二维DCT的优化算法

1、2016-11-30学号：院系： 电子与信息工程学院指导教师：摘要离散余弦变换（ DCT）是一种正交变换，它本身并不会改变信息源的熵值，因而是一种 无损的变换。 但是由于离散余弦变换 （ DCT）变换能够给量化和编码等过程创造很好的条件， 因而在数字信号处理领域， 特别是语音和图像压缩领域有着很广泛的应用。 对于语音信号与 图像信号这样相关性很强的信号而言， 离散余弦变换 （DCT）接近于最优的 KL变换 （Karhunen- Loeve Transform）。传统的 2-D 离散余弦变换（ DCT）变换过程是行 -列变换，这种方法直观简 单但是效率低下， 在有些实时性要求较高的图像压缩领域并

2、不能满足要求。 从离散余弦变换 （DCT）的数学表达式上可以看出，其具有很高的对称性，利用这种对称性可以极大地降低 算法的复杂度。 本次课程报告在总结前人研究的基础上， 展示并实现了一种快速变换和反变 换算法，并在 MATLAB 平台上进行了实现与测试。结果表明，这种算法具有高效、简单、易 于实现的特点。 关键词：快速离散余弦变换，快速离散余弦反变换，快速算法，图像压缩2-D DCT算法优化一、 引言（一）研究背景在本次的课程报告中， DCT的优化算法主要是针对于 2 维输入数据，因而此 算法主要针对的是图像处理。在图像处理领域中，图像压缩编码依据原理可以分为熵编码、预测编码、变 换编码和混合

3、编码。 DCT属于其中的变换编码， 变换编码还包括傅里叶变换和沃 尔什变换等等。 变换编码是一种数学变换对， 通常是将 2 维空间域上的图像经过 正交变换映射到另一个空间域上（例如频域） ，并且使得变换后的系数之间的相 关性降低。 就变换本身而言， 它是一种在数学上无损的变换， 通过反变换可以恢 复原信号。 但是这种变换的特点在于， 变换后图像的大部分能量只集中在少数几 个变换系数上， 这就为量化编码和熵编码带来了很大的便利， 在对系数进行编码 后就能实现图像的压缩。在理论上， K-L 变换是最优的正交变换，它能够完全消除图像块内像素间的 线性相关性，经过 K-L变换后各个系数在统计上不相关，

4、 其协方差矩阵是对角阵， 因而 K-L变换能够大大的减小原数据的冗余度。如果在 K-L 变换之后丢弃数值娇 小的系数，所造成的均方误差是所有正交变换中最小的。但是 K-L变换有一个很 大的缺点， 它的基向量是图像的协方差矩阵的特征向量。 这就意味着对于不同的 图像，它的基向量是不相同的，为了对图像进行 K-L变换，就需要先计算每一幅 图像的相关矩阵， 再对相关矩阵作特征分解， 取特征向量作为变换的基向量。 这 就使得 K-L变换的使用变得很麻烦，甚至是难以实现。DCT变换的性能仅次于 K-L 变换，被认为是一种准最佳变换，对于图像这种 相关性较大的数据， DCT的性能接近于 K-L变换。此外，

5、 DCT的变换矩阵是固定 的，与图像无关。 而且它是构造成对称的数据序列， 避免了子图像边界处的跳跃 和不连续现象。傅里叶变换是应用最早的变换之一，并且也有快速算法。但是傅里叶变换存 在一个很明显的缺陷， 恢复出来的边界会存在不连续现象， 这使得恢复的图像存图 1 离散余弦变换（ DCT）效果图在明显可见的方格，影响图像质量。沃尔什变换比 DCT简单，实时性更高，但是性能比 DCT略差。基于以上的特点， DCT 具有广泛的应用，在常见的 JPEG静态图像编码以及 MJPEG、MPEG动态图像编码等标准中都有应用。这种应用的广泛也对DCT的算法效率提出了更高的要求，对 DCT快速算法也有着更加迫

6、切的需求。（二）前人研究由于 DCT在语音和图像压缩领域的广泛应用， 已经有人提出了许多快速算法 和快速计算 DCT的 VLSI架构。 DCT的传统计算方法是行 -列法，先对行计算 1-D DCT，再对列计算 1-D DCT。对于N N大小的图像而言， 这种算法需要计算 2N个 1-D DCT，算法的复杂度为 ?（?2?）。因而为了更加高效地进行 DCT运算，有人提出 了直接对整个 2 维矩阵做 DCT运算。目前，最为高效的 DCT算法是由 Duhamel 和 Guillemot 在 1990 年的一篇论文中提出的多项式变换计算方法。在这种方法 中，2-D DCT运算的乘积运算相对于传统的方法

7、而言减小了 50%。还有人提出基 于 FFT的算法，这种算法的复杂度在传统方法的 50%到 75%之间。此外， Cho 和 Lee 提出了专门针对于矩阵大小为 4 4快速 DCT算法，这种算法仅仅局限于大 小为4 4的变换，如果要进行扩展更大的维数， 则需要与迭代算法相结合， 但是如果维数很大，这种迭代算法这会大大增加整体算法的复杂度。 在本次的课程报告中所展示的是一种有别于以上快速算法的方法， 这种方法 和 Cho 与 Lee 提出的算法有异曲同工之处，本质上来说是对他们算法的一种扩 展。这种算法对于大小为 ?的矩阵而言，仅仅需要计算 N 个 1-D DCT，但是 要求?= 2?,m ?。算

8、法需要的乘积运算次数仅仅为传统算法的50%，与Duhamel 和 Guillemot 的算法有着相同复杂度。 但是相比于 Duhamel 和 Guillemot 的算法而言， 这种算法的结构有着更高的对称性， 更加简单直观， 同时能够更加 容易的应用到硬件的并行处理中，也更加适合 VLSI的实现。（三）报告的章节安排本次报告的主要内容和章节安排如下：快速 DCT算法的理论分析 从数学上对算法进行理论分析， 相关公式推导，总结出最终的算法结构。相应的快速 IDCT算法的理论分析 基于前面的理论推导，总结出快速 IDCT算法的结构。与其他快速算法的复杂度比较 将此算法与传统的算法、其他算法的复杂度

9、作数值上的比较。算法的实现与测试在前面理论分析的基础上，在 MATLAB平台上实现 4 4的快速算法，并 对图像做 DCT和 IDCT变换，检验算法的有效性， 同时与 MATLAB自带的 DCT和 IDCT函数的运算时间进行比较。总结与展望分析此算法的优缺点与可改进的空间。理论分析（一）2-D DCT理论分析对于一个给定的大小为 ?的二维矩阵 X? ?,?=, 0,1,2,? ,?- 1假设二维 DCT矩阵为 ?,?,?= 0,1,2,? ,?- 1DCT变换公式为：?= ?(?)?(?)?-=10 ?-=10 ?c?os( 2?+1)? (2?+1) ?2?)cos (2?(2.1)其中，1

10、 ,?= 0 ?(?) =?(?) =1?1?,?= 0 ?,? 0 ?,? 0定义?为?对?（?） ?（?）做归一化得到的变量?= ?-=10 ?-=10 ?c?os (2?2+?1)?)cos (2?( 2?+1) ?)?2?(2.2.a)?= ?(?)?(?) ?(2.2.b)利用积化和差公式，可以进行如下的变换，( 2?+1)?( 2?+1) ? 1 (2?+1)?+(2?+1)?cos( 2? ) cos( 2? ) = 2(cos ( ?)+2?2?(2?+1)?- (2?+1)? cos(2?) (2.3)将（ 2.3）带入到（ 2.2.a）中，得到?= 21 ( ?-=10 ?

11、-=10 ?c?os ( (2?+1) ?2?+?(2?+1)?)2?+ ?-=10 ?-=10 ?c?os(2?+1)?2?-?(2?+1)?),2? ?=?, 1,2, ? ,?- 1(2.4)同时，我们定义两个新的变量 ?,?= ?-=10 ?-=10 ?c?os(2?+1)?+(2?+1)?)2?(2.5.a)(2.5.b)?-1 ?-1( 2?+1) ?- ( 2?+1) ?2? ? = ?-=10 ?-=10 ?c?os (2?)所?可以表示为? = 2 (?+ ?)(2.6)从(2.5)与(2.6)中，可以发现， 二维的 DCT变换可以分解为两个分量的叠加， 并且这两个分量( ?

12、与?)的形式类似于一维 DCT的形式。那么下面的目标 就在于如何将 ?与?转换成一维 DCT 的形式。从而达到对于 ?的矩阵而 言，只需要计算 N 次一维 DCT就可以获得二维 DCT。一维 DCT的表达式为?-1(2?+ 1)? = ?(?) ?c?os(2? )?=0与( 2.5.a)和( 2.5.b)对比可以发现，如果 (2?+ 1)?(2?+ 1 ) ?可以转换为 (2?+ 1)?,?的形式，那么就可以将 ?与?转换成一维 DCT的形式。由于?,?= 0,1,2,? ,?- 1 ，那么(2?+ 1) 的值要么等于 (2?+ 1)整数倍除 以2?的余数，要么等于 2N 减去(2?+ 1)

13、 的整数倍除以 2?的余数(2?+ 1) = ?(?2?+ 1) ? 2? (2.7.a)或者(2?+ 1) = 2?- ?(?2?+ 1) ? 2? (2.7.a) 其中?= 1,3,5,7, ? ,?- 1，如果?超过这个范围，这会得到相同的 (2?+ 1)的值。将( 2.7)进行化简，就可以得到(2.8.a)?-1?= (?+? ) ? 2?2或者? 2?(2.8.a)?-1?= (?- 1 - ?-?2其中 ?= 1,3,5,7, ? ,?- 1从(2.8)中可以发现，如果?取? 0 到(?- 1)的不同值，那么对应得到的 ?的? 序 列是不一样的， 这样就得到了 ?2个不同的 (?,

14、?组) 合，这说明，依据(2.8)的公式 可以遍历 ?矩阵内的所有元素。此外每一个 ?的?值都对应着一个 ?的? 序列，这意味着，依据( 2.8)可以对输入 数据分成 N组，每一个组内元素的下标 (?,?都) 满足( 2.8)，每一个分组表示为(2.9.a)?-1?(?|?=?)(?+? ?-1 ) ? 2?2或者?-1 ?(?|?=?)(?- 1 - ?-? ) ? 2?2(2.9.a)其中， ?= 1,3,5,7, ? ,?- 1，?= 0,1,2, ? ,?- 1维输入数据 ?,?,?= 0,1,2,? ,?- 1通过（ 2.9）就可以分成 N 个一维数据? ?,?(?|?) , ?=

15、1,2,? ,?- 1, ?= 1,3,5,? ,?- 1或者?,?(?|?) ,?= 1,2,? ,?- 1,?= 1,3,5, ? ,?- 1用?和?来表示每一组数据?= ?,?(?|?) , ?= 1,2,? ,?- 1,?(?|?) = (?+? ?-2 1) ? 2?=, 1,3,5,7,? ,?- 1?= ?,?(|?)?,?= 1,2,? ,?- 1,?(?|?=?)(?- 1- ?-?- 1) ? 2?=, 1,3,5,7,? ,?- 1(2.10)?-1为了进一步进行简化，假设已知 （?+? ?2-1 ）除以 N的商为?，?于是（ 2.10）可以化简为?= ? ?,?(?|?

16、) , ?= 1,2,? ,?- 1,?(?|?) = ?+?-2 1- ?,?= 1,3,5,7,? ,?- 1? ? = ?,?(| ?)?, ?= 1,2,? ,?- 1,?(?|?=) ?- 1- ?-?- 1+ ? ? 2?,= 1,3,5,7,? ,?- 1(2.10)按照（ 2.10）中的分组， ?与?可以表达为，? ?= ?-1 ?(?,?) + ?(?,?)(2.11.a)其中?= ?-1 ?(?,?) + ?(?,?)(2.11.b)?(?,?) = ? ?c?os( (2?+1)?+(2?+1)?2?)(2.12.a)?(?,?) = ?c?os( (2?+1)?+(2?

17、+1)?)2?(2.12.b)?(?,?) = ? ?c?os( (2?+1)?-(2?+1)? )2?(2.12.c)?(?,?) = ? ?c?os( (2?+1)?-(2?+1)? )2?(2.12.d)把( 2.11)带入到( 2.6)中，可以得到，?= ?-1 21 ?(?,?) + ?( ?,?) + ?(?,?) + ?(?,?) (2.13)为了把 ?表示为一维 DCT的和的形式，需要将?(?,?)、?(?,?)、?(?,?)、?(?,?)转换成一维 DCT的形式。把( 2.10)带入到( 2.12.a)中，可以得到，N-1? (2?+ 1)?+ ?(2?+ 2) - 2?(?

18、,?) = ?(?|?)?cos(? ?)p将上面的式子拆分为 n 为奇数和偶数两种情况：2?当 n 为奇数时N-1(2?+ 1)?+ (?+ ?)?(?,?) = ?(?|?) cos( (2?+ 1)?+ (?+ ?)?) (2.14. a) i=02?当 n 为偶数是N-1? ? (2?+ 1)?+ (?+ ?)?(?,?) = (-1 ) ?(?|?) cos(? )(2.14. b)i=02?那么以同样的方式，可以获得 ?( ?,?) 、 ?( ?,?) 、?( ?,?) 的表达式，?-1(2?+ 1)?+ (?- ?) ?(?|?) ?(?),? ? ? ? )(2.15.?=0

19、2?N-1? (2?+ 1)?+ (?- ?)? (-1 )?(|?) cos(2?),? ? ? (?2).15.i=0?-1 (2?+ 1)?+ (?- ?) ?(|?)?(?),? ? ?=0N-1 ? (2?+ 1)?+ (? - ?) (-1 )?|(?)cos(2?), ? ? ? i=0 2?-1 (2?+ 1)?+ (?+ ?) ?(|?)?(?),? ? ?(?,?) = N?-1=0? (2?+ 1)?+ (? + ? (-1 )?|(?) cos( i=0?(?,?) =?(?,?) =2?2?2?2?2?),? ? ? ? )(2.16.? (?2).16.? ? )(

20、2.17.? (?2).17.把（ 2.14） -（2.17）带入到（ 2.13）中，可以得到 ?的新表达式，?=?-1 21?-1 ?(?-112?(?-1(2?+ 1)(?+ ?)? (?(?|?) + ?(?|?)?) cos 2? ?+ ?=0,? ? ?-1(2?+ 1)(? - ?) (?(?|?) + ?(?|?) ) cos 2? ? ?=0 )?-1? (2?+ 1)(?+ ?)? (-1 ) ? ?(?(?| ?) - ?(?|?)?) cos2? ?+?=0?-1? (2?+ 1)(? - ? (-1 )?(?(?|?) - ?(?|?)?) cos2? ?=02? ?

21、) (2.18.2? ? ? ?(2).18.可以发现，?-1(2?+ 1)( ?+ ?)? (? ?(|?) + ?(?|?) ) cos?=0?-1(2?+ 1)( ?- ?)? (? ?(|?)? + ?(?|?) ) cos?=0?-1?(2?+ 1)( ?+ ?)? (-1 ) ?(?(|?)? - ?(?|?) ) cos2? ? (2.19c.)?=0?-1? (2?+ 1)( ?- ?)? (-1 )?(?(?|?) - ?(?|?)?) cos? (2.19.d)?=02?2?2?2?(2.19a.)(2.19b.)2.19.a）和（ 2.19.b）分别是?（?|?） + ?

22、（?|?）?序列的一维 DCT变换序列的第(?+ ?)?和(?- ?)?个元素；(2.19.c)和(2.19.d)分别是(-1 )?(?(?|?) - ?(?|?) ) 序列的一维 DCT变换序列的第 （?+ ?）?和（?- ?） ?个元素。定义两个量： ?和?-1(2?+ 1)?(2.20)(2.21)?= (?(?|?) + ?(?|?) ) cos 2? ? ?=0?-1? (2?+ 1)?=? (-1 )?(?(?|?) + ?(?|?) ) cos2? ?=0那么（2.19.a）和（2.19.b）就分别对应着 ?,?= 0,1,2,? ,?- 1；（2.19.c）和（2.19.d）

23、就分别对应着 ?,?= 0,1,2,? ,?- 1。这就意味着，大小为 ?矩阵的二维 DCT只需要先计算出 N 个一维 DCT。从（ 2.18）可以看出，要计算出 ?，可以先计算出 ?和? ?，? 然后再将相对应的?和? ?进?行线性叠加，得到最终结果。已知， n 为偶数时，cos(2?+ 1)(?- ?(?- ?)?)= cos(2?+ 1)(? + ?)?) (2.22)2?如果把?表? 达为:2?-1(2?+ 1)(?+ ?) ?= (?(?|?) + ?(?|?) ) cos?=0带入就可以得到，2?(?(?- ?|?) + ?(?- ?|?) ) cos (2?+ 1) (? + ?

24、(?-? ?)? (2.23)(2?+ 1)(?+ (?- ?)?)+ ?(?- ?|?) ) cos?2?上面的两个式子意味着，?总? 是会以 ?(?-?)?的形式出现。同样，(2.24)? ?会? 以那么把( 2.22)?-12? ?(?-?)?= ?=0同样的方式，当 n 为奇数时，?-1? (2?+ 1)(?+ ?) ?= (-1 )?(?(?|?) + ?(|?) cos2? ?=0?-1 ?(?-?)(?-?) = (-1 ) ? ?(?(?- ?|?)?=0 ?(?-?)(?-?) 的形式出现。基于以上的分析， 假如输入矩阵的大小为 8 8，那么这个算法就可以用以下 的图来表示，

25、图 2 8X8 DCT算法结构图， O 表示相加，虚线表示取反O 表示相加，虚线表示取反图 2（续） 8X8 DCT 算法结构图（二）2-D IDCT理论分析对于正交变换而言，如果不考虑系数的影响，那么其相对应的反变换就直接是正变换的反过程而已。那么可以利用这个来推导出快速IDCT算法。如果在 DCT变换中不考虑（2.1）中前面的系数， 那么反变换的算法结构就仅 仅是正变换算法结构的取反。 例如对于 8X8的 IDCT变换而言，如果不考虑系数， 那么其算法结构如图 3 所示。可以看到， 相对于图 2 而言，图 3 仅仅是将图 2 中 信号的流向做了取反，相当于是反向做运算，然后做 N 个一维

26、IDCT，其运算量 与（一）中分析的 DCT的运算量相当，相对于传统的 IDCT算法而言也仅仅需要 50%的一维 DCT变换次数。图 3 8X8 IDCT算法结构图，O 表示相加，虚线表示取反图 4（续） 8X8 IDCT算法结构图， O 表示相加，虚线表示取反但是如果将系数考虑进来，就需要做一些额外的调整，调整的过程如下：1）对于初始输入数据对相对应的 DCT系数做归一化处理12）将第一步得到的数据乘以系数 1883）每个一维 IDCT的第一个输入数据需要再乘以系数 12 经过以上三个步骤，处理后就可以得到相对应的 IDCT数据。（三）算法的复杂度分析从（一）和（二）部分的内容中可以看到对于

27、 N N为的 DCT变换，仅仅需 要计算 N 个一维的 DCT。我们在本小节中以需要的乘法运算的次数和加法运算 次数来作为算法复杂度比较的标准。由于N N大小的二维 DCT变换仅仅需要 N 次一维的 DCT变换，那么相对于 传统的二维 DCT 算法而言，本报告中的算法所需要的乘法运算量就仅仅是传统 方法的 50%。而对于一维 DCT的算法复杂度， 目前比较高效的算法需要的乘法运 算量为?2 log2 ?如果在二维 DCT变换中使用这个一维 DCT算法，那么所需乘法运算量为，?22 log2 ?（2.25）表格 1 所需乘法运算次数比较4X432241616168X819214410496961

28、6X16102476856851251232X3251203840274025602560表格 2 所需加法运算次数比较4X472727068748X846446446248446616X162592259225582531253032X321337613376129501257812738至于所需的加法运算量， 从前面的分析中可以知道， 除了 DCT运算的加法运 算量，其他地方加法运算量为 ?2(1+ ?2?) - 2?- (?- 2)。而对于一维 DCT 3?变换而言，所需的加法运算量为 2 log2 ?- ?+ 1。所以二维 DCT算法所需的加法运算量为，5?22 log2 ?- 2?+

29、 2 (2.26) 依据(2.25)和(2.26)和其他参考文献中的快速算法， 列出了表格 1 和表格 2，分别展示了各个算法所需的乘法运算次数和加法运算次数。从表格中可以发 现，本报告中的算法所需的乘法运算量与文献 3 中一样，并且比其他算法都要低。 同时，加法运算量与其他算法基本一致。三、实现与测试在本章节中，将根据第二章节中的 DCT 和 IDCT快速算法的理论分析，在 MATLAB平台上实现相应的 DCT变换算法和 IDCT 变换算法。然后利用这两个算 法对一个实际图像做变换与反变换处理，观察处理的效果。(一) 算法的实现在本小节里面，将会依据第二章节的分析，在 MATLAB平台上实现

30、 4X4 的快 速 DCT与 IDCT算法。从第二章中的分析中可以知道，快速算法可以用流向图很简洁地表示出来。 那么依据前面的公式，对于 4X4的 DCT和IDCT变化可以得到以下的流向图，a)b)图 5 4X4 算法结构图，a）DCT（b）IDCT那么依据图 5，算法的流程图如下：图 6 快速 DCT 算法流程图图 7 快速 IDCT 算法流程图（二） 算法的测试测试环境： Dell 商用台式机， MATLAB 2013a，测试图片大小为 614x614.原图DCT 变 换 图 恢 复 图图 8 快速 DCT 与 IDCT 测试效果图从图 8的实际测试结果来看，原图经过了 4X4的 DCT变

31、换之后，在每个 4X4 大小的方格内， 图像的能量都集中分布于少数几个系数上， 这符合正交变换的特 点。同时经过了 IDCT 变换之后，可以完整的恢复图像原来的模样，且不存在失 真与格纹现象。这证明了算法的正确性。表格 3 程序运行时间比较自定义函数MATLAB 已有函数函数名称调用次数运行时间函数名称调用次数运行时间main13.969smain16.804sfdct2237161.594sdct2237163.228sfidct2237161.396sidct2237162.674s表格 3是 MATLAB利用 CPU的运行时间计算出来的结果， 虽然结果的具体数 值并不具有很高的可靠性，

32、但是在相同条件下得出来的结果， 相互之间具有可比 性。通过比较可以发现， 在相同的调用次数的条件下， 无论是 fdct2 函数还是 fidct2 函数，其运行时间都比 MATLAB已有函数的运行时间减少了将近 50%。四、总结与展望本次课程报告首先分析了离散余弦变换（ DCT）在图像压缩领域的重要性， 它本身虽然不具有压缩能力， 但是变换给后续的编码和量化操作带来了便利， 在 多个图像、 视频标准中都有应用。 DCT的广泛应用也为人们对它的研究增添了动 力，由于传统计算方法的效率低下， 许多文献提出了相关的 DCT快速算法。 本次 报告就研究、 实现和分析了其中一种性能比较优越的快速算法。 这

33、种快速算法的 乘法运算量仅仅只有传统算法的 50%，而加法运算量和其他方法相当， 具有很高 的效率，同时，这种算法可以能够用流向图来直观的表示，简单而直观。而且由 于这种算法具有比较好的对称性， 它能够很容易地应用到多线程并行处理中， 这 样效率又可以得到很大的提升，同时这种算法还可以直接用VLSI 结构来实现，这说明这种算的应用相对简单。 在进行了理论分析之后， 基于理论分析在 MATLAB 平台上实现了此算法， 并用实际图片进行了测试， 测试结果表明， 此算法可以快 速地进行 DCT变换和 IDCT变换，能够完整的恢复出原图。此外，还将此算法与 MATLAB自带的 DCT变换和 IDCT变

34、换函数在相同的条件下进行了运行时间比较， 比较结果表明，此算法的运行时间相对于 MATLAB自带的函数减少了将近 50%， 具有较高的效率。虽然这种的算法具有很高的效率，但是它依然有它的局限性。这种算法的最 大的局限性在于， 如果二维矩阵的维数很大， 那么这种算法将会难以实现。 因为 这种算法需要对输入数据进行排列，在进行了一维 DCT 后还需要进行多次的线 性运算，这种排列与线性运算的组合并不具有很明显的规律性。 在算法的实现过 程中，对于 16X16大小的矩阵，需要列出 256 个式子；但是对于 32X32的矩阵， 需要的式子达到了 1024 个。所以对于大型的矩阵，这种方法是不适合的，比

35、较 适合于 16X16 以下的矩阵五、参考文献C.Ma, “ A fast recursive two dimension cosine transform” , Intelligent Robots andComputer Visio: Seventh in a Series, David P. Casasent, Ed., in Proc. SPIE 1002, pp.541-548, 1988.M. Vetterli,“ Fast 2-D discrete cosine transform ,” in Proc. ICASSP 85, MarP. Duhamel and C. Guill

36、emot,“ Polynomial transform computation of 2-D DCT,”Proc. ICASSP 90 , pp. 1515-1518, Apr. 1990.N. I. Cho and S. U. Lee,“ A fast 4X4 DCT algorithm for the recursive 2-D DCT,Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, submitted for publication.F. A. Kamangar and K. R. Rao,“ Fast algorithm for the 2-D d

37、iscrete cosine tansform,IEEE Trans, Comput., vol. C-31, pp. 899-906, Spet. 1982.B. G. Lee, “ A new algorithm to compute the discrete cosine transform ,” IEEEAcoust., Speech, Signal Processing, vol. ASSP-32, pp. 1243-1245, Dec. 1987.7 杨帆.数字图像处理与分析 .北京：北京航空航天大学出版社 , 20078 全红艳，曹桂涛 . 数字图像处理原理与实现方法 . 北京：

38、机械工业出版社， 2014六、 附件（一 ） 函数 fdct2 源码endfunction Y = fdct2( X ) %快速 4X4 DCT变换函数 % By 黄跃辉 2016/11/30 %检测输入量a,b = size(X);if a = 4 | b = 4Y = zeros(4,4);return;end%end%对 A 中的每一列做一维 DCT得, 到 Bfor i=1:4B(:,i) = T*A(:,i);end clear A T%由 B 元素的线性组合得到结果A = zeros(4,4);B = zeros(4,4);A(1,1) = X(1,1)+X(1,4);A(2,1)

39、 = X(2,2)+X(2,3);A(3,1) = X(3,3)+X(3,2);A(4,1) = X(4,4)+X(4,1);A(1,2) = X(1,1)-X(1,4);A(2,2) = X(2,2)-X(2,3);A(3,2) = X(3,3)-X(3,2);A(4,2) = X(4,4)-X(4,1);A(1,3) = X(1,2)+X(1,3);A(2,3) = X(2,1)+X(2,4);A(3,3) = X(3,4)+X(3,1);A(4,3) = X(4,3)+X(4,2);Y = zeros(4,4);Y(1,1) = (B(1,1)+B(1,3)*0.25;Y(2,1) =

40、(B(2,1)+B(2,3)*sqrt(2)/4;Y(3,1) = (B(3,1)+B(3,3)*sqrt(2)/4;Y(4,1) = (B(4,1)+B(4,3)*sqrt(2)/4;Y(2,2) = 0.5*(B(3,2)+B(3,4)+B(1,2)*0.5;Y(1,2) = (B(2,2)+B(4,4)*sqrt(2)/4;Y(4,4) = 0.5*(B(1,2)-B(3,2)- B(3,4)*0.5;Y(3,4) = 0.5*(B(2,2)-B(4,4)-B(4,2)-B(2,4)*0.5;Y(3,3) = 0.5*(B(1,1)-B(1,3)*0.5;Y(2,3) = 0.5*(B(

41、2,1)-B(2,3)+B(4,1)- B(4,3)*0.5;A(1,4) = X(1,2)-X(1,3);A(2,4) = X(2,4)-X(2,1);A(3,4) = X(3,1)-X(3,4);A(4,4) = X(4,3)-X(4,2);Y(1,3) = (B(3,1)-B(3,3)*sqrt(2)/4;Y(4,3) = 0.5*(B(2,1)+B(4,3)-B(2,3)- B(4,1)*0.5;Y(2,4) = 0.5*(B(3,2)-B(1,4)- B(3,4)*0.5;Y(1,4) = (B(4,2)-B(2,4)*sqrt(2)/4;Y(4,2) = 0.5*(B(1,4)+B

42、(3,2)-%获取变换矩阵T=zeros(4);for i=0:3B(3,4)*0.5;Y(3,2) =B(4,4)+B(4,2)+B(2,4)*0.5;0.5*(B(2,2)-endfor j=0:3T(i+1,j+1)=cos(pi*(j+0.5)*i/4);(二 ) 函数 fidct2 源码 function Y = fidct2( X ) %快速 4X4DCT反变换 % By 黄跃辉 2016/11/30 %检测输入量a,b = size(X);if a = 4 | b = 4Y = zeros(4,4); return; end%对 X 做归一化处理X(1,1) = X(1,1)*4;X(2,1) = X(2,1)*4/sqrt(2);X(3,1) = X(3,1)*4/sqrt(2);X(4,1) = X(4,1)*4/sqrt(2);X(2,2) = X(2,2)*2;X(1,2) = X(1,2)*4/sqrt(2);X(4,4) = X(4,4)*2;X(3,4) = X(3,4)*2;X(3,3) = X(3,3)*2;X(2,3) = X(2,3)*2;X(1,3) = X(1,3)*4/sqrt(2);X(4,3) = X(4,3)*2;X(2,4)