三次数学危机

1、数学悖论与三次数学危机“古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”N布尔巴基什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。希帕索斯悖论与第一

2、次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又

3、获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯毕达达哥拉斯斯是公元元前五世世纪古希希腊的著著名数学学家与哲哲学家。他曾创创立了一一个合政政治、学学术、宗宗教三位位一体的的神秘主主义派别别：毕达达哥拉斯斯学派。由毕达达哥拉斯斯提出的的著名命命题“万万物皆数数”是该该学派的的哲学基基石。而而“一切切数均可可表成整整数或整整数之比比”则是是这一学学派的数数学信仰仰。然而而，具有有戏剧性性的是由由毕达哥哥拉斯建建立的毕毕达哥拉拉斯定理理却成了了毕达哥哥拉斯学学派数学学信仰的的“掘墓墓人”。毕达哥哥拉斯定定理提出出后，其其学派中中的一个个成员希希帕索斯斯考虑了了一个问问题：边边长为11的正方方形其

4、对对角线长长度是多多少呢？他发现现这一长长度既不不能用整整数，也也不能用用分数表表示，而而只能用用一个新新数来表表示。希希帕索斯斯的发现现导致了了数学史史上第一一个无理理数22 的诞诞生。小小小22的出现现，却在在当时的的数学界界掀起了了一场巨巨大风暴暴。它直直接动摇摇了毕达达哥拉斯斯学派的的数学信信仰，使使毕达哥哥拉斯学学派为之之大为恐恐慌。实实际上，这一伟伟大发现现不但是是对毕达达哥拉斯斯学派的的致命打打击。对对于当时时所有古古希腊人人的观念念这都是是一个极极大的冲冲击。这这一结论论的悖论论性表现现在它与与常识的的冲突上上：任何何量，在在任何精精确度的的范围内内都可以以表示成成有理数数。这

5、不不但在希希腊当时时是人们们普遍接接受的信信仰，就就是在今今天，测测量技术术已经高高度发展展时，这这个断言言也毫无无例外是是正确的的！可是是为我们们的经验验所确信信的，完完全符合合常识的的论断居居然被小小小的2的存存在而推推翻了！这应该该是多么么违反常常识，多多么荒谬谬的事！它简直直把以前前所知道道的事情情根本推推翻了。更糟糕糕的是，面对这这一荒谬谬人们竟竟然毫无无办法。这就在在当时直直接导致致了人们们认识上上的危机机，从而而导致了了西方数数学史上上一场大大的风波波，史称称“第一一次数学学危机”。欧多克索索斯二百百年后，大约在在公元前前3700年，才才华横溢溢的欧多多克索斯斯建立起起一套完完整

6、的比比例论。他本人人的著作作已失传传，他的的成果被被保存在在欧几里里德几几何原本本一书书第五篇篇中。欧欧多克索索斯的巧巧妙方法法可以避避开无理理数这一一“逻辑辑上的丑丑闻”，并保留留住与之之相关的的一些结结论，从从而解决决了由无无理数出出现而引引起的数数学危机机。但欧欧多克索索斯的解解决方式式，是借借助几何何方法，通过避避免直接接出现无无理数而而实现的的。这就就生硬地地把数和和量肢解解开来。在这种种解决方方案下，对无理理数的使使用只有有在几何何中是允允许的，合法的的，在代代数中就就是非法法的，不不合逻辑辑的。或或者说无无理数只只被当作作是附在在几何量量上的单单纯符号号，而不不被当作作真正的的数

7、。一一直到118世纪纪，当数数学家证证明了基基本常数数如圆周周率是无无理数时时，拥护护无理数数存在的的人才多多起来。到十九九世纪下下半叶，现在意意义上的的实数理理论建立立起来后后，无理理数本质质被彻底底搞清，无理数数在数学学园地中中才真正正扎下了了根。无无理数在在数学中中合法地地位的确确立，一一方面使使人类对对数的认认识从有有理数拓拓展到实实数，另另一方面面也真正正彻底、圆满地地解决了了第一次次数学危危机。贝贝克莱悖悖论与第第二次数数学危机机第第二次数数学危机机导源于于微积分分工具的的使用。伴随着着人们科科学理论论与实践践认识的的提高，十七世世纪几乎乎在同一一时期，微积分分这一锐锐利无比比的数

8、学学工具为为牛顿、莱布尼尼兹各自自独立发发现。这这一工具具一问世世，就显显示出它它的非凡凡威力。许许多多多疑难难问题运运用这一一工具后后变得易易如翻掌掌。但是是不管是是牛顿，还是莱莱布尼兹兹所创立立的微积积分理论论都是不不严格的的。两人人的理论论都建立立在无穷穷小分析析之上，但他们们对作为为基本概概念的无无穷小量量的理解解与运用用却是混混乱的。因而，从微积积分诞生生时就遭遭到了一一些人的的反对与与攻击。其中攻攻击最猛猛烈的是是英国大大主教贝贝克莱。贝克莱主主教17734年年，贝克克莱以“渺小的的哲学家家”之名名出版了了一本标标题很长长的书分析学学家；或或一篇致致一位不不信神数数学家的的论文，其

9、中审审查一下下近代分分析学的的对象、原则及及论断是是不是比比宗教的的神秘、信仰的的要点有有更清晰晰的表达达，或更更明显的的推理。在这这本书中中，贝克克莱对牛牛顿的理理论进行行了攻击击。例如如他指责责牛顿，为计算算比如说说 x2 的导导数，先先将 xx取一一个不为为0的增增量 x ，由由 (x + x)2 - x2 ，得得到 22xx + (xx2) ，后后再被 x 除，得到 2x + x ，最最后突然然令 x = 0 ，求得导导数为 2x 。这是“依靠双双重错误误得到了了不科学学却正确确的结果果”。因因为无穷穷小量在在牛顿的的理论中中一会儿儿说是零零，一会会儿又说说不是零零。因此此，贝克克莱嘲

10、笑笑无穷小小量是“已死量量的幽灵灵”。贝贝克莱的的攻击虽虽说出自自维护神神学的目目的，但但却真正正抓住了了牛顿理理论中的的缺陷，是切中中要害的的。数学史史上把贝贝克莱的的问题称称之为“贝克莱莱悖论”。笼统统地说，贝克莱莱悖论可可以表述述为“无无穷小量量究竟是是否为00”的问问题：就就无穷小小量在当当时实际际应用而而言，它它必须既既是0，又不是是0。但但从形式式逻辑而而言，这这无疑是是一个矛矛盾。这这一问题题的提出出在当时时的数学学界引起起了一定定的混乱乱，由此此导致了了第二次次数学危危机的产产生。牛顿与莱莱布尼兹兹针对对贝克莱莱的攻击击，牛顿顿与莱布布尼兹都都曾试图图通过完完善自己己的理论论来

11、解决决，但都都没有获获得完全全成功。这使数数学家们们陷入了了尴尬境境地。一一方面微微积分在在应用中中大获成成功，另另一方面面其自身身却存在在着逻辑辑矛盾，即贝克克莱悖论论。这种种情况下下对微积积分的取取舍上到到底何去去何从呢呢？“向前前进，向向前进，你就会会获得信信念！”达朗贝贝尔吹起起奋勇向向前的号号角，在在此号角角的鼓舞舞下，十十八世纪纪的数学学家们开开始不顾顾基础的的不严格格，论证证的不严严密，而而是更多多依赖于于直观去去开创新新的数学学领地。于是一一套套新新方法、新结论论以及新新分支纷纷纷涌现现出来。经过一一个多世世纪的漫漫漫征程程，几代代数学家家，包括括达朗贝贝尔、拉拉格朗日日、贝努

12、努力家族族、拉普普拉斯以以及集众众家之大大成的欧欧拉等人人的努力力，数量量惊人前前所未有有的处女女地被开开垦出来来，微积积分理论论获得了了空前丰丰富。118世纪纪有时甚甚至被称称为“分分析的世世纪”。然而，与此同同时十八八世纪粗粗糙的，不严密密的工作作也导致致谬误越越来越多多的局面面，不谐谐和音的的刺耳开开始震动动了数学学家们的的神经。下面仅仅举一无无穷级数数为例。无无穷级数数S1111111到到底等于于什么？当当时人们们认为一一方面SS（111）（111）00；另一一方面，S11（111）（111）11，那么么岂非001？这一矛矛盾竟使使傅立叶叶那样的的数学家家困惑不不解，甚甚至连被被后人称

13、称之为数数学家之之英雄的的欧拉在在此也犯犯下难以以饶恕的的错误。他在得得到1 + x + x2 + x3 + . = 11/(11- xx) 后，令令 x = 1，得出S111111112！由此此一例，即不难难看出当当时数学学中出现现的混乱乱局面了了。问题题的严重重性在于于当时分分析中任任何一个个比较细细致的问问题，如如级数、积分的的收敛性性、微分分积分的的换序、高阶微微分的使使用以及及微分方方程解的的存在性性都都几乎无无人过问问。尤其其到十九九世纪初初，傅立立叶理论论直接导导致了数数学逻辑辑基础问问题的彻彻底暴露露。这样样，消除除不谐和和音，把把分析重重新建立立在逻辑辑基础之之上就成成为数学

14、学家们迫迫在眉睫睫的任务务。到十十九世纪纪，批判判、系统统化和严严密论证证的必要要时期降降临了。柯西使分分析基础础严密化化的工作作由法国国著名数数学家柯柯西迈出出了第一一大步。柯西于于18221年开开始出版版了几本本具有划划时代意意义的书书与论文文。其中中给出了了分析学学一系列列基本概概念的严严格定义义。如他他开始用用不等式式来刻画画极限，使无穷穷的运算算化为一一系列不不等式的的推导。这就是是所谓极极限概念念的“算算术化”。后来来，德国国数学家家魏尔斯斯特拉斯斯给出更更为完善善的我们们目前所所使用的的“- ”方法。另外，在柯西西的努力力下，连连续、导导数、微微分、积积分、无无穷级数数的和等等概

15、念也也建立在在了较坚坚实的基基础上。不过，在当时时情况下下，由于于实数的的严格理理论未建建立起来来，所以以柯西的的极限理理论还不不可能完完善。柯西西之后，魏尔斯斯特拉斯斯、戴德德金、康康托尔各各自经过过自己独独立深入入的研究究，都将将分析基基础归结结为实数数理论，并于七七十年代代各自建建立了自自己完整整的实数数体系。魏尔斯斯特拉斯斯的理论论可归结结为递增增有界数数列极限限存在原原理；戴戴德金建建立了有有名的戴戴德金分分割；康康托尔提提出用有有理“基基本序列列”来定定义无理理数。118922年，另另一个数数学家创创用“区区间套原原理”来来建立实实数理论论。由此此，沿柯柯西开辟辟的道路路，建立立起

16、来的的严谨的的极限理理论与实实数理论论，完成成了分析析学的逻逻辑奠基基工作。数学分分析的无无矛盾性性问题归归纳为实实数论的的无矛盾盾性，从从而使微微积分学学这座人人类数学学史上空空前雄伟伟的大厦厦建在了了牢固可可靠的基基础之上上。重建建微积分分学基础础，这项项重要而而困难的的工作就就这样经经过许多多杰出学学者的努努力而胜胜利完成成了。微微积分学学坚实牢牢固基础础的建立立，结束束了数学学中暂时时的混乱乱局面，同时也也宣布了了第二次次数学危危机的彻彻底解决决。罗素悖论论与第三三次数学学危机十九九世纪下下半叶，康托尔尔创立了了著名的的集合论论，在集集合论刚刚产生时时，曾遭遭到许多多人的猛猛烈攻击击。

17、但不不久这一一开创性性成果就就为广大大数学家家所接受受了，并并且获得得广泛而而高度的的赞誉。数学家家们发现现，从自自然数与与康托尔尔集合论论出发可可建立起起整个数数学大厦厦。因而而集合论论成为现现代数学学的基石石。“一一切数学学成果可可建立在在集合论论基础上上”这一一发现使使数学家家们为之之陶醉。19000年，国际数数学家大大会上，法国著著名数学学家庞加加莱就曾曾兴高采采烈地宣宣称：“借助集集合论概概念，我我们可以以建造整整个数学学大厦今天天，我们们可以说说绝对的的严格性性已经达达到了”康托尔可是是，好景景不长。19003年，一个震震惊数学学界的消消息传出出：集合合论是有有漏洞的的！这就就是英

18、国国数学家家罗素提提出的著著名的罗罗素悖论论。罗素构构造了一一个集合合S：SS由一切切不是自自身元素素的集合合所组成成。然后后罗素问问：S是是否属于于S呢？根据排排中律，一个元元素或者者属于某某个集合合，或者者不属于于某个集集合。因因此，对对于一个个给定的的集合，问是否否属于它它自己是是有意义义的。但但对这个个看似合合理的问问题的回回答却会会陷入两两难境地地。如果果S属于于S，根根据S的的定义，S就不不属于SS；反之之，如果果S不属属于S，同样根根据定义义，S就就属于SS。无论论如何都都是矛盾盾的。罗素其实实，在罗罗素之前前集合论论中就已已经发现现了悖论论。如118977年，布布拉利和和福尔蒂

19、蒂提出了了最大序序数悖论论。18899年年，康托托尔自己己发现了了最大基基数悖论论。但是是，由于于这两个个悖论都都涉及集集合中的的许多复复杂理论论，所以以只是在在数学界界揭起了了一点小小涟漪，未能引引起大的的注意。罗素悖悖论则不不同。它它非常浅浅显易懂懂，而且且所涉及及的只是是集合论论中最基基本的东东西。所所以，罗罗素悖论论一提出出就在当当时的数数学界与与逻辑学学界内引引起了极极大震动动。如GG.弗雷雷格在收收到罗素素介绍这这一悖论论的信后后伤心地地说：“一个科科学家所所遇到的的最不合合心意的的事莫过过于是在在他的工工作即将将结束时时，其基基础崩溃溃了。罗罗素先生生的一封封信正好好把我置置于这

20、个个境地。”戴德德金也因因此推迟迟了他的的什么么是数的的本质和和作用一文的的再版。可以说说，这一一悖论就就象在平平静的数数学水面面上投下下了一块块巨石，而它所所引起的的巨大反反响则导导致了第第三次数数学危机机。危机产产生后，数学家家纷纷提提出自己己的解决决方案。人们希希望能够够通过对对康托尔尔的集合合论进行行改造，通过对对集合定定义加以以限制来来排除悖悖论，这这就需要要建立新新的原则则。“这这些原则则必须足足够狭窄窄，以保保证排除除一切矛矛盾；另另一方面面又必须须充分广广阔，使使康托尔尔集合论论中一切切有价值值的内容容得以保保存下来来。”119088年，策策梅罗在在自已这这一原则则基础上上提出第第一个公公理化集集合论体体系，后后来经其其他数学学家改进进，称为为ZF系系统。这这一公理理化集合合系统很很大程度度上弥补补了康托托尔朴素素集合论论的缺陷陷。除ZZF系统统外，集集合论的的公理系系统还有有多种，如诺伊伊曼等人人提出的的NBGG系统等等。公理理化集合合系统的的建立，成功排排除了集集合论中中出现的的悖论，从而比比较圆满满地解决决了第三三次数学学危机。但在另另一方面面，罗素素悖论对对数学而而言有着着更为深深刻的影影响。它它使得数数学基础础问题第第一次以以最