大学《概率论与数理统计》课件-第一章随机事件与概率

1、第一章 随机事件与概率1.3 古典概型和几何概型1.1 随机事件及运算1.4 条件概率与乘法公式1.5 独立性1.2 概率及性质1重点要点1： 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件随机事件基本事件 必然事件不可能事件复合事件2互为对立事件1.1 随机事件及运算四种关系：包含、相等、对立、互不相容四种运算：和、积、差、逆四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律3要点2： 事件的关系、运算和运算法则 包含：事件A发生导致B也发生 A是B的子集 相等： 事件A与B相等 A与B相等 不相容/互斥：事件A与B

2、不相容 A与B无公共元素 对立/逆：事件A的对立事件 A的余集 和： 事件A与B至少有一个发生 A与B的并集 积：事件A与B同时发生 A与B的交集 差： 事件A发生而B不发生 A与B的差集 记号 概率论 集合论事件与集合的关系及运算对照4 设A，B，C为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA （2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）对偶律（德摩根律）：事件的运算律5 A. 甲产品滞销，乙产品畅销 B. 甲、乙两产品均畅销 C. 甲产品滞销 D. 甲产品滞销或乙产品

3、畅销D67例2：A, B, C, D四个事件，用运算关系表示下面事件：(1) A, B, C, D至少有一个发生；(2) 都不发生；(3) 都发生；(4) A, B, C, D恰有一个发生；(5) 至多一个发生.解： (1) (2)(3)(4)(5)8要点：概率的性质(1) 规范性：P() = 0；P() = 1；0 P(A) 1.（反之？）1.2 概率及性质9概率的性质(5) 加法公式： P(AB )=P(A)+P(B)P(AB) 推论1: 设A1, A2, A3为任意三个事件，则有： P(A1A2A3)=P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) -

4、 P(A2A3) + P(A1A2A3) 推论2: 对于任意n个事件A1 , A2 , ，An，则有： P(A1A2 An)= 例1： 10例2：设 同时发生时，C必然发生，则： 11解：1.3 古典概型特点： 12计算方法：设样本空间由n个样本点组成，事件A由m个样本点组成.则定义事件A的概率为：(1) 有限样本空间：样本点总数有限；(2) 等可能性：各基本事件发生的可能性相同 求古典概率的问题实际上就是计数问题 .加法原理、乘法原理、排列组合是计算古典概率的重要工具 .计算要点：1、确定样本点，并计算其总数；2、计算事件所含样本点数。13从0至9这十个数字中不放回地任取4个排好，求恰排成一

5、个4位偶数的概率.例1 取数问题14例2 占位问题15注：事件B与事件A的区别：B中各含一球的n个格子没有指定。16若不考虑闰年，假定一个人在一年内每一天出生的可能性相同，求任意n个人生日各不相同的概率。例3 生日问题17例4 抽签问题解法1解法2记181、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.总结：在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.193、占位问题、抽签问题等，都是古典概型中的常见模型。在遇到实际问题时，我们可以直接套用这些模型来求解。定义 当随机试验的样本空间

6、是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可能的(与子区域的形状和位置无关) ，则事件 A 的概率可定义为1.4 几何概型20 那么 两人会面的充要条件为例：甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t 0，则P(AB)=P(A)P(B|A) (1)若已知P(A)，P(B|A)时, 可以反求P(AB).同理，若P(B) 0，则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)要点2：乘法公式28(1)和(2)式都称为乘法公式，利用条件概率求积事件的概率.推广3个事件:29例1：设某种动物由出生算起活到20年以上的

7、概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为P(B|A) .30要点3：全概率公式31样本空间的划分全概率公式32全概率公式的由来:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。它的实用意义在于:推广：全概率公式的实际意义：B: 结果;原因结果Ai , i=1,2,:导致B发生的各种可能的原因33P(原因)P(结果|原因)用法： 全概率公式的主要用处在于，它可以将一个复杂件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题，最后应用概率的可加性

8、求岀最终结果.例2：设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲厂、乙厂、丙厂成产的. 且甲厂、乙厂、丙厂成产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20. 从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，求取得正品的概率.（抽签问题） 34 解：设B=取得的是正品, A1=该箱产品是甲厂生产的, A2=该箱产品是乙厂生产的, A3=该箱产品是丙厂生产的. 显然，A1A2A3=，且A1、A2、A3互斥.由已知得：P(A1)=5/10， P(A2)=3/10 ， P(A3)=2/10P(B |A1)=9/10，P(B |A2)=14/15，P(B |A3)=19/

9、20由全概率公式得： 35要点4：贝叶斯公式结果原因注:信息B36 全概率公式VS贝叶斯公式逆概率公式贝叶斯公式37全概率公式：由因到果贝叶斯公式：由果溯因例3: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？后验概率 解: 设A产品合格， B机器调整良好已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，求P(B|A)，由贝叶斯公式先验概率38贝叶斯公式在实际中可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.3

10、9贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。在电报通信中需要不断地发出信号0和1，统计资料表明，发信号0的概率为0.6，发信号1的概率为0.4. 由于存在干扰，发0时分别以0.7和0.1收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号x; 发1时，以概率0.85收到1，以概率0.05收到0，以概率0.1收到模糊信号x.问收到x应译成哪个信号较好？40例4：信号收发问题41一、相互独立性的概念与判定42定义1.6 独立性注：1、必然事件和不可能事件与任意事件都相互独立。2、进一步，如果事件A的概率P(A)=1或0，则A与任意事件都相互独立。 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .甲、乙两人向

11、同一目标射击，记 A=甲命中, B=乙命中，A与B是否独立？例如：射击问题即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率。 独立性的判定43除根据定义外，在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai=第 i 件是合格品，i=1, 2.若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：抽样问题因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.44两事件相互独立两事件互斥二者之间没有必然联系45独立与互不相容1、设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：（

12、1）P(B|A)0 （2）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0 （4）P(AB)=P(A)P(B)2、设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：（1）P(B|A)0 （3）P(A|B)=P(A)（3）P(A|B)=0 （4）P(AB)=P(A)P(B)两事件相互独立两事件互斥但一般二者之间没有必然联系A, B相互独立A, B不互斥A, B互斥A, B不相互独立46三事件两两相互独立的概念47注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立三事件相互独立的概念48n 个事件相互独立n个事件两两相互独立推广49二、几个结论50 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.

13、2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少?射击问题例1三、例题讲解解事件 B 为“击落飞机”, 51假设一次试验成功的概率只有1%，试计算尝试100次(各次试验相互独立),至少有1次成功的概率.解: 设Ai=第i次试验成功尝试500次,至少有1次成功的概率达到99%.例2 试验成功的概率52例3解：53 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.解 用A, B, C分别表示甲、乙、丙击中飞机, *例4i=1,2,354D表示飞机被击落.最后,由全概率公式得飞机被击落的概率为55=0.360.2+0.410.6+0.141=0.458本章几个重要公式1.条件概率2.乘法公式 P(AB)=P(B|A)P(A) (P(A)0)，3.全概率公式4.贝叶斯公式56已知 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+P(A|B)=1， 则( )(A) 事件A和事件B互斥; (B) 事件A与B对立 ; (C) 事件A和事件B 不独立; (D) 事件A和B 相互独立.例题选讲57*2. 设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0， 1，2个次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员