专题一函数与方程的思想方法

1、专题一函数与方程的思想方法第1页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日第一部分数学思想方法专题一 函数与方程的思想方法第2页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)y=0，通过方程进行研究. 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究

2、的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。专题一 函数与方程的思想方法知识概要第3页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量

3、关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.专题一 函数与方程的思想方法知识概要第4页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 3.(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程yf(x)=0.函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f

4、(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点. (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.专题一 函数与方程的思想方法知识概要第5页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要. (4) 函数f(x)(ax+b)n （nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题. (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通

5、过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论. (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.专题一 函数与方程的思想方法知识概要第6页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日1.对任意a1,1，函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值总大于零，则x的取值范围是（ ） A.1x3 B.x1或x3 C.1x2 D.x1或x2解析 依题意有x2+(a4)x+42a0恒成立， 即(x2)a+x24x+40恒成立. 令g(a)=(x2)a+x24x+4，把g(a)看作是关于主元a的函数， 则g(a)是一次函数（x2）或

6、是常数函数（x=2）， 因为a1,1，要g(a)0恒成立，只需 ， 解得x1或x3，故选 B 点评 本题中，体现了主元的思想，对于多个字母恒成立的问题，这是一种基本方法.B专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第7页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日2.已知 (a,b,cR)，则有 （ ）A.b24ac B.b24acC.b24ac D.b24ac解析 解法1：依题意有：a5b +c=0， 是实系数一元二次方程ax2bx+c=0的一个实根，=b24ac0，b24ac. 故选B. 解法2：去分母，移项，两边平方得： 5b2=25a2+10ac+c210ac+25ac=20ac,

7、 b24ac.点评解法1通过简单转化，将其看作一个一元二次方程的解，敏锐地抓住了数与式的内在特点，利用方程思想使问题迎刃而解；解法2转化为b2关于a、c的函数(可看作是二元函数)，利用重要不等式求解，其求解的思想实质是函数的思想方法.B专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第8页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日3.不等式4x +log3x+x25的解集为 （ ） A.R B.R+ C.x|x1 D.x|x2 解析考察函数f(x)=4x+log3x+x2,定义域为 （0,），在（0,）上不难得知函数f(x)为单调递增的，当x1时，f(x)=5,故4x+log3x+x25的解集

8、为x|x1. 点评此题初一看上去,是一个含有指数,对数的不等式的题,感觉很难求解.但此题的解法却是巧妙地构造了函数,利用函数的单调性进行求解.这也体现了函数的思想在解题中的应用. C专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第9页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日4.已知sincos= ，( ，)，则 tan的值是（ ） A. B. C. D. 解析设tan x(x0）， 则 ， 解得x2，再用万能公式，选A.A专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第10页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日5.已知等差数列的前n项和为Sn，且Sp=Sq(pq，p,qN*)，则S

9、p+q=_解析利用 是关于n的一次函数，设SpSqm ， ，则（ , p ）、( , q )、(x，p+q )在同一直线上，由两点斜率相等解得x0.0专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第11页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日6.已知f（x）=lg ，且f（1）=0，当x0时，总有f（x）f（ ）=lgx.（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是，求实数m的取值范围.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第12页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日解析（1）由f（1）= 0得：a+b=2 又f（x） f（ ）=lgx， lg

10、lg =lgx，从而 = x， x0，（ab）（x1）=0 对x0总成立， 则a=b 由解得：a=b=1，f（x）= lg .专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第13页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日（2）原方程f（x）=lg（m+x）可化为 m+x，且x0或x1, 令g（x）= x = +（x+1）+3， 当x0时， +（1+x）2 （x= 1时取等号）， g（x）32 . 当x1时，（ ）+（x+1）2 （x= 1时取等号）， g（x）3+2 . 故方程g（x）=m的解集为时， m的取值范围为（32 ，3+2 ）. 专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第14页，共2

11、3页，2022年，5月20日，1点18分，星期日点评（1）列出方程，运用方程思想求解参数是求参数常用的基本方法. （2）构造辅助函数g（x），运用函数思想求值域是确定参数m的取值范围的关键，其次要注意求补集思想的运用.一般地，函数g（x）的值域为D，则方程 g（x）=m有解的充要条件是mD，解集是的充要条件 是mCRD.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第15页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日7. 对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)（1）若a=1,b=2时，求f(x

12、)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值解析（1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第16页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日（2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两

13、相异实根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第17页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B关于y=kx+ 对称，k=1 设AB的中点为M(x,y).x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的两个根，x=y= = ， 又点M在直线y=x+ 上有 ，即a0，2a+ 2 当且仅当2a= 即a= (0,1)时取等号，故b ，得b的最小值 .专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第18页

14、，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日8. 如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a (0a ). ()求MN的长; ()当a为何值时,MN的长最小. 分析取a作为变量，建立MN的长的表达式，利用函数思想求MN的最小值.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第19页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 解析()作MPAB交BC于点P,NQAB交BE于点Q,连结PQ,依题意可得MPNQ,且MP=NQ, 即MNQP是平行四边形，所以MN=PQ, 由已知，CM=BN=a, CB

15、=AB=BE=1. 所以AC=BF= , 即 CP=BQ= .专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第20页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日()由()得MN= 所以，当a= 时,MNmin= .即M、N分别移动到AC、BF的中点时,MN的长最小,最小值为 . 点评利用函数关系建立MN的长与a 的函数关系是解决本题的关键.立体几何中的最值问题常借助函数思想求得.专题一 函数与方程的思想方法考题剖析第21页，共23页，2022年，5月20日，1点18分，星期日 1.函数思想的应用主要有：求变量的取值范围，从而转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题. 运用方程观点解决问题主要有两个方面：一是从分析问题的结构入手，找主要矛盾，抓住某一关键变量，将等式看成关于这个主变量(常称主元)的方程，然后具体研究这个方程；二是在中学中常见的如求曲线交点，求函数值域等问题，经常转化为方程问题去解决.专题一 函数与方程的思想方法规律总结第22页，共23页，2022年，5月20日，1点18分