高中数学必修二 6．3.1应用案巩固提升

1、A基础达标1若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是()e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a，使ae1e2的实数，有无数多对；若1，1，2，2均为实数，且向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使1e11e2(2e12e2)；若存在实数，使e1e20，则0.ABC D解析：选B.由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确对于，当12120时，这样的有无数个故选B.2在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq o(BC,sup6()e1，eq o(DC,sup6()e2，则eq o(OC,sup6()()A.eq f(1,2)(e1

2、e2) B.eq f(1,2)(e1e2)C.eq f(1,2)(2e2e1) D.eq f(1,2)(e2e1)解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，eq o(BC,sup6()e1，eq o(DC,sup6()e2，所以eq o(OC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BC,sup6()eq o(DC,sup6()eq f(1,2)(e1e2)，故选A.3已知e1，e2为基底，向量eq o(AB,sup6()e1ke2，eq o(CB,sup6()2e1e2，eq o(CD,sup6()3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2 B3C2 D3解析：选A.eq

3、o(DB,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CD,sup6()e12e2(e12e2)又A，B，D三点共线，则eq o(DB,sup6()和eq o(AB,sup6()是共线向量，所以k2.4已知ABC的边BC上有一点D，满足eq o(BD,sup6()3 eq o(DC,sup6()，则eq o(AD,sup6()可表示为()A.eq o(AD,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6() B.eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()C.

4、eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()3 eq o(AC,sup6() D.eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()解析：选B.由eq o(BD,sup6()3 eq o(DC,sup6()，得eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6(

5、)eq f(3,4)eq o(AC,sup6().5若D点在三角形ABC的边BC上，且eq o(CD,sup6()4eq o(DB,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，则3rs的值为()A.eq f(16,5) B.eq f(12,5)C.eq f(8,5) D.eq f(4,5)解析：选C.因为eq o(CD,sup6()4eq o(DB,sup6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，所以eq o(CD,sup6()eq f(4,5)eq o(CB,sup6()eq f(4,5)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,s

6、up6()req o(AB,sup6()seq o(AC,sup6()，所以req f(4,5)，seq f(4,5).所以3rseq f(12,5)eq f(4,5)eq f(8,5).6已知a，b是一个基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：因为a，b是一个基底，所以a与b不共线，因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b，所以eq blc(avs4alco1(3x4y6，,2x3y3，)解得eq blc(avs4alco1(x6，,y3，)所以xy3.答案：37已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq o(AC,sup6()eq

7、o(CB,sup6()0，若eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，用a，b表示向量eq o(OC,sup6()，则eq o(OC,sup6()_解析：eq o(AC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(CB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()，因为2eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()0，所以2(eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，所以eq o(OC,sup6()2eq o(OA,sup6(

8、)eq o(OB,sup6()2ab.答案：2ab8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若eq o(BE,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BD,sup6()(，R)，则_解析：因为eq o(BE,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OE,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(EA,sup6()eq f(1,2)eq o(BD,sup6()eq o(EB,sup6()eq o(BA,sup6()，所以eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(1,4)eq

9、o(BD,sup6()，所以eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(3,4).答案：eq f(3,4)9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一个基底；(2)以a，b为基底表示向量c3e1e2.解：(1)证明：假设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得eq blc(avs4alco1(1，,32，)所以不存在故a与b不共线，可以作为一个基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.所以eq blc(avs4alco1(mn3，,2m3n1，)解得eq

10、 blc(avs4alco1(m2，,n1.)所以c2ab.10.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且eq o(BM,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，eq o(CN,sup6()eq f(1,3)eq o(CA,sup6()，eq o(AP,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，试用a，b将eq o(MN,sup6()，eq o(NP,sup6()，eq o(PM,sup6()表示出来解：eq o(NP,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AN,sup6()

11、eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)aeq f(2,3)b，eq o(MN,sup6()eq o(CN,sup6()eq o(CM,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,3)beq f(2,3)(ab)eq f(2,3)aeq f(1,3)b，eq o(PM,sup6()eq o(MP,sup6()(eq o(MN,sup6()eq o(NP,sup6()eq f(1,3)(ab)B能力提升11若e1，e2是平面内所有向量的一个基底，且a3e

12、14e2，b6e1ke2不能构成一个基底，则k的值为_解析：当ab时，a，b不能构成一个基底，故存在，使得ab，即3e14e2(6e1ke2)，所以63，且k4.解得eq f(1,2)，k8.答案：812已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，eq o(AP,sup6()yeq o(AD,sup6()，eq o(AQ,sup6()xeq o(AB,sup6()，其中x，yR，且均不为0.若eq o(PQ,sup6()eq o(BE,sup6()，则eq f(x,y)_解析：因为eq o(PQ,sup6()eq o(AQ,sup6()eq o(AP,sup6()xeq o(AB,sup6()y

13、eq o(AD,sup6()，由eq o(PQ,sup6()eq o(BE,sup6()，可设eq o(PQ,sup6()eq o(BE,sup6()，即xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()(eq o(CE,sup6()eq o(CB,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6()eq f(,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，所以eq blc(avs4alco1(xf(1,2)，,y，)则eq f(x,y)eq f(1,2).答案：eq f(1,2)13.如图所示，在OAB中，

14、eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，M，N分别是边OA，OB上的点，且eq o(OM,sup6()eq f(1,3)a，eq o(ON,sup6()eq f(1,2)b，设eq o(AN,sup6()与eq o(BM,sup6()交于点P，用向量a，b表示eq o(OP,sup6()，则eq o(OP,sup6()_解析：因为eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MP,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(NP,sup6()，设eq o(MP,sup6()meq o(MB,sup6()，eq o(

15、NP,sup6()neq o(NA,sup6()，则eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()meq o(MB,sup6()eq f(1,3)am(beq f(1,3)a)eq f(1,3)(1m)amb，eq o(OP,sup6()eq o(ON,sup6()neq o(NA,sup6()eq f(1,2)(1n)bna.因为a与b不共线，所以eq blc(avs4alco1(f(1,3)（1m）n，,f(1,2)（1n）m.)neq f(1,5).所以eq o(OP,sup6()eq f(1,5)aeq f(2,5)b.答案：eq f(1,5)aeq f(2,5)b14.如图

16、，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段OD上有点M满足eq o(DO,sup6()3eq o(DM,sup6()，线段CO上有点N满足eq o(OC,sup6()eq o(ON,sup6()(0)，设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，已知eq o(MN,sup6()aeq f(1,6)b，试求实数，的值解：依题意得eq o(BD,sup6()ba，eq o(AC,sup6()ab，且eq o(DM,sup6()eq f(1,6)eq o(DB,sup6()eq f(1,6)(ab)eq f(1,6)aeq f(1,6)b，eq o(AN,sup6()

17、eq o(AO,sup6()eq o(ON,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)eq o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)(ab)，所以eq o(AM,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DM,sup6()beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)af(1,6)b)eq f(1,6)aeq f(5,6)b，eq o(AN,sup6()eq o(AM,sup6()eq o(MN,sup6()eq f(1,6)aeq f(5,6)beq blc(rc)(avs4alco1(af

18、(1,6)b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)aeq f(2,3)b，即eq o(AN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)aeq f(2,3)b，由平面向量基本定理，得eq blc(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)f(2,3)，,f(1,2)f(1,2)f(1,6)，)解得eq blc(avs4alco1(3，,f(1,2).)C拓展探究15如图所示，在ABCD中，eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，BMeq f(2,3)BC，ANeq f(1,4)AB.(1)试用向量a，b来表示eq o(DN,sup6()，eq o(AM,sup6()；(2)AM交DN于O点，求AOOM的值解：(1)因为ANeq f(1,4)AB，所以eq o(AN,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)a，所以eq o(DN,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)ab.因为BMeq f(2,3)BC，所以eq o(BM,sup6()eq f(2,3)e