1.1　集合的概念与表示课件-高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

1、第1章1.1集合的概念与表示学习目标1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系，知道常用的数集及其相应的记法.2.在具体情境中，理解两个集合相等的含义；初步了解有限集、无限集、空集的意义.3.初步掌握集合的两种表示方法列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合.核心素养：数学抽象、数学运算新知学习一、集合与元素的含义一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.概念理解对象：可以是数、点、图形，也可以是人或物等，即对象形式多样化.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义.

2、因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.多选题下列所给对象能构成集合的是（）A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点B.高中数学必修第一册课本上的所有难题C.比较接近1的正整数全体D.某校高一年级16岁以下的学生即时巩固【解析】B，C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；A中的对象能构成集合，因为有确定的标准，元素是“平面直角坐标系内

3、到原点的距离等于1的点”；D中的对象能构成集合 ，因为有确定的标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”.故选AD.AD【方法归纳】判断一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.二、元素与集合1.元素、集合的符号表示我们通常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素.2.元素与集合的关系及其符号表示元素与集合有且只有两种关系：属于和不属于.关系含义记法读法属于a是集合A的元素，就说a属于AaAa属于A不属于a不是集合A的元素，就说a不属于AaAa不属于A【注意】（1）对任何元素a和集合A，a

4、A和aA两种情况有且只有一种成立.（2） a和a表示的含义不同.a表示一个由元素a组成的集合，a是集合a的元素，即aa.3.集合中元素的三个特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.【知识拓展】元素的三个特性的主要应用（1）确定性：判断一组对象能否构成集合，界定模糊的对象不能构成集合，如“小河流”等.（2）无序性：方便定义集合相等.

5、（3）互异性：警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数（即字母）时，一定要检验求出的参数是否满足集合中元素的互异性.4.集合相等如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等，记作AB.【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.如：集合1，2，3与集合3，2，1相等.（3）两个集合是否相等，不能只看形式.如：不等式0 x1的解集与不等式 0y1的解集是两个相等的集合.三、集合的表示方法 1.自然语言法用文字叙述的形式表述集合的方法.如小于10的所有的自然数组成的集合.2.列举法

6、将集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫作列举法.【注意】（1）花括号“ ”表示“所有”“整体”的含义.如：实数集R可以写为实数，但如果写成实数集，全体实数，R都是不正确的.（2）用列举法表示集合时应注意：元素之间要用“，”隔开；元素之间不能重复（互异性）；根据集合中元素的无序性，元素的书写一般不考虑顺序，故一个集合可以有不同的列举方法，但为了清晰直观，一般按一定顺序书写，特别是元素较多的集合.（3）要注意自然语言法和列举法之间的转化.【思考】哪些集合适合用列举法表示？（1）有限集，元素不太多.（2）有限集，元素较多但排列呈现一定规律.（3）无限集，但元素排列呈现

7、一定规律，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示.（4）集合所含元素不易表述时宜用列举法.如集合x2，x2+y2，x3.用列举法表示下列集合：（1）小于13的既是奇数又是素数的所有自然数组成的集合；（2）方程x2-2x+10的实数根组成的集合.即时巩固【解】（1）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为3，5，7，11.（2）方程x2-2x+10有两个相等的实数根，为1，因此可用列举法表示为1.【方法归纳】将自然语言描述的集合用列举法表示的一般步骤（1）求出（或明确）集合中的元素；（2）将各元素全部放在花括号“ ”内，元素之

8、间要用“，”隔开.3.描述法将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成x|p（x）的形式，这种表示集合的方法称为描述法.【提示】用描述法表示集合需要注意三点（1）表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”.（2）“竖线”不可省略.（3）x|p（x）中的p（x）可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示.如：不等式x-73的解集为x| x10，xR，奇数集为x|x2k+1，k Z，偶数集为x|x2n，nZ.【思考】什么类型的集合适合用描述法表示？描述法可以看清集合的元素特征，一般含较多元素或无数多个元素，且排列无明显规律的集合，或者

9、元素不能一一列举的集合，宜用描述法.即时巩固【点评】列举法与描述法的转化【知识拓展】集合的三种常用表示法的对比表示方法列举法描述法Venn图法实例A1，3，5，7Ax|x是小于8的正奇数优点直观、明了，但需要明确集合中有哪些元素简练、严谨，但需要找到元素的特征形象、直观缺点不方便表示无限集略显抽象是图形，一般作为辅助手段4.Venn图（图示）法画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.集合1，2用Venn图表示如图所示.四、集合的分类及常用的数集1.有限集、无限集与空集类别意义有限集含有有限个元素的集合.如x|x为方程3x+10的实数解，2，4，6，8，它们的元素个数是有限的

10、，因此这两个集合都是有限集无限集含有无限个元素的集合.如x|x为三角形，组成这个集合的元素个数是无限的，因此它是无限集空集我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.如x|x2+10，xR是空集【温馨提醒】理解空集时，需注意区分（1）与0是不同的，中没有任何元素，0表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（ 0，这一点下一节我们将学习到）.（2）0与也是不同的，0只是一个数字，而表示集合，这个集合中没有任何元素.（3）并不是空集，而是把空集作为一个元素所构成的集合，也就是说中有一个元素，这个元素就是，即.2.常用数集及其记法（要牢记）数学中一些常用的数集及其记法：全体自然数组成的集

11、合，叫作自然数集，记作N；全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.即时巩固五、数集与点集 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示，即x|通常表示数的集合，（x，y）|通常表示点的集合.常见情形如下表.类别集合集合的定义数集x|yx2+1表示函数yx2+1的所有自变量的取值组成的集合y|yx2+1表示函数yx2+1的所

12、有函数值组成的集合x|x2-10，xR表示方程x2-10的解集，即1，-1点集（x，y）|yx2+1表示函数yx2+1图象上所有的点组成的集合表示二元一次方程组的解集，即（5，3）【提示】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键在于代表元素.数集：集合x|yx2-3与集合y|yx2-3不同，x|yx2-3表示使函数yx2-3有意义的x的范围，因此x|yx2-3R；y|yx2- 3表示函数yx2-3的函数值y的范围，因此y|yx2-3y|y-3.这两种表示方法为以后学习函数的定义域和值域提供了条件.点集：（x，y）|yx2-3表示满足方程yx2-3的解的集合，即函数yx2-3的图象

13、上的点构成的集合.（m，n）表示有序实数对，即m，n的位置不可互换，如（3，5），（5，3）表示不同的集合.典例剖析一、集合中元素特性的应用1.元素的三个特性例 1 已知集合A中的三个元素a，b，c可作为一个三角形的三条边的长，那么这个三角形一定不是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解析】因为a，b，c是集合A中的元素，所以a，b，c均不相同，所以该三角形一定不是等边三角形.D【方法总结】集合中元素三个特性的应用1.确定性：找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.2.互异性：确定构成集合元素的个数，这点要特别注意.3.无序性：集合的

14、确定与元素之间的排列顺序无关.2.集合中元素个数问题例 2 设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB，则M中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.6B【分析】利用已知条件，直接求出a+b，再利用集合中元素的互异性求出M中元素的个数即可.【解析】因为集合A1，2，3，B4，5，Mx|xa+b，aA，bB， 所以a+b的值可能为1+45，1+56，2+46，2+57，3+47，3+58，所以M中的元素有5，6，7，8，共4个. 【方法总结】确定集合中元素个数的方法（1）分析元素特征，明确集合中元素是点、数，还是其他元素.（2）列举出所有元素，检验集合中元素是否满足互异性.（3）若集

15、合中的元素含有参数，则关键是抓住集合中元素的互异性，采用分类讨论的方法进行研究.3.已知两个集合相等求参数例 3 设集合Ax，y，B0，x2，若AB，求实数x，y的值.【解】因为AB，所以x0或y0.（1）当x0时，x20，则B中的元素0重复出现，此时集合B不满足互异性，舍去.（2）当y0时，xx2，解得x1或x0（舍去），此时A1，0B，满足条件.综上可知，x1，y0.【方法总结】已知集合相等求参数的步骤（1）确定两个集合中相等的元素；（2）将含参数且未明确建立联系的两个集合中的元素进行分情况讨论，列出含参数的方程（组）；（3）解方程（组）求出参数，根据元素的互异性进行检验.BD2.利用元素

16、与集合的关系求参数例 5 已知集合A有三个元素：a-3，2a-1，a2+1，集合B也有三个元素：0，1，x.（1）若-3A，求实数a的值；（2）若x2B，求实数x的值.【解】（1）由-3A且a2+11，可知a-3-3或2a-1-3.当a-3-3时，解得a0；当2a-1-3时，解得a-1.经检验，a0与a-1都符合要求.故a0或-1.（2）当x0，1或-1时，都有x2B，但考虑到集合元素的互异性，可知x0，x1，故x-1.【点评】若题目中出现含参数的集合问题，解题时要根据集合中元素的互异性，对参数的取值进行取舍，否则会产生“增解”.换句话说，“互异性”是求解问题不可忽略的一点.【方法总结】已知元素与集合的关系求参数的思路（1）若集合A是用列举法表示的，且aA，则a一定等于集合A中的某个元素；若集合A是用描述法表示的，则a一定满足集合中元素的共同特征，如满足方程（组）、不等式（组）等.反之，若aA，则a不等于集合中的每一个元素或不满足相应的方程（组）、不等式（组）等.（2）解方程（组）或不等式（组）得参数的值或取值范围，再根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.三、集合的表示方法及其应用1.用列举法和描述法表示集合例 6 用适当的方法表示下列集合：（1）所有奇数组成的集合；（2）不大于10的所有素数组成的集合；（3）平面直角坐标系中的