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1、二元函数的极值第1页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日 第八章 第五节二元函数的极值及其求法第2页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日一元函数极值的概念第3页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日一、 二元函数的极值 定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第4页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理1 (必要条件

2、)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 ,则有存在故第5页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日时, 具有极值定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数第6页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日例1.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步

3、 判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第7页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;第8页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日第9页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日练 习第10页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日例2.讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为第11页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化第12页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有第13页，共14页，2022年，5月20日，8点2分，星期日引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值

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