《数字电路与逻辑设计》第2章-(3)

1、2.6.3 逻辑函数的卡诺图化简 ： 1.逻辑函数的卡诺图表示 (1) 卡诺图的构成 卡诺图实质上是将逻辑函数的最小项按逻辑相邻的原则排列而成的方格图。 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。1构成方法：1、将真值表中的变量分成两组，构成两维图表。行、列的取值组合按循环码顺序排列。2、一个方格对应一个最小项（对应两轴上的变量）。 。约定：高位权变量在斜下角。A BF0 000 111 001 110011010AB12三变量 的卡诺图：ABC01000110111110卡诺图的实质：逻辑相邻几何相邻头尾相邻不是循环码紧挨着（位置相邻）行

2、或列的两头（头尾相邻）对折起来位置重合（对称相邻）m0m1m2m3m4m5m6m7逻辑不相邻3五变量 的卡诺图：四变量 的卡诺图：十六个最小项ABCD0001111000011110 当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几何相邻几何

3、相邻几何相邻三十二个最小项4例2.6.11 将图2.6.4所示卡诺图分别用最小项表达式和最大项表达式表示。解： = A B C + A B C + A B C100110010010110100ABC图 2.6.4=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) ( A + B + C )( A + B + C )5(2) 逻辑函数的卡诺图表示法 方法一：按真值表直接填写 方法二：先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填例：将逻辑函数F（ABC）=AB+AC用卡诺图表示。 解：F(ABC)=AB(C+C)+A(B+B)C=ABC+ABC+ABC+ABC=m(1,

4、3,6,7)11111010110100ABC6 方法三：观察法 方法：在包含乘积项中全部变量的小格中填 1 例2.6.12 试将 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC 用卡诺图表示。解： 1011010010110100ABCD图 2.6.511101111111010010110100ABCD7练习：将F（ABCD）=ABCD + BC D +AC + A 添入卡诺图。1111101111111101110010110100ABCD解： 1011010010110100ABCD8b. 一般或与式的卡诺图填写方法 方法：在包含和项中全部变量的小格中填 0 例2.6.13

5、试将 F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D) 用卡诺图表示。解： 图 2.6.61011010010110100ABCD1000110100010110100ABCD92. 卡诺图化简法 (1) 化简原理 卡诺图上逻辑相邻的最小项只有一个变量互为反变量 ，可以利用合并相邻项公式: A B + A B = A 化简。被合并的最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。A0 1 1 1 1BC100011110 1 1 10 圈2格，可消去1个变量，合并结果为公共因子； (2) 合并的规律 000010011010110100ABCF = A B000011001010110100 AB

6、CF = A C11 圈4格，可消去2个变量，合并结果为公共因子； 001110011010110100 ABCF = B000011111010110100 ABCF = A 100111001010110100ABCF = C 1210011001101101100110010010110100AB CD 01101010011110010101100010110100AB CD F = B D + B DF = B D + B D1301101001101101100101100010110100 AB CD 10011010011110010110010010110100 AB CD

7、圈8格，可消去3个变量，合并结果为公共因子； F = D F = D 结论：圈2i 个相邻最小项，可消去 i 个变量(i = 0,1,2)14(3) 合并的对象 卡诺图上几何相邻的、并构成矩形框的、填“1”的、2n 个小方格所代表的最小项。(4) 合并项的写法 一个卡诺圈对应一个乘积项，该乘积项由卡诺圈内各小方格对应的取值相同的变量组成，其中，“1”对应原变量，“0”对应反变量。15(5)化简的步骤 a. 将逻辑函数添入卡诺图。 c. 再圈只有一个合并方向的“1格” （注意：合并为尽可能大的卡诺圈）；c. 圈剩下的“1格”（合并为尽可能少、尽可能大的卡诺圈） b. 先圈孤立的“1格” ；16(

8、6) 化简举例例2.6.14 化简函数为最简与或式。1110111111101110010110100AB CD F(A,B,C,D) = A B D + A B D + A B C D + B C + C D图 2.6.131011010010110100AB CD 17注意： a. 圈中“1”格的数目只能为2 i ( i = 0,1,2)，且是相邻的。b. 同一个“1” 格可被圈多次( A + A = A )。c.每个圈中必须有该圈独有的“1”格。d. 首先考虑圈数最少，其次考虑圈尽可能大。e. 圈法不是唯一的。1811111010110100 ABCF=AB+AC+ BC=AB+AC B

9、C项是多余的。 每个圈都必须至少包含一个未被圈过的1格，否则该卡诺圈的合并项是多余的，得到的表达式不是最简。 19例2.6.16 化简函数为最简与或式。111110111111101110010110100 AB CD F(A,B,C,D) = A B D + B D + A B + B C图 2.6.1520例：F（ABCD）=m（2,3,5,7,8,10,12,13）化简为最简与或式 111011111101110010110100 AB CD F=ABC+ABD+ABC+ABD 或 F=BCD+ACD+BCD+ACD21ABC0100011110 1 1 1 11 1ABC0100011

10、110 1 1 1 11 1练习1：用卡诺图将函数化为最简与或式。解：化简结果不唯一。22110111111110110010110100 AB CD F=ACD+ABC+ABC+ACD 练习2：化简F（ABCD）=m（1,5,6,7,11,12,13,15） 为最简与或式。2311111011111011110010110100 AB CD F=CD+BC+AC 练习3：F（ABCD）= AB+ABC+ACD+ABC 24000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCD练习：解：000111100001 11 101 1 1 1 1 1 1 1 1

11、 1 1 1 ABCD25(7) 由最大项表达式求最简与或式例2.6.18 已知函数求最简与或式。11111010011110010111110010110100AB CD F(A,B,C,D) = B + D 图 2.6.181011010010110100AB CD 26例：用卡诺图将下面函数化为最简或与式。000111100001 11 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ABCD解：(8) 化简为最简或与式27练习：求函数F（ABCD）=m（0,2,3,5,7,8,10,11,13）的最简或与式。 1111011111011110010110100 AB CD F=(B+D)(

12、B+C+D)(A+B+C) 28181917161026272524111011901231000010011001000ABCDE20212322282931301213151445761101111011008五变量卡诺图（7）五变量函数的化简 29119810141513121167540123100010110100BCDE102725241033322928112223212001181917160010110100BCDE26+A=0 A分图A=1 A分图原则：先圈两个分图上共有的卡诺圈，再圈余下的1格30例：F（ABCDE）=m（1,3,4,5,6,7,13,15,20,21,2

13、2,23,25,27,29,31） 101111111101110010110100 BC DE A=0111011111111010010110100 BC DE A=1101111111101110010110100 BC DE F=ABE+CE+BC+ABE 1011010010110100 BC DE 1011010010110100 BC DE 31 练习：F(A,B,C,D,E)=m(0,4,5,6,7,8,11,13,15,16,20,21,22,23,24,25,27,29,31)1011111111010010110100BCDE11111111011111111010010

14、110100BCDEA=1 A分图A=0 分图32四、非完全描述逻辑函数的化简 1.定义：一个逻辑函数，其真值表中对变量的某些取值组合下的函数值未加以指定，则这个逻辑函数称为非完全描述逻辑函数。反之，全部取值组合下的函数值都能指定（不是0，就是1），则称为完全描述逻辑函数。 33非完全描述有两种情况：1、变量的取值受到约束，从而使某些取值组合实际上不会发生。例如：8421BCD码中10101111为非法码。约束项2、某些取值组合虽然存在，但其相应的函数值是0还是1，不影响该逻辑函数所要说明的逻辑功能，因而使这些变量取值组合成为一种无关紧要的取值组合。任意项或无关项 34表示方法：任意项：F=m

15、（0,1,2,4,7）+ （3,5,6）约束项：F=m（2,4,7） A B C=0 约束条件化简方法和原则： 含有无关项的逻辑函数，由于在无关项的相应取值下，函数值随意取成0或1都不影响函数原有的功能，因此可以充分利用这些无关项来化简逻辑函数，即采用卡诺图化简函数时， 可以利用 (或)来扩大卡诺圈。 原则：需要时才用，不需要时不用。35例：F=m（0,2,5,9,15）+ （6,7,8,10,12,13,14）化简为最简与或式。110111101110010110100 AB CD F=BD+BD+AC 注意：1、利用格是为了扩大合并1格的卡诺圈，因此某些格无法利用的作0格处理。 2、包含格

16、的卡诺圈仍然必须至少有一个未被其它圈圈过的1格，否则产生冗余项。 36例2.6.22 用卡诺图化简逻辑函数 1011101110110100000010110100AB CD F(A,B,C,D) = A B C + A D + B C D 图 2.6.2237例2：已知：F= ABD +A B D + ABCD，约束条件：AB+AC=0，试求F的最简与或表达式。110111101110010110100AB CD F=BD+BD 38例2：求F（ABCD）= m（1,3,4,6,9）+ （10,11,12,14,15）化简为最简或与式。 111001110010101100010110100

17、AB CD F=BD+BD F=(B+D)(B+D) 392.卡诺图的运算 (1) 相加 001010010010110100ABC000010110010110100ABC001010110010110100ABC40(2) 相乘 001010010010110100ABC000010110010110100ABC000010010010110100ABC41(3) 异或 001010010010110100ABC001010100010110100ABCA000010110010110100BC42(4) 反演 001010010010110100ABC110111101010110100

18、ABC43例：已知F1(A,B,C,D) = A B + C D F2(A,B,C,D) = B C + A D 解：用卡诺图分别表示函数F1 ，F2 ，F ，如下图所示。 44AB CD AB CD 00011110000010011110111100101001AB CD 0001111000101111110111100011110000111111111011F1 F2 F 45练习：化简F=（A+B）（C+D）为最简与或式 AB CD AB CD 0001111000111011111101AB CD 00011110000111111111111011110001111000111011111111110111F1 F2 F=ABC+ABD+BCD+ACD 463. 无关项的运算规则+01101001 =表