成有限单元法8-15章课后习题答案

1、计算力学（2）作业 第 11 章工程力学系 力 9299178811.2 对于（11.3.12）式所表达的K e ，分别采用一点和 2 点积分求其显式表达s式，并为什么必须采用一点积分才能避免剪切“锁死”？5Et12(1 ) ，再由（11.2.27）D( s ) 1B B rd 2 LKe D( s )Tr r L sin sss解：，其中。10dNcos dN1sin dN2cos dN2B sin NN1s2 1dsdsdsds ，dN1 ds 1LdN2 1N 1 N s / L12dsL ，因此：其中B sin 1 cos 1sin 1cos 1 1sLLLLT 11L11L111L1

2、LBT B sin . cos 1.sin cossin . cos 1.sin coss s LL LLsin cossin2 1L21L21sin ( 1) 11sin 1 sin cossin2 LL2L2 cos2 L cos ( 1)sin cos1L21cos 1 sin coscos2 sin L2L2L2LL( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) cos( 1)2sin cos L1LL 1 L2L sinsin cos( 1)sin cossin sin sin 22L2L21LL21L sin cos cos cos ( 1)sin cos cos2 cos2 L2L2L

3、2L2L( 1)L 2cos sin cos sin 1 LLLL5ELt 11B rd 2 L B B (r L sin )dKe D( s)TTBsss6 (1 )ss 100 0 1 0 1 0 12 ，积分权系数：H 1。22（1）、采用 1 点Gauss 积分：积分点坐标因此：第 1 页 共 1 页Ke 5 ELt s6 (1)sin2LsinsincosLsinsinLsinsin2LsinsincosLsinsinLsin (r1 (r1 )(r 2L 1(r1 )(r1 )(r1 )L2L2L2L2222222L2(r Lsin)cos ( LsinsincosLsincos

4、LsincosLsin2212cos(r1 (r1 )(r )2L 1r1)L2L2L222L2221(r Lsinsin r LsincosLsin1 r Lsin( )2L 1r )( )4 1)(114222L22sin 2Lsin2Lsin2sincosL2Lsin2Lsin(r (r (r )111L22Lsincos2Lsincos(r (r Symmetric)11L222L21Lsin(r1 )42 1 (113 1 (1)1)12223（1）、采用 2 点 Gauss 积分：积分点坐标，积分权系 12 。因此,仿照上面的就可以计算出。H H12数：分析：Ke 的被积函数最高次

5、为 2，采用两点 Gauss 积分可以达到 22-13 次，所以s是精确积分。为了避免剪切锁死，必须减缩积分，则只能采用 1 点 Gauss 积分。111.3 导出（11.3.25）式的 Rs 的表达式。cos dz dzsin dr drdsJd ，dsJd解：由（11.3.20）式知道：。对这两个式子求导：ddd1 d 2 zddzddz () sin () sin dJ d 22sin d() /(sin )d Jd() d Jddddd1 d 2rddrddrcos()() / cosd cos (2 ) cos2J ddd Jddd Jdd 1 d 2 z1 d 2r(2 ) sin

6、 (2 ) cosdJ dJ d两式相加：ds dJ 因此：（又由（11.3.19），）第 2 页 共 2 页 d d d21 d 2r1 d 2 z2dr d r dz11d z1() sin () cos 2(11 3 20) Rsdsd dsJ J dJ dJdJddJd22221d 2 z drd 2r dz()d 2 dd 2 dJ 333r Ni ri z Ni zii1N (1 )(1 2 )N (2 1)N 4 (1 )又因为，。i1123dr d3 i1dr dNi3 i1dNi drdidN i所以d 2 zd 2，d 2(1 3 4 )z (2 )z (4 4 )z 4(

7、z z 2z )d 2123123222，同理其他。 1 4 (zdNi 3)dNi d323 z 2zr (r r 2r )zi123ii11d3RJi1因此最终结果：sBT DB11.4 求（11.3.21）式中的解：ij 的显式表达式。 cos dNisin dNi0dsdsNi r0 00dNB 0 i dsi 0Nsin i 0rNidNdN sin i cos i （ i 1, 2, 3 ）dsds D(m)0D(b) 00D 00 Et 1 t 2D(m) 0D( s )1DD12(b) (m)12 其中 ，dN1 dN1 dD(s) k Et , k 5 1 (4 3)dN2 1 (4 1)2(1 )dsd dsJ6dsJ。 并 且 有，dN3 4 (1 2 )， N1 (1 )(1 2 ) ， N2 (2 1) ， N3 4 (1 ) 。dsJdzdz13dNi1i1cos dsJd(4 3)z (4 1)z 4(1 2 )z J 2123第 3 页 共 3 页zidJsin dr (4 3)r (4 1)r 4(1 2 )r 1123J 2ds因此最后的结果为： cos dNisin dNi 000dsdsBT DB sin dNiNi r0cos dNiEt1 200ijdsdsdNN 0sin i i dsNirdNsin