不等式中恒成立问题的解题策略

1、PAGE PAGE 13不等式中恒成立问题的解题策略在高中数学的不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题.对这类问题学生往往感到困难，所以帮助学生领会问题实质，把握问题的思维特点，是解决这类问题的关键.实际上，“恒成立”问题的思维特点和解题的突破口就在一个“恒”字上，解决此类问题需要涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点.通过对高中数学中不等式的恒成立问题的总结归纳，发现这类问题在解题

2、过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的图像和性质；运用反证法等.本文通过对具体问题的分析，来说明不等式中的“恒成立”问题的解法思路.一、一次函数型给定一次函数(0),若在内恒有0，则根据一次函数的图象（线段）可得上述结论等价于或也可合并成同理，若在内恒有，则有nmoxynmoxy例1若不等式21对一切都成立，求实数的取值范围.解：令（）21，则上述问题即可转化为关于m的一次函数 在区间-2，2内函数值小于0恒成立的问题.考察区间端点，只要0且0即可，解得（，）.本题的不等式中出现了两个变量：、,并且是给出了m的范围,要求x的相应范围.若直接从关于的不等式正

3、面出发求解较难，而把看作自变量，看成参变量，则上述问题即可转化为在区间-2，2内关于的一次函数函数值小于0恒成立,求参变量的范围的问题,进而化难为易,问题得以解决.二、二次函数型对于二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立.例2：若关于的不等式的解集是，求的范围.解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数，所以要讨论是否是0.（1）当时，原不等式可化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，.这是一个含参数的不等式恒成立的问题.不等式的解集是，实际上就是不等式在上恒成立.但注意要对不等式中的参数的不同取值要进行分类讨论.此解法体现了数形结合和分类讨论的思

4、想方法，这些都是常用的数学思想方法，在数学教学中应反复强调，以引起学生的重视,让其在学习数学知识的过程中,不断加深对数学思想方法的理解,提高数学思维的灵活性.三、变量分离型若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的值域或最值问题求解.理论依据：例3、当为何值时，不等式恒成立？解： 又(+)2+3的最小值为4. 要使恒成立(-1)24. 解得 09. 当09时，不等式恒成立.本题中的不等式两边都有，若直接求解,则不太容易，因此可以先对不等式进行化简变形，把含有的项全部放在不等号一边，另一

5、边看成关于cosx的二次函数,从而得以解决. 特别要注意，用上述方法解不等式恒成立问题时，m必须是一个与自变量x无关的量，否则不能转化！四、把不等式恒成立问题转化为函数图像问题例5 若不等式对于任意都成立，求的取值范围. 解：作出函数的图像，如右图所示.由题意知 在(0, ，函数的图像总在函数的图像的上方.所以. 作直线=，与和的图像分别交于A、B两点，为保证在区间（0，上的图像在图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方.当=时，, 又 得1学生看到这个题目可能一开始束手无策，因为此题中的不等式左边是对数式，右边是三角式，很难用初等数学的知识去解这个不等式，但如果想到数形结合的方法，

6、把左右两边分别看成两个函数.把左边看成对数函数，右边看成三角函数，这个不等式对任意（0，都成立，就转化为函数的图像在区间（0，上都在函数图像的上方，这就从一个代数的不等式问题转化到了一个函数图象的问题，然后从图像中寻找条件，就能解决问题.五、采用逆向思维，考虑使用反证法.例6、设是定义在实数集上的函数，对任意实数都有，且存在实数，使.求证：对任意实数，恒成立.分析：这是一个抽象函数的证明题，由，只要令，就能得到，接下来要证明对任意实数，都不等于.这是一个恒成立问题.从正面直接证明比较困难，所以可以考虑反证法，即如果找到一个使，能推出矛盾就行了.事实上，若存在使，则对任意实数，有，显然这与题设“

7、存在实数，使”矛盾.恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，会对解题带来一定的帮助，所谓“正难则反”就是这个道理.总之，不等式中的恒成立问题的解法思路主要就是转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题.而要让学生做到正确的、灵活的转化，就要求我们在高中数学的教学过 程中，经常引导学生对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高数学解题能力,增强对数学学习的信心.恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手

8、，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者. 1.抓“解集” 对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把“解集”作为“恒成立”求解的突破口. 例1 关于x的不等式x+(m+1)x+m0在0，9)上恒成立，求实数m的取值范围. 解析：原不等式等价于(x+1)(x+m)0, x0,即x-m, x0.当m0时，不等式解集为空集；当m0时，原不等式解集为0,m2)，当且仅当0，9)0,m2

9、)且m0时，原结论成立，即m29且m0，故m-3. 2.抓“主元” 在错综复杂的各种矛盾中，抓住了主要矛盾，就犹如抓住了一根主线，从而使次要矛盾迎刃而解.同样地在数学问题中，多变元的干扰，常会使学生思维的头绪，陷入众多繁复的岔道中，剪不清，理还乱，而如若分清主次，抓住主元，则犹如抓住一根主线，一目了然. 例2 (2006四川卷(文)已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5，其中f(x)是f(x)的导函数，对满足-1a1的一切a的值，都有g(x)0,求实数x的取值范围. 解析：它表面上是一个给出参数a的范围，解不等式g(x)0的问题，事实并非如此.现把以x为变量的函数g(

10、x)=3x2-ax+3a-5，改为以a为变量的函数，即以变量a为主元，令(a)=(3-x)a+3x2-5(-1a1)，则对-1a1，恒有g(x)0，即(a)0，从而转化为对-1a1,(a)0恒成立问题，又由(a)是a的一次函数，问题就容易解决了，只需(1)0, (-1)0,即 3x2-x-20, 3x2+x-80,解方程组得-233.抓“” 二次不等式是不等式问题中一种最常见的题型，解决这类问题有很多方法，但万变不离其宗，其最根本的方法，还是利用“二次式中的判别式”. 例3 若不等式-x2+2mx-2m-10,x0，1恒成立，求m的范围. 解析：不等式要求在x0，1时恒成立，所以0仅是一个充分

11、条件.按判别式讨论，设f(x)=-x2+2mx-2m-1. (1)0时，可解得1-2(2)()0 f(0)0 m0或()0 f(1)1解得-12-12. 4.抓“分离” 由“函数极值”思想可得，f(x)a恒成立af(x)min;f(x)a恒成立af(x)max.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的 问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法. 例4 在ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(4+B2)+cos2B，且|f(B)-m|1, m3，即m(1，3. 例5 (2000年日本大学入学试题)已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+

12、4x，其中k为实数. (1)若对任意的x-3，3，都有f(x)g(x)成立，求k的取值范围； (2)若对任意的x1、x2-3，3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围. 解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,问题转化为F(x)0在x-3，3上恒成立，为此只需F(x)在-3，3上的最小值F(x)min0即可.F(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2),由F(x)=0得x=2或x=-1.F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,F(x)min=k-45,由k-450，解得k45. (2)由题意可知，当x-3，3时，都

13、有f(x)maxg(x)min.由F(x)=16x+16=0得x=-1.f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,f(x)max=120-k,又由g(x)=6x2+10 x+4=0,得x=-1或x=-23,g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,g(x)min=-21，则120-k-21，解得k141. 5.抓“图形” “数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获. 例6 已知a0且a1，f(x)

14、=x2-ax，当x(-1，1)时，有f(x)12，试求实数a的取值范围. 解析：本题其实也是一个恒成立问题，即函数f(x)12在区间x(-1，1)中恒成立.由f(x)=x2-ax0的解集为A，B=x|1解析：这是一个在不等式成立的前提下，求参数的范围问题.题目的要求与大部分见到的题并不相同，这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题，而本题却是一个不等式能成立的问题，因为题目的条件是只要集合A，B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)0在区间(1，3)有解就可以，这等价于f(x)max0,在x(1，3)成立. (1)当a0时，因为f(x)的图像的对称轴1a0a0时，f(x)max=f(

15、3)=7a-60a67.于是，实数a的取值范围是(-,-2)(67,+). 如果题目的条件不是AB，而是BA，则就化为f(x)0在区间(1，3)恒成立的问题了.不等式恒成立问题中的参数求解技巧 在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：用一元二次方程根的判别式，参数大于最大值或小于最小值，变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。一、

16、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。例1 对于xR，不等式恒成立，求实数m的取值范围。解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。变形：若对于xR，不等式恒成立，求实数m的取值范围。此题需要对m的取值进行讨论，设。当m=0时，30，显然成立。当m0时，则0。当m0时，显然不等式不恒成立。由知。关键点拨：对于有关二次不等式（或0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取

17、值范围。解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足0，即，解得2k0，可知a+x1，所以。原不等式变形为。，即。又，可得恒成立。设，在x1，2上为减函数，可得，知。综上知。关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。解：首先，欲使恒成立（x、y0），进行换元令。上述不等式变为，即恒成立。寻求的最小值，由a0，b0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式变为，即。寻求的最大值，易得。综上知存在使上述不等式恒成立关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值，左边

18、寻找最大值，可得c=三、变更主元在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。解：原不等式可化为令是关于m的一次函数。由题意知解得x的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。例7 已知是定义在1，1上的奇函数且，若a、b1，1，a+b0，有。（1）判断函数在1，1上是增函数还是减函数。（2）解不等式。（3）若对所有、a1，1恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）设，则，可知，所以在1，1上是增函数。（2）由在1，1上是增函数知解得，故不等式的解集（3）因为在

19、1，1上是增函数，所以，即1是的最大值。依题意有，对a1，1恒成立，即恒成立。令，它的图象是一条线段，那么。关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（3），转换视角变更主元，把看作关于a的一次函数，即在a1，1上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。浅谈恒成立问题长沙县三中 李铁近几年来，恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考的一个热点，它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质、

20、图象,渗透着分类讨论、化归于转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法，能充分的考查了学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。本文试图探索几种重要的恒成立问题的解答技巧与策略。构造函数、区间最值求解例1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，。例2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为

21、二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立设则方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式

22、a+cos2x5-4sinx可化为a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x0,t-1,1恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a0a2数形结合 、特值探求设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x-1,+

23、)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值范围为-3，1。例5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), 1,并且必须也只需故loga21,a1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20 x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20 x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的范围为，）。正难则反、逆向思维例