高考冲刺三角函数的概念图象和性质

1、高考冲刺三角函数的概念图象和性质编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的 性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来， 即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要 能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的 思想方法三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部

2、分内容时有明显的降调倾向，突出 正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重 点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本 技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合 检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。当然，这一部分知识最可能出现的是 “结合实际，利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性 质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命 题趋

3、势。从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、y Asin( x )的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等预测今年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为 载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现 【知识升华】方法技巧：.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记 忆，这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记

4、忆方法可概括为“奇变偶不变， 符号看象限，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的C.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为 “一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值3为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调

5、性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域；(2)利用sin x,cos x的有界性求值域；(3)换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性.三角函数的图象与性质(一)列表综合三个三角函数y sin x , y cosx , y tanx的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义.会求y Asin( x )的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况； 会从图象归纳对称轴和对称中心；y sin x的对称轴是x k (k Z),对称

6、中心是(k ,0) (k Z)；2y cosx的对称轴是x k (k Z),对称中心是(k -,0) (k Z) 2ky tanx的对称中心是(,0)( k Z) 2 TOC o 1-5 h z 注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意0.(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 y Asin( x )的简图，并能由图象写出解析式.“五点法”作图的列表方式；求解析式y Asin( x )时处相 的确定方法：代(最高、低)点法、公式x1.(三)正弦型函数 y Asin( x )的图象变换方法如下：先平移后伸缩向左(0)或向右(0)y sin x的图象平移

7、个单位长度,口横坐标伸长(0 1)得y sin(x )的图象1y ()到原来的2纵坐标不变)sin( xAsin( x）的图象向上（k 0）或向下（k 0）平移卜1个单位长度Asin(xk的图象.先伸缩后平移y sin x的图象纵坐标伸长（A 1）或缩短（0 A 1）为原来的A倍（横坐标不变）横坐标伸长（01）或缩短（1）Asin x的图象到原来的L纵坐标不变）Asin( x)的图象向左（0）或向右（0）平移一个单位Asin x( x )的图象向上（k 0）或向下（k 0）平移四个单位长度得 y Asin( x）k的图象.【典型例题】类型一、三角函数的概念【例1】在平面直角坐标系 xOy中，将

8、点A(1 ，J3）绕原点O顺时针旋转90。到点B,那么点B的坐标为;若直线OB的倾斜角为a ,则sin 2a的值为【思路点拨】根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角 a ,可求sin 2 a .【答案】（5-1）/32【解析】如图所示,点A的坐标为（J3 ./ AOx= 60 ,又/AO9 90 ,BOx= 30 ,过B作Bd x轴于C,. OB= 2,. OC=石，BC= 1,.点B的坐标为（&则直线OB的倾斜角为sin 25 a = sin 3=sin_32【总结升华】三角函数的定义与诱导公式的应用（1）三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定

9、义求三角 函数值有时反而更简单.纵坐标伸长（A 1）或缩短（0A cos x成立的x的取值范围为A.(4,2)（,t）B. (一, ) C. (, ) D.44 4（了 ） （答案 C【解析】在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在 （0,2兀）内， sin x cos x,则 xC (一4 例2已知角a的终边落在直线3x+4y=0上，求sin a ,cos a ,tan a的值。P ( 4t,-3t ) (t【思路点拨】 本题求“的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角a的终边上任意一点W 0）,求出r,由定义得出结论。【解析】角&的终边在直线 3x+4y=0上，在角&的终边上任取一点P (

10、4t,-3t)(tW0)贝U x=4t,y=-3t.,r= x2y2 = , (4t)2 ( 3t)2 =5|t|,当t0时,r=5t,siny =t当t0,cos 0,sin-cos asin由cossinsincoscos .tan. 22sin cos(2). 22sin cos2 costan21. tan一2一. 2cossin2 cos2 sin2. 2cos sin1 tan2_ 2-2cos sin2 costan211 tan2【总结升华】(1)对于sin a +cos a ,余二式的值可求。转化的公式为(sin(令2251 ( 4)23sin a cos a ,sin a

11、-cos a这三个式子，已知其中一个式子的值，其c cos a )2=12 sin a cos a ; (2) 关于 sin a , cos a 的齐次式,往往化为关于tanx的式子。【例4】已知一扇形的圆心角是a,所在圆半径是R。若a =60, R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。若扇形的周长是一定值 C ( C0),当a是多少弧度时，该扇形有最大面积?【思路点拨】(1)利用弧长、面积公式求解；(2)把扇形面积用a表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。(1)设弧长为l ,弓形面积为S弓，600 ,R 310,10(cm),Si1010 1 102 sin600, 250

12、(一332-2-)(cm ).(2)方法一：二.扇形周长C=2R+l =2R+(f)R, R=CC2当且仅当C(2C2)2C2164一,即 a =2 ( a =-2 舍去)时，扇形面积有最大值二16方法二：由已知 2R+l =C,R =(i C), 2S 1Rl1 C1 l 1(Cl l2)c2162224C216，4(lC.当l 一时 s Jmax2C此时 2一 2R CC 22 当a =2弧度时，扇形面积有最大值C216【总结升华】 合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同 的方法求最值，这是解决问题的关键。举一反三:【变式】若cos 2sin底则t

13、an=()1一2【解析】由cos12(C)一22sin 、, 5 可得：由 cos(D)2展 2sin ,又由 sin2cos21 ,可得：sin2+ ( V5 2sin ) 2= 1可得sincos.5 2sin所以，tan =s = 2。 cos【总结升华】对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin22 cos成方程组，解方程组来求解。类型三、诱导公式【例 5】化简：sin一)cos(k 1)一 sin(k 1) cos(k )(k Z)【思路点拨】 化简时注意观察题设中的角出现了k ,需讨论k是奇数还是偶数。【解析】当k 2n(n Z)时,原式sin(2 n )cos(2

14、n 1)sin(2 n 1) cos(2 n )sin()gpos()sin( )cossin ( cos )sin gsos当 k 2n 1(n Z)时原式 sin(2n 1)gcos(2n 1 1)sin(2n 1 1) gcos(2n 1)sin gcos 1sin c( cos )sin( )gpos sin gcos( )综上，原式=-1【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立,记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin a与cos a对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中k ?+2a的整数k来讲的，象限指k? +a中，将a看作

15、锐角时，2cos ( 3 ? + a ),因为3是奇数，则“ cos ”变为对偶函数符号2a )为+,所以有 cos( - + a )=sin a。2例6. (2015宜宾县模拟)在 ABC中，角A为锐角，且3一八k? 一+a所在象限，如将 cos(+”)与成22“sin ”，又2+ a看作第四象限角，cos( +22f (A)=cos (兀 -2A) 1sin (冗+93二口+cos2A.(1)求f (A)的最大值； 若h+g%，f (A)=L BC=2,求 ABC的三个内角和 AC边的长.【思路点拨】(1)先利用诱导公式化简 f (A),根据A为锐角，确定f (A)的最大值.(2)利用f

16、(A) =1求出A、B、C三个角，再用正弦定理求出AC边的长.【解析】(I) 由已知得f (A)(sin2A4cos2A+l)二冬正(2A41)=宁温吟詈.当如5号时，取值最大值，其最大值为 年（ii）由 f（A）=1 得 sin（2A+2L）=*2人吁在AABC中，由正弦定理得： 3;二一，K二注苧二一=VG “nA 51M方工nA .儿 T|Slir7【总结升华】三角恒等变换与解三角形的综合问题，是近几年高考的热点问题.此类型题目要先化简，再求值。另外要特别注意角的取值范围问题.举一反三：【变式】（2015春 湛江期末）若COSaN, a是第四象限角，求 同sin （ Q - 2冗）-+s

17、in （ - CL - JTT ） cos （立-3n）的估cos （冗一 口 ） 一 cos （一 兀一工）cos （ Q 一 4几）【解析】a是第四象限角，COS a*,- 1= sin5+ind (一心口台。)一 Gg ( - cos- ) cos asin ”q=L）=. tan a则原式KnQ (1860)-tan而亚-GDS (1 - CDS a )2类型四、三角函数的图象和性质【例7】求下列函数的定义域：（1） 求 y=lg（sinx-cosx）的定义域;（2）求函数 y lg（2sin x 1） 2cos x 的定义域。【思路点拨】（1）第（1）小题实际就是求使sinxcosx

18、的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使 2sinx 10成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。1 2cosx 0【解析】（1）要使函数有意义，必须使 sinx-cosx0方法一：利用图象。在同一坐标系中画出 0 , 2兀上y=sinx 和y=cosx的图象，如图所示:在0, 2兀内，满足sinx=cosx的x为,5_ ,再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以定义域44*5为x| 2k x 2k ,k Z44方法二、利用三角函数线，如图，MNj正弦线，0帅余弦线，要使sinxcosx,5,即MNOM则一 x (在0,2内)。，定义域为44-5一x| - 2k x

19、2k ,k Z44方法二：sinx-cosx= J2 sin(x- )0,将x- -视为一个整体，由正弦函数5y=sinx 的图象和性质可知2k兀 x- 一 兀+2k兀,解得 2k兀+ x 5x| - 2k x 2k ,k Z44+2k兀，k C Z. .定义域为12sin x 1 0 Sn x 。(2)要使函数有意义，必须有0,即2,解得 61 2cosx 01cos x - HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 232k2k5x -65x -32k k Z ,2k5_ 5_- 2k x 2k (k Z)故所求函数的定义域为一 2k ,5 2k

20、(k Z)3636【思路点拨】与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围;求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。举一反三【变式1】求函数的定义域：(1) y 2log-x vtanx ；2【答案】(1)要使得函数有意义，需满足tan(x ) . sin x y一 一 4lg(2 cosx 1)2 log 1 x 02tan x 00 x4解得0 x 或 x 4,2，定义域为:x (0,-)U ,4.2x k 42(2)要使得函数有意义，需满足 sinx 02cos x 1 02cos x 1 1一冗解得 2

21、k x 2k ,k Z3 冗.定义域为：x|2k x 2k -,k Z3【例8】(1)求函数y sin( 2x), x ,的单调递减区间；3x(2)求y 3tan( )的周期及单调区间。6 4【思路点拨】 题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。【解析】(1)由y sin( 2x)，得y 3sin(2x ), 3由一2k 2x2k2325得 一 k x k,kZ,1212又 x e -兀，兀,1. - % xw 125 x 12121112. 函数 y sin(一 2x), x e 3卜兀，, 一 ,3121212兀，兀的单调递减区间为11 布x、(2)函数

22、 y 3tan( )的周期 t= 46 414x、由 y 3tan( 一 一)得 y6 4, x由一k 24 62x3tan(7 6),k 得 4k38x - 4k ,k Z ,3x、. 函数y 3tan( )的单倜递减区间为6 448- 4k ,- 4k k Z。33【总结升华】(D准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础;(2)形如y=Asin(x+0,0)的函数的单调区间，基本思路是把x+(f)看作一个整体，由 2k x - 2k (k Z)求得函数的增区间，由一 2k x2222k (k Z)求得函数的减区间。(3)形如y=Asin(-x+。)(A0, 3 0)的函数，

23、可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=-Asin(由一2k x 22k (k Z)得到 2函数的减区间，由2k 22k (k Z)得到函数的增区间。例9已知函数sin 2x 3 cos2x(1)用五点法作出它的图象;2sin(2x ).3如图可知，此函数的振幅是2,周期为单调增区间为k单调减区间为k一,k12一 12712Z.指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间;说明该函数的图象可由y sin x的图象经过怎样的变换而得至ij?(1)1 .八 32( - sin2x cos2x) 2(sin 2x cos- cos2x sin-)2233列表描点绘图如下：2x302322x75

24、61123126y020-20sin(x ) 3图象向左平移 产单位(3)y sin x ,频率为一，初相为一. 纵坐标不变图象向右平移3个单位纵坐标不变方法二:1 . _、y 3sin(2x 3)图象向右平移6纵坐标不变1 .八y - sin 2x3横坐标扩大为原来的2倍y 1sinx纵坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变3横坐标不变y sin x.【变式3】将函数y sin x(r0)的图象按向量a一,0平移，平移后的图象如图所示，则平 6 TOC o 1-5 h z 横坐标缩短为原来的0.5倍 。7力、y sin(2x)纵坐标不变3纵坐标扩大到原来的2倍2sin(2x -)横坐标不变y 3，【

25、总结升华】五点法作y Asin( x )( A 0,0)的简图时，五点取法是设 t x ，由t取0、3、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图；2由y sin x的图象变换出y Asin( x )的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点(如：首点、波峰、波谷等)的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及x的系数是相同的举一反三:【变式1】由y sin(x )的图象得到y cosx的图象需要向 平移

26、 个单位.3【答案】左，一；6【解析】 y cosx sin(x ),2.由y sin(x )的图象得到y cosx sin(x )的图象需要向左平移 一个单位. TOC o 1-5 h z 3261 式2】试述如何由y sin(2x )的图象得到y sin x的图象.33【解析】方法一:y 1sin(2x 3)横坐标口S的 2倍y 3sin(x /, 纵坐标扩大到原来的3倍.y -sin xy sin x3横坐标不变移后的图象所对应函数的解析式是()A. y sin(x )B . y sin(x )C . y sin(2x ) D . y sin(2x )66331JL12【答案】c；把点（

27、L, i）代入选项即得。12【例10】求下列函数的值域.(1) y 73sinx cosx x 0, ； (2) y2 cosx；(3) y sin x cosx 2sin xcosx3 sin x【思路点拨】三角式确定的函数求解值域般可从两个途径入手是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域y 3sin x cosx 2sin(x ), 6x 0,由正弦函数图象可知:x 二二即 x 二时，ymax623时，ymin1.(2)所以函数值域为1,2.,2 cosx由y 去分母得：3y3 sin xysin x移项整理ys

28、in xcosx 2 3y由辅助角公式得:y21sin(x3y (cos,sin y213y2sin(x )：y2 11 sin(x)1,.i2 3y .y2 11,即|23y| .y2 1.平方整理得：8y212y3 0,解出:.33 .34，所以函数值域为3.342,(3)由(sin x cosx) 12sin xcosx得 2sin xcosx2(sin x cosx) ysin x cosx22sin xcosx (sin x cosx) (sin x cosx) 1令 t sin x cosx2sin(x ),则 t 72,724 TOC o 1-5 h z y t2 t 1 (t

29、-)2 5, t 2,2241 .5当 t 二时，ymin ，当 t J2 时，ymax J2 1 . 24 5_所以函数值域为5, . 2 1.4举一反三1【变式1】设关于x的函数y 2cos2 x 2a cosx (2 a 1)的最小值为f(a),试确定满足f (a) 一2的a的值，并对此时的a值求y的最大值。【答案】 令cosx t, t 1,1, TOC o 1-5 h z 22/a 2a则 y 2t2 2at (2a 1) 2(t -)2 (一 2a 1), 22a开口向上，对称轴t ,2 a1当一1,即a 2时，函数y在t 1,1上递增，ymin 1 ;22.a11当一1,即a 2

30、时，函数y在t 1,1上递减，ymin4a 1 ,得a 与a 2矛盾; HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 228a .a21.当 1 1,即 2 a 2时，ymin ( 2a 1),解得 a 1 或a 3 (舍)， HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 222a 1,此时 ymax4a 1 5.【变式2】已知函数f (x)acos2x 2，3asinxcosx 2a b 的定义域为0,值域为1,5, 2求常数a、b的值.2asin(2x -) 2a 6【答案】f(x) acos2x . 3a sin

31、 2x 2a bx 0, 中71 2x 一， TOC o 1-5 h z 66 6(1)若a 0 ,不符合题意(2)若a(3)若 a1 , a 2, b 3.5, a 2, b 7.0,有 2x 时，4a b 5 ； 2x 时 a b62660,有 2x 时，4a b 1;2x - 时 a b6266故 a 2, b 3或 a 2, b 7.类型五、函数y=Asin( co x+ 的图象与性质的综合应用五点为 x2【例 11】已知函数 f(x)=Asin( 3X+0,co 0,04 2-,-2)在图象上得 2sin(2 X 2-+ 力)=-2, T33一 411故 2k kZ, 2kkZ.32

32、6即 sin( + j )=-1,3又 (0,一),-,故f x 2sin(2x -).266/c、-7 Q x一, , 2x ,.12 263 6当2x+1= 3,即x=1时，f(x)取得最大值2;当2x+ 1= ，即x= 3时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为-1,2 【总结升华】确定y Asin( x)+b的解析式的步骤: TOC o 1-5 h z (1)求A, b确定函数的最大值 M和最小值m,则A=Mm, b=Mm 22(2)求3,确定函数的周期 T,则2；T(3)求，常用方法有:i、代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、w、b已知)或代入图象与直线 y=b的交点求

33、解。(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；ii、五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点( 一，0)作为突破口。具体如下：第一点(即图象上升时与 x轴的交点)为 x 0;第二点(即图象的“峰点”)为 x ；23第三点(即图象下降时与x轴的交点)为x ；第四点(即图象的“谷点”)为x 3；第2举一反三【变式1】把函数y sin x(xR)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有 3点的横坐标缩短到原来的1 11倍(纵坐标不变)，得到的图象所表布的函数是(2y sin 2x , x R 3x_y sin , x R2 6C. y sin 2x , x R 3

34、【解析】D. ysin 2x ,x R3y= sin x向左平移一个单位3y sin(x ) 3横坐标缩短到原来的1倍2y sin(2x ),故选(C)。3【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数x31 y cos()(x 0,2 )的图象和直线y 一的交点个数222是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 4【解析】原函数可化为:x3x TOC o 1-5 h z cos( )(x 0,2 )=sin-,x 0, 2 作出原函数图像, 2221截取x 0,2部分，其与直线y 1的交点个数是2个2一 03 一【例12】已知函数f(x) sin2( x) cos2x42(1)求函数f(x)的最小

35、正周期和单调递增区间;(2)函数f(x)的图象经过怎样的变换可以得到y sin 2x的图象?【思路点拨】根据倍角公式将函数解析式化为一般要转化为y=Asin( x+ )+k的形式求解。23 c【解析】(1) f (x) sin ( x)cos2x 42cos2x 21 cos(- 2x)221. c 3 csin2x cos2xsin(2x ) 3最小正周期单调递增区间k , k 12121，、(2)向左平移一个单位；向下平移一个单位【总结升华】 解析式与三角函数有关的函数若求函数的周期、单调区间、对称轴、值域等问题时，一般要 转化为y=Asin( w x+ )+k的形式。【变式1高清视频三角

36、函数的概念、图象和性质例 4 ID: 368995】已知函数f(x) 4cosxsin(x ) 1。6f (x)的最小正周期:(n)求f(x)在区间一，一 上的最大值和最小值。6 4【解析】(I)因为 f(x) 4cosxsin(x )4cosx(sin xcosx) 1 TOC o 1-5 h z 2223sin2x 2cos x 1.3 sin 2 x cos2x 2sin(2x )所以f(x)的最小正周期.(n)因为 一 x 一，所以 一 2x 一 6466于是，当2x ，即x 一时，f (x)取得最大值2；626当2x ,即x一时，f(x)取得最小值一1.666x【变式2】已知函数f(x) 2cos - sin x .(i)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(n)求f(x)在区间0,上的最大值与最小值.【解析