复变函数作业答案13-14次

1、华 东 理 工 大 学复 变 函 数 与 积 分 变 换 作 业 （第 7 册）班级学号任课教师第十三次作业教学内容：7.5Fourier 的卷积性质；8.1质。1计算下列函数的卷积变换的概念 8.2变换的性t 0t 0t 0f (t) 0f (121 t 0t 0解：显然，有 f1 (t ) 1 t 当t 0 时，由于 f2 ( ) f1 (t ) 0 ，所以 f1 (t) f 2 (t) f 2 ( ) f1 (t )d 0tt当t 0 时 f (t) f (t) f 2 ( ) f1 (t )d f 2 ( )d 0d1200 1 e 1 (1 eat )0aa2已知 f (t) cos

2、0t u(t) ，求 f (t) .1解：已知 u(t) () i又f (t) cos t u(t) 1 ei0tu(t) ei0tu(t)02由位移性质有 f (t) 1 11( ( ) ) 0i( 0i( )2)00 ( ) ( ) 002 2 203填空20 t 2(1) f (t) 32 t 4 的 Laplace 变换为0t 41F (s) 1 (3e4s 5e2s 2)s(2)f (t) e2t 5 (t)的 Laplace 变换为_ F (s) 5s 9s 2s 2(3) f (t) cost (t) sin t u(t) 的 Laplace 变换为 F (s) s 2 1(4)

3、f (t) 1 tet 的 Laplace 变换为 F (s) 1 1s(s 1)21(5) f (t) t 3 2t 1的 Laplace 变换为 F (s) (s3 2s 2 6)s 4s 2(6) f (t) e2t cos 6t 的 Laplace 变换为 F (s) (s 2)2 364. 求下列函数的 Laplace 变换.(1) f (t) (t 1)2 et解： f (t) = (t i) 2 et = (t 2 2t 1)et d 2ds 2t = s 4s 52d= e t +2 e t + e(s 1)3ds(2)f (t) t cos3t解：L t cos3t ( Lc

4、os3t)sss2 9) (s2 9(s2 9)2(3)f (t) t neat（n 为正整数）n!解：利用 t n =及位移性质得sn1n! f (t) = t neat (s a)n1(4) F (s) L f (t) Lt 3 2t 1 Lt 3 2Lt L123!2 1s4s2s1(s3 2s2 6)s4第十四次作业教学内容：8.2的性质（续） 8.3逆变换1. 求下列函数的 Laplace 变换t3 d tesin 2(1)f (t) 031 d = s esin 2t =12t3解： 由积分性质 esin 2(s 3)2 4s0再由像函数的微分公式2(3s2 12s 13)d2t

5、= 3 d f (t) = tesin 2s(s 3)2 4s(s 3)2 42ds0sin at(2)f (t) （ a 为实数）t解：利用像函数的积分性质ssinatt ads arctan sF(s) Lsin ktds s2 a2ass arctan s arc cot.s2aattesin 2tdt3t(3)f (t) 0解： e3t sin 2t 2(s 3)2 4 e3t sin 2t d2ds (s 3)2 44(s 3) (s 3)2 4 2所以 f (t) t3tL tesin sin tdt 04(s 3)(s 3)2 42 1 s3t e2t sin 3t(4)f (t

6、) 0dtt1e2t sin 3ts 21131 s Lesin 3tds s2ds arctanss(s 2) 9s解： F(s) Ls2 计算下列积分2tt3sin ttt(1)e dt01解： 0 Lesin tds 0 (s 1)2 1 ds arctan(s 1) 0 t24.4 1 costtt(2)e dt0 (1 cost)e 1 costttte dt Lds解：00s 11s 1(0)dss 12 1s 1s 12 1 ln0 ln23t(3)tesin 2tdt02解：已知 sin 2t = s 2 424s再由微分性质 t sin 2t = () s2 4(s2 4)2

7、4s121693t得tesin 2tdt s3(s 2 4)20填空已知 F (s) 11，则 1 F (s)= et ets 1s 12s，则 1 F (s)= t (et et )（2）已知 F (s) (s 1)22（3）已知 F (s) arctan a ，则 1 F (s)= sin ats1(s2 2s 2)2t，则 1 F (s)= 1 et (sin t t cost)（4）已知 F s 24 求下列拉氏卷积4(1) t t111ttt解： t t (t - )d t d t t t2362333d000(2) sin kt sin kt(k 0)解：sin kt sin kt

8、t11 1 1ttsin kt sin k(t - )d cos(2kt kt)d cosktd sin kt t coskt222k2F (s)s0005 设 f (t) F (s) ，利用卷积定理证明 f (t)dt = f (t) t u(t) 0F (s)1证：= F (s) = f (t) u(t)=f ( )u(t - )d f (t)dtttss006 求下列函数的逆变换s(1) F (s) (s a)(s b)s解法 1: f (t) = 1 F(s) = 1 (s a)(s b)se stse st= Re s(s a)(s b) , a + Re s(s a)(s b) ,

9、 b1=(ae)a bs解法 2： f (t) = 1 F(s) = 1 (s a)(s b)1ab= 1 ) (a b s as b111 1 1 = b(aa bs a)s b1=(aea bs(2) F (s) (s2 1)(s2 4)s1 (ss解法 1: f (t) = 1 F(s) = 1 = 1 ) (s2 1)(s2 4)3 s 2 1s 2 4= 1 ( 1 ss )= 1 (cost cos2t) - 1 s 2 1s 2 4335解法 2：sf (t) = 1 F(s) = 1 (s2 1)(s2 4)se stse st=+Re s,iRe s, (s 2 1)(s 2

10、 4)(s2 1)(s 2 4)ise stse st+ Re s,2i + Re s,2i(s2 1)(s 2 4)(s 2 1)(s2 4)ieitieit2ie2it2ie2it2i(i 2 4) 2i(i 2 4)4i(4i 2 1) 4i(4i 2 1)eiteite2ite2it= 1 (cost cos2t)66663s 1(3) F (s)9s 2 6s 5解： f (t) = 1 F(s) = 1 s 1 = 1 s 1 9s2 6s 59(s 1)2 432s 13131= 9 1212(s ) ( )22(s ) ( )223333 1t1t 1t3122122=(cost e sint e) (cost sint)e339339332s 1(4) F (s) s(s 1)(s 2)2s 1 1 13s解：s(s 1)(s 2)ss 12(s 2) 1 1 =1 , 1 11= et , 1 e2ts 1s 2s2s 11= et 3 e2t2 1s(s 1)(s 2)22s 2 s 5(5)F (s) s3 6s 2 11s 662s 2 s 52s2 s 5解： f (t) = F(s) = 11 s3 6s 2 11s 6 = 1 (s 1)(s 2)(s 3) (2s 2 s 5)e st(2s 2 s 5)e st Re s,1 + Re