弹性力学课件塑性

1、第四章应力与应变的关系（二）物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。如果将力去掉以后，不能恢复状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。4.6 塑性的基础知识金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。（1）塑性变形不引起体积的变化；（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。 其破坏主要归于微裂纹的发展； 塑性性状包含体积的改变；压特性存在很大的区别。简单拉压时的塑性现象拉 E ；变形可恢复，但不成线性比例关系；屈服；强化

2、；软化；卸载，再加载，后继屈服， s s1 s ； s。初始屈服条件后继屈服条件 H( )p与塑性变形的历史有关， s， 弹性阶段；ss当d 0加载卸载 ，d 0sBauschinger 效应4.7应力张量的分解（对第三章的补充） x yx zx m000zy 00 xyym0 zx zy yxm xzyzz x m xy y m m xzyzz记2 m0 m000 mij00m ： ij mijsij yxsy zx sxsij xy zy sxzyzzsx xsy ysz z m m m应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。I1 (sij

3、) sx sy sz 0 )I (s ) (s ss ss s) (2xy2yz22ijxyyzzxzx3I3 (sij ) det(sij )因为 (sx sy sz ) 02 s s -2(s ss ss ss222)xyzxyyzzx所以(sxsy sysz szsx ) 2 (s s) 1 (s ss ss ss ss s)xyyzzxxyyzzx331s s s - (s s s ss s222)xyzxyyzzx3 1(ss(s(s)2)2- s )2 - sxyyzzx6 1( (- (- )2)2)2 xyyzzx6所以4I2 (sij ) 1( (- (- )2)2)2xyy

4、zzx6 6( )2xy2yz2zxI2 (sij )也可以写成如下形式： )I (s ) (s ss ss s) (2xy2yz22ijxyyzzxzx1 )(s s s ) 2(2222xy2yz2xyzzx2 1 s sijij2如果坐标轴为主轴，则有I1 (sij ) sii s11 s22 s33 0I2 (sij ) 1( (- (- )2)22) 1223316I3 (sij ) (1 m )( 2 - m )( 3 - m ) s1s2s354.8八面体应力、应力强度（第三章的补充）1l m n 3 xl yxm zxn 1l xyl ym zyn 2m xzl yzm zn

5、3nfvxfvyfvz m n2vy2vz2 222222fl131 212223()3m fn fl f2m2n2loctvxvyvz123 1 ( ) 123m3 13f 22octoctv1 ) ( 21222)2(31239 1 )212222(312233136 1 )212222(31223313 1( (- (- )2)221223313- 1 ) ( (6)-)2 I(s )2ij3定义应力强度1( (- (- ) )2)22i12233123 3I (s )oct2ij2对于一压问题1 ， 2 3 0 i 4.9应变张量的分解（第四章的补充）7 00 112122xyxzxm

6、 0012xyyzym 0 1 012 m 2xzyzz121212x1212myxzx xyy12mzy 记m xzyzz m0m00 0 mij 0 0m ： ij偏应变张量 mijeijeij 121212x1212myxzx xyy12mzy m xzyzz8主偏应变为 e1，e2 ，e3 ，三个偏应变不变量为：J1 e11 e22 e33 0J (e e ee e) (e e e)222e2J3112222333311122331 det(eij ) e1e2e3其中J2 可表示为J 1 e e2ijij2 1( (- (- )2)2)2xyyzzx6 ) 6(222321231 1

7、( (- (- )2)2)2xyyzzx6 3 ( )2221223312 1( (- (- ) )2)221223316定义应变强度92Ji232( (- (- ) )2)221223319对于一压问题 - 1 ，1232（塑性变形时泊松比取 0.5）i 4.10应力空间OA OA A A OA OA直线 L （OA ）上 1 2 3，代表应力球张量。垂直 L，通过坐标原点的平面称为平面，1 2 3 0注意到 s1 s2 s3 010可知 OA总是在平面内的。在平面内投影2 2 3；cos 23222223即原来长度为 1 的变为。 2 2 ,-1 31 111226 2 3 23 1 2

8、-1 33 ,322262 1 3 2 s1 s3 x 22111122 1 - 3 2s2 s1 - s3 y 66采用极坐标2r y22I (s ) x22iji31 2 2 1 - 3 tg y 13 - x313 为 Lode 参数。2 s s由 x 1322r coss1 s3 2x 利用s2 (s1 s3 )12ss - s 由 y 213612 2y 2r sins s1333得到2r sin( 2 )s 1332r sin( 2 )s 333而2r sins (s s ) 21334.11屈服条件(1)Tresca 屈服条件（图 2-8（b） 1 3 1 k（k 即为屈服应力）

9、maxs2 k21 31k( x ) 1322(2)Mises 屈服条件（图 2-8（b）13圆的半径为kk232 2 k3cos30o2圆的方程为2 y2 k2 x23 因为2 x 13212 - y 2136(1 2 ) ( - ) ( - ) 2k22222331因为1( )2 (- )2 (- )2i1223312所以 i k143I2 s(1)Tresca 条件与 Mises 条件比较取 k s， s 为单向拉压时的屈服应力。对于 Tresca：1 3 s，即1 3 s 1对于 Mises：2 222 y s3x，即21 y 3x3 12 1 x s13223( tg y 1 )x3

10、1 3 2 s3 2 1，1 3 2 1拉压时 s15 0，1 3 2 1.15 2剪切时 s3(4)Lode 实验4.12加、卸载准则初始屈服面f ( ij ) 0后继屈服面f ( ij , k ) 0k为硬化参数。(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则f ( ij ) 0f ( ij ) 0弹性且) f ( ) f ddf f ( d 0ijijijij ij加载f ( ij ) 0且16) f ( ) f ddf f ( d 0ijijijij ij卸载。f为分量的矢量就是函数 f 的梯度，所以以ij) 00，n 0，n f (d加载ij 0f (d卸载ij(2) 硬化材料的加载和卸载准

11、则f ( ij , k ) 0 0fd卸载ijij即n d 0 f ( ij , k ) 0 0fd中性变载ijij即n d 0 17f ( ij , k ) 0 0fd ij加载ij即n d 0 4.13 硬化模型（1）单一曲线假设单向拉压曲线 ( )假设应力强度与应变强度的关系与单向拉压曲线一致，所以 i (i )（2）等向硬化条件Mises 初始屈服条件 i k s后继屈服条件p i H ( di )，其中H (0) sJ 1 e e2ijij21822 eJei2ijij33231e2 e2 e2 (2xy 2 2 )xyzyzzx2ij mij eij，即因为ex x m，ey y

12、m ,ez z m由于塑性变形只涉及形状的改变而没有体积的变化，所以ep p ，ep p ，ep pxxyyzz塑性应变增量强度d2 d pdpp ijiij3(d231 (dp )22 )2xzx2p伸时， i H ( di )一变为 H ( p ) H ( d p )的是H 。感因为 e p19 ( ) ( epp ) ( )Ed 1 d d pE d EE pd又 H ( d p )，所以d H d pH dpd（3）（4）随动硬化模型组合硬化模型4.14（1）Drucker 公设稳定材料和不稳定材料附加应力做功正时，附加应力做功负时，（2）Drucker 公设 0，材料是硬化的， 0，

13、 材料是软化的。W P ( ij d ij 0 )d p 0ijij当 ij 0 ，忽略高价无穷小，得到ij( ij 0 )d p 0ijij20 0时， d ij d p 0当ijijij（3）屈服面的外凸性和塑性应变增量的法向性利用 Drucker 公设证明外凸性和法向性，将应力空间与应变空间重合， ij 用OA表示， 0用ijOA0 表示，即A A d 0p0利用上式可证外凸性和法向性。 ij上式关于时间求导 f pij ij i s，屈服面可表示为对于 Mises 屈服条件f i s，又因为 i 3I2 ，所以也可写为 2f I2 s 0，3 d I2 ij ij21Iij， I2 1

14、 s sI s因为，所以2ij ijijs2ijijd p d sijij4.15全量理论(1)广义定律 1 )； 1 (xxyzxyxyEG 1 )； 1 (yyzxyzyzEG 1 1 )； (xzzxzxzxEG 1 ijijkkijEE 1 3 1- 2 iiiiiiiiEEE22( kk )e ijijijmijij3 1 1- 2 kk )(ijkkijijEEE3 1 3 1- 2 ijmijmijEE E 1 1sijmijijE2G为了便于推广到塑性情况，并与塑性力学写法一致。考虑E2(1 )E EG 2(1 0.5)31 3i i Ei 3Gi又即2 i2G所以 1 s 3

15、iesijijij2 i2G(2)1943 年全量理论 1- 2 iiiiE sijeij23下面确定，3223，s se eiij ijiijij所以2322 2 2s siij ijii333 3i3i2(i )2 i i (i )按单一曲线假设。(3) 全量理论的适用范围简单加载定理（伊留申）荷载按比例单调增长，位移边界条件，只能是零位移边界条件； 0.5； 材料的 i i曲线具有 i A m形式。i4.16增量理论(1) Levy-Misesd ij d sij法则(d 0)即应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成24比例。由 Sa-Venant 首先提出。(2) Prandtl-Re

16、uss法则0)d p d sij(dij因为 d p depijd pmijij 1 d p考虑塑性的不可压缩性 d p 0mii3所以 d p dep， 即ijijdep d sij，又ij1dee dsijij2G所以1 dee dep d sdedsijijijijij2G1 diid k（k体积变化是弹性的）E(3) 弹塑性硬化材料的增量型本构关系考虑 Mises 条件的等向硬化 i H( d p )i23因为 d p d pd piijij25把 d p d sij代入上式，得ijd p 2 ds 2 d3 ss 2 d sij ijij ijii33233d pd i 2 i又 H

17、 d i ， d i即 d piHd pi所以3d i2H id 3d i2H ide 1 ds sijijij2G1 diid kkE(4) 增量型本构方程的矩阵形式根据塑性应变分量与偏应力分量之间的关系：d p d sxx26d p 3 xy d p 3sxd pd p，xxyii2 i id p 3 yz d p 3syd pd p，yyzii2 i i 3 zx 3szd pd p，d pd pzzxii2 i i 212因为 i I2 ，I2sijsij3I2 I2 sij ijsij所以 2I2) i ii2 sx( x x x33 i 3sx x2 i id pd pxi x27

18、 i xi d p y x d py p i ddpzzi i d pxy xy d pyz id pzxyz i zx d pp iid 考虑 i H( d p )i i id idddixyzx x y zxTd p iH di 28d De d d pTTD pdiidd e即 i T i p dpH d id DeiTD id epdiTH i D i e所以TD iid ep dT i H iD e弹塑性应力应变关系为29 i i TDeDedd D i e i TD He4.17非金属材料塑性理论与金属塑性力学的主要差别是考虑平均应力的影响。(1)Mohr-Coulomb 条件 n n tg C 1 ( ) 1 ( )sinn131322 1 ( )cosn132由上述公式1 ( ) 1 ( )sin Ccos131322注意到 1 ()，s m （ 1,2,3) m1233301 (s s ) 1 (ss )sin sin Ccos1313m222 s s 由 x 132y