高中数学人教A版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何-立体几何的一个实用计算模型

1、立体几何的一个实用计算模型四川省彭州市第一中学包先强【课型】立体几何后期复习【课题】立体几何的一个实用计算模型【教学目标】使学生了解多面角的概念（便于本文的叙述），在三面角（三棱锥）的典型环境中解决立体几中涉及二面角的计算问题。记住三个面角与相应二面角的代数关系。【教学重点】在二面角的基础上引出三面角、多面角的概念（了解就行了）。得出三面角（三棱锥）典型环境中三个平面角与相应二面角的代数关系（公式）。【教学难点】用三面角（三棱锥）的视角去审视有关二面角的计算题。将异面直线所成的角、距离等，通过平移、延长、延展等方法“转化到统一的实用计算模型”中，从而利用“公式”来“知三求一”。注意，在作辅助线

2、方面，传统的方法是在带量的情况下往内作，用三面角求解时，可往外作，更重要的是在大多数情况下，不需要作出二面角的平面角，从而降低定位的繁琐。此方法一但被学生掌握，还有更多引伸。【教学过程】（引导语）数学运算的重要性：计算是数学中很现实的问题，也是重要的数学能力。牵涉到“思想（数学观点数学思维）方法（分析综合转化替换）工具（定理公式坐标向量）”等。解一个计算题，往往是根据问题所涉对象，先建立适当的计算模型（建模），然后在特定的场境中利用定理公式将数据联系起来（包括未知数据），再通过运算（包括很多代数方法）获得计算结果。从某种意义上讲，我们的数学教学就是在老师的带领下，认识数学对象、探索场境规律、得

3、出定理公式，在老师的设计下，学生拿着这些工具返回“典型场境”中去解决“类似问题”的过程。我们正是在这样的典型场境下一次次过关、一点点成长的！（正课程）立体几何：立体几何问题中最常见的是各种“角”、“距”的计算，本节课讨论一个有关上述问题的一个实用计算模型。使解题简明、快捷。三棱锥（三面角）是立体几何问题中经常会出现的典型环境，如图P-ABC。在这样的立体结构中，有三个面角和三个二面角，三个面角记为、，记的对棱PB的二面角A-PB-C的平面角大小为，的对棱PA的二面角C-PA-B的两面角大小为，的对棱PC的二面角B-PC-A的平面角大小为。这样有如下结论：ABCPABCPEF你看出它们的规律了吗

4、？是不是有点角余弦定理的边和对应角的关系，它的功能是平面角与二面角的相互转化。等会儿我再介绍它的各种用途，现在我们先给出它的证明。如图：过A作PB的垂线于E，过C作PB的垂线于F，易知向量与的夹角，就是二面角A-PB-C的平面角，即：。设,则,则 而同理，可证其余两个式子。推论：当时，即，A-PB-C为直二面角时有：从而推出：，这是教材中讲到的结论，关于这个结论这里不再展开。下面以近几年各地的模拟题和高考题为例说明本模型的几种用法。一、求二面角例：已知AOB90，过O点引AOB所在平面的斜线OC与OA、OB分别成45、60角，则以OC为棱的二面角A-OC-B的余弦值等于ABCO4560解：如图

5、，由三面角结论知所求二面角的平面角的余弦值为：二、求线段的比值例：已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA垂直底面ABCD，当的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120SABCD解：设，有在三面角C-SBD中，以SC为棱的二面角大小为有即：所以：时，B-SC-D的大小为120三、求异面直线的角例：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1 则AB1与C1B所成角为A60B90C105D75如图，延展平面ABB1A1到APQA1，平移AB1为BQ，在三面角BB1C1Q中，二面角QBB1C1的大小为120，所以ABCDB1A1QC1有选（B）四、求两点间的距离EFDABCD例：

6、把长方形ABCD沿对角线AC折成60的二面角，其中，求B、D的距离。解：如图，过D作DEAC，过B作BFAC，易知在三面角A-DFB中， 在ABD中，小结：本文所指三面角的结论是关于顶点出发的三个面角和三个二面角的关系“知三求一”，但异面直线所成的角通过平移可转化为面角，距离可转化为三角形的角来求解。另外，在作辅助线方面，传统的方法是在带量的情况下往内作，用三面角求解时，可往外作，更重要的是在大多数情况下，不需要作出二面角的平面角，从而降低定位的繁琐。此方法一但被学生掌握，还有更多引伸。练习1：成都市“”届毕业班“一诊第18题”满分12分。 把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连结BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。(1)求证：AB/平面EOF； (2)求二面角E-OF-B的大小。 DFCBOEA BACD练习2：正四面体是立体几何中很值得玩味的，高考