)1P(eq o(A,sup6()1eq o(A,sup6()2)1P(eq o(A,sup6()1)P(eq o(A,sup6()2)1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(3,4).10如图，在ABC中，eq o(AD,sup6()eq f(2,3)

7、eq o(AC,sup6()，eq o(BP,sup6()eq f(1,3)eq o(BD,sup6()，若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则eq f(,)的值为()A3 B3C2 D2解析：选B.因为eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，所以eq o(BP,sup6()eq f(1,3)eq o(BD,sup6()eq f(1,3)(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6().所以eq o(AP,

8、sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BP,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()，又eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，所以eq f(2,3)，eq f(2,9)，从而eq f(,)3，故选B.11如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为eq f(,3)，aeq o(AB,sup6()，beq o(CD,sup6()，则ab()A5 B1C3 D6解析：选B.设菱形中过A点的两邻边对应的向量分别表示为i，j，且i的方向水平向右，则|i|j|1，i，

9、j60，从而ijeq f(1,2).因此ai2j，b3i2j，所以ab(i2j)(3i2j)3i24ij4j2312411eq f(1,2)4121，故选B.12如图，在矩形ABCD中，EFAD，GHBC，BC2，AFFGBG1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为()A24 B6C.eq f(16,3) D.eq f(8,3)解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为eq f(2,3)eq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)eq f(r(3),3).因为三棱

10、柱的高BC2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup12(2)12)eq f(2r(3),3)，所以三棱柱外接球的表面积S4R2eq f(16,3).故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分134，4，6，7，7，8，9，9，10，10的30%分位数为_，75%分位数为_解析：因为1030%3，1075%7.5，所以30%分位数为eq f(x3x4,2)eq f(67,2)6.5，75%分位数为x89.答案：6.5914同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二

11、、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.6，P(A3)0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3A1eq o(A,sup6()2A3eq o(A,sup6()1A2A3发生，故所求概率为PP(A1A2A3A1eq o(A,sup6()2A3eq o(A,sup6()1A2A3)P(A1A2A3)P(A1eq

12、 o(A,sup6()2A3)P(eq o(A,sup6()1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(eq o(A,sup6()2)P(A3)P(eq o(A,sup6()1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46.答案：0.4615如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBC，AA1AC2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30，则该三棱柱的侧面积为_解析：连接A1B.因为AA1底面ABC，则AA1BC，又ABBC，AA1ABA，所以BC平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为CA1B30.又

13、AA1AC2，所以A1C2eq r(2)，BCeq r(2).又ABBC，则ABeq r(2)，则该三棱柱的侧面积为2eq r(2)22244eq r(2).答案：44eq r(2)16在矩形ABCD中，AB2，AD1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足|eq o(DP,sup6()|eq o(BQ,sup6()|，则eq o(PA,sup6()eq o(PQ,sup6()的最小值为_解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0 x2，2y0.因为|eq o(DP,sup6

14、()|eq o(BQ,sup6()|，所以|x|y|，所以xy.因为eq o(PA,sup6()(x，1)，eq o(PQ,sup6()(2x，y1)，所以eq o(PA,sup6()eq o(PQ,sup6()x(2x)(y1)x22xy1x2x1eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)，所以当xeq f(1,2)时，eq o(PA,sup6()eq o(PQ,sup6()取得最小值为eq f(3,4).答案：eq f(3,4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，

15、其中a(1，eq r(3)(1)若|c|4，且ca，求c的坐标；(2)若|b|1，且(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(5,2)b)，求a与b的夹角.解：(1)因为ca，所以存在实数(R)，使得ca(，eq r(3)，又|c|4，即eq r(232)4，解得2.所以c(2，2eq r(3)或c(2，2eq r(3)(2)因为(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(5,2)b)，所以(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(5,2)b)0，即a2eq f(3,2)abeq f(5,2)b20，所以4eq f(3,2)21cos eq f(5,2)

16、0，所以cos eq f(1,2)，因为0，所以eq f(,3).18(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知Ceq f(,6)，a2，ABC的面积为eq r(3)，F为边AC上一点(1)求c；(2)若CFeq r(2)BF，求sinBFC.解：(1)因为SABCeq f(1,2)ab sin Ceq f(1,2)2bsin eq f(,6)eq r(3)，所以b2eq r(3).由余弦定理可得c2a2b22ab cos C412222eq r(3)cos eq f(,6)4，所以c2.(2)由(1)得ac2，所以ACeq f(,6)，ABCACeq f(2,3)

17、.在BCF中由正弦定理得eq f(CF,sinCBF)eq f(BF,sinBCF)，所以sinCBFeq f(sin f(,6)CF,BF).又因为CFeq r(2)BF，所以sinCBFeq f(r(2),2)，又因为CBFeq f(2,3)，所以CBFeq f(,4)，所以sin BFCsin(CBFBCF)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,6)eq f(r(2)r(6),4).19(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED中，AD平面ABC，CE平面ABC，ACADAB1，BCeq r(2)，CE2，F为BC的中点(1)求证：AF平面BDE；(2)求

18、证：平面BDE平面BCE.证明：(1)取BE的中点G，连接GF，GD，因为AD平面ABC，CE平面ABC，所以ADEC，且平面ABC平面ACED.因为GF为三角形BCE的中位线，所以GFECDA，GFeq f(1,2)CEDA1.所以四边形GFAD为平行四边形，所以AFGD，又GD平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为ACAB1，BCeq r(2)，所以AC2AB2BC2，所以ABAC.所以F为BC的中点，所以AFBC.又GFAF，BCGFF，所以AF平面BCE.因为AFGD，所以GD平面BCE.又GD平面BDE，所以平面BDE平面BCE.20(本小题满分12分)某超市随机

19、选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq f(200,1 000)0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购

20、买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq f(100200,1 000)0.3.(3)法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq f(200,1 000)0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq f(100200300,1 000)0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq f(100,1 000)0.1.所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大法二：从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙；同时购买了甲和丁的顾客，也都购买了丙；有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁所以，如果顾客购买了甲

21、，那么该顾客同时购买丙的可能性最大21(本小题满分12分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组20，25)，第2组25，30)，第3组30，35)，第4组35，40)，第5组40，45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人(1)分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率解：(1)由题意，因为第1组有5人，则0.015n5，n100，所以第3组有0.06510030(人)，第4组有0.04510020(人)，第5组有0.02510010(人)所以利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)