以时间序列分析法侦测

1、PAGE PAGE 13以時間序列分析法偵測台灣一等二級水準網之殘留系統誤差Detecting Remained Systematic Errors In The First-Order Class Leveling Network of Taiwan By Using Time series指導教授：許榮欣學生：李李明一前言時間序序列（TTimee seeriees），係指以以時間順順序型態態出現之之一連串串觀測值值集合，或更確確切的說說，對某某動態系系統（DDynaamicc Syysteem）隨隨時間連連續觀察察所產生生有順序序的觀測測值集合合。時間間序列分分析是一一種數理理統計的的方法

2、，它可以以計算兩兩筆相近近資料間間的統計計相關性性，因此此可用來來判斷是是否含有有系統誤誤差。綜合上上述，假假如把時時間序列列分析的的概念帶帶入水準準測量中中，吾人人可加以以利用的的數據包包含有測測段閉合合差、測測段長、坡度、往返施施測時的的氣溫及及測段方方位角等眾多多數據 Vanniceek, P. & CCrayymerr, MM.，19883。時間序列列分析法法一組觀測測值，若若沿著時時間先後後有順序序地產生生，則稱稱此組觀觀測值為為一時間間序列，而正整整數N被稱為為時間序序列的長長度葉葉小蓁，19998。任一時間間序列均均可延著著時間軸軸作其對對應的時時間序列列圖，如如圖1。圖1 時間

3、序序列 葉小蓁蓁，19998在一穩穩定隨機機過程中中，測度度二個隨隨機變數數與（為一整整數）間間其相隔隔一個固固定期間間或時間間落後期期之線性性相依關關係可由由與之互變變異數來來闡釋，利用互互變異數數來測度度任何一一對隨機機變數所所存在之之線性關關係，吾吾人稱其其為自我我互變異異數（AAutoocovvariiancce）。定義其其數學式式為 (1)式中，對對所有值值皆有相相等性，此為平平穩型隨隨機過程程之特性性林茂茂文，119922。接續式式(1)自我互互變異數數的概念念，定義義隨機變變數與在相隔隔期之自自我相關關係數（Auttocoorreelattionn att laag kk），以以

4、表示，其數學學式為 (2)其中平穩穩型隨機機過程之之特性為為在時間間與均具有有相同的的變異數數林茂茂文，119922，而而被稱為為自我相相關函數數（Auutoccorrrelaatioon FFuncctioon，AACF）。自我我相關函函數有如如下之特特性：葉小蓁蓁，19998(1) (2) ，(3) 無單單位(4) ，平穩型型時間序序列（SStattionnaryy Tiime Serriess）係指指一個時時間序列列其統計計特性將將不隨時時間之變變化而改改變者，換言之之，一個個平穩型型時間序序列為一一隨機過過程之特特殊實現現值，且且這種隨隨機過程程之統計計特性並並不隨時時間之變變化而改改

5、變，即隨機機過程需需滿足以以下三個個條件：(1) (2) (3) 其中E表表示期望望值，vvar表表示變異異數，ccov表表示共變變數，、及均為有有限的固固定參數數Hssu,RR,20002。依上述述平穩型型時間序序列特性性，則每個個觀測值值可以表表示為諸諸個互相相獨立且且具有相相同機率率分配之之隨機變變數序列列之線性性組合，而這些些隨機變變數通常常假設為為常態分分佈，其其期望值值為0，變異異數為。因此，此種序序列隨機機變數稱稱為白色色干擾過過程（WWhitte NNoisse PProccesss）。之線線性組合合可以表表示為 (3)式中與為為固定的的參數值值，稱為為權數（Weiightt）

6、，通通常設，為決定定過程之之平均水水準。若一個個時間序序列為平平穩型，即此序序列為對對固定均均值上下下隨機波波動，若若時間序序列為非非平穩型型，則可可知該序序列無固固定平均均值。一一般而言言，假若若權數為為有限（Finnitee）或無無限且收收斂（IInfiinitte aand Connverrgennt）者者，則可可知此時時間序列列為對平平均數之之平穩型型時間序序列，假假若為無無限且發發散者（Inffiniite andd Diiverrgennt），則此數數列為非非平穩型型時間序序列 林茂文文，19992 。將(33)式之之係數以以替換，並僅討討論前qq個非零零之權數數，即當當時，。則則

7、 (44)式中亦稱稱為震動動影響或或記憶函函數（SShocck-EEffeect or Memmoryy Fuuncttionn），表表示震動動將持續續影響等等個時期期後消失失。式(4)稱為為q階之移移動平均均過程（Movvingg Avveraage Proocesss oof OOrdeer qq，MA(q)）。MA(qq)之自自我相關關函數經經相關推推導已得得知在時時間位差差時不為為零，而而自落後後q個時時期始為為零，即自我我相關函函數在時時間位差qq之後截截斷（CCutss Offf aat LLag k）。林茂茂文，119922式(33)經相相關推導導可產生生 (55)(5)式式稱為

8、pp階自我我迴歸過過程（AAutooreggresssivve PProccesss off Orrderr p，AR(p)）。自我我迴歸過過程名稱稱之由來來係將隨隨機過程程中任一一當期值值（Cuurreent Vallue of thee Prroceess）視為迴迴歸模型型中的應應變數，而將前前p期值視為為自變數數做一複複迴歸，而自變變數與應應變數來來自同一一隨機過過程，因因此而得得自我迴迴歸之名名葉小小蓁，119988。對一真真實性時時間序列列欲建立立一經驗驗模式，吾人有有時發現現可以同同時採用用包含有有自我迴迴歸與移移動平均均項，以以推導出出較僅有有自我迴迴歸項或或僅有移移動平均均項更

9、貼貼近實際際之模式式。此種種模式一一般稱為為(p,q)階階混合自自我迴歸歸與移動動平均過過程(MMixeed AAutooreggresssivve-MMoviing Aveeragge PProccesss off Orrderr (pp,q),ARRMA(p,qq)，其形式式為 (6)前述所討討論的AAR、MA或ARMMA模型型，均為為常用的的平穩時時間序列列模型，然而在在一般應應用上，甚少為為平穩的的時間序序列，多多呈無固固定水準準之現象象，此型型資料即即為非平平穩時間間序列。差分可可被視為為非平穩穩型時間序序列變為為平穩型型的一種種轉換，有時在在處理非非平穩時時間序列列時，可可考慮自自

10、然對數數或開根根號的轉轉換。但但差分次次數不宜宜過多，過度的的差分將將使資料料喪失實實際含意意而不易易解釋，且會使使序列的的變異數數變大，一般實實務上通通常以目目測原始始序列圖圖形的方方法，來來判斷圖圖形是否否已達平平穩的狀狀態，差差分次數數至多不不超出兩兩次葉葉小蓁，19998。一般而言言，欲獲獲得非平平穩型時時間序列列之模式式，係假假設原始始序列經經次差分分後()可轉為為平穩型型時間序序列，再再以前述ARRMA模模式擬合合，如此此之模式式稱為(p,dd,q)階之整整合自我我迴歸移移動平均均模型(Auttoreegreessiive Inttegrrateed MMoviing Aveera

11、gge MModeel oof OOrdeer (p,dd,q)，ARRIMAA(p,d,qq)，其中pp表示為為自我迴迴歸過程程之階數數，d為為差分次次數，qq表示為為移動平平均過程程之階數數。已知若某某序列的的SACCF值呈呈極緩慢慢消失，以及序序列圖不不在一固固定水準準內擺動動，則顯顯示此序序列為非非平穩型型，吾人人需先將將此序列列差分直直至序列列之SAACF很很快消失失為止，此序列列乃由經差差分d次次後達平平穩，而而此d值值即為原原始序列列所需差差分之次次數，實實務上通通常葉葉小蓁，19998。若原始始序列經經判斷為為平穩型型，則由由Barrtleett公公式可決決定SAACF(Sam

12、mplee Auutoccorrrelaatioon FFuncctioon)於於何處截截斷，判判定之模模型MAA(q)；若為一平平穩的時時間序列列，由某某一移動動平均模模型MAA(q)產生，理論上上，則對對樣本的的SACCF，期期差kq大之之後的具具以下兩兩個漸進進性質(Barrtleett公公式)： N夠大大時(NN500)， (7) (22) 的的漸進抽抽樣分配配為常態態 (88)由(7)式，被被稱為SSACFF之大期期差的標標準誤差差（Laargee-Laag SStanndarrd EErroor oof ，）。利利用Baartllettt公式（式(7)及(8)）可可利用統統計檢定定

13、的方式式鑑定模模型MAA(q)之q值值葉小小蓁，119988。模型為為AR(p)，的時間間序列，SACCF會呈呈退化的的指數形形式或阻阻尼正弦弦函數的的相似特特徵，故故不易由由SACCF來區區分p值值。為確確定p值值，吾人人可利用用偏自我我相關係係數（PParttiall Auutoccorrrelaatioons）來幫助助判斷。由(55)式，將其改改寫為 (9)其中被稱稱為之第第k期差差（k-th lagg）的偏偏自我相相關係數數，k=1,22,；而被稱為為偏自我我相關函函數（PParttiall Auutoccorrrelaatioon FFuncctioon，PACCF）。由Crrame

14、erss法則，可分別別解：Faiiress, JJ. & Buurdeen, R., 20003 ， (10)因每一為為自我迴迴歸式AAR(kk)模型型中，當當已進入入模型時時，Xt-kk與Xt之偏相相關係數數，又XXt-kk與Xt來自同同一序列列，因此此而得偏偏自我相相關係數數之名。葉小小蓁，119988設有一一組時間間序列其其模型尚尚未被確確知，致致使其理理論的AACF及及PACCF均未未知，故故分別以以樣本的的及（Saamplle PParttiall Auutoccorrrelaatioon FFuncctioon）估估計理論論值。欲欲鑑定單單純的AAR(pp)模型型，若僅僅用SAAC

15、F不不夠，尚尚須考慮慮SPAACF的的顯著性性以判定定階數pp；故在在應用上上以Quuenoouillle的的公式以以求出SSPACCF，之截點點；設為為一平穩穩的時間間序列，由某一一自我迴迴歸模型型AR(p)產產生，其其PACCF理論論值中，則對對於樣本本SPAACF，中，期差差k大於於p之後後的具有有以下兩兩個漸進進性質：(1) 當NN夠大時時（N50） ， 。(9)(2) 的漸漸近抽樣樣分配為為 ， 。(100)由(9)式可知知，被被稱為SSPACCF之大大期差的的標準誤誤差（LLargge-LLag Staandaard Errror of ）。依上上所述，可以統統計檢定定的方式式()

16、逐步檢檢定之顯顯著性 葉小小蓁，119988。將上述述ACFF與PACCF的特特徵合併併，列為為下表表表一：表一ACFPACFFMA(qq)截斷於qq期之後後成指數或或阻尼正正弦函數數消失AR(pp)成指數或或阻尼正正弦函數數消失截斷於pp期之後後ARMAA(p,q)成指數或或阻尼正正弦函數數消失成指數或或阻尼正正弦函數數消失臺灣一等等水準網網台灣地地區於民民國899911年間，以新型型電子式式精密水水準儀施施測一等等水準網網，共計計有20065個個一等水水準點，分佈於於42553公里里之水準準路線上上，並同同時進行行GPSS衛星定定位測量量與重力力測量等等工作，進而建建立新的的台灣高高程基準

17、準(Taiiwann Veertiicall Daatumm, TTWVDD20001)。一等一級級水準網網於民國國89年年12月月至900年9月月間完成成總計110100個一等等一級水水準點之之測量作作業，水水準路線線涵蓋台台灣本島島外圍及及中橫、南橫等等路線，共13357條條測線，全長總總計約220522公里。一等二級級水準網網一等二二級水準準測量需需閉合或或附合於於一等一一級水準準點，於於民國991年66月至991年112月完完成總計計10555個一一等二級級水準點點之外業業工作，水準路路線主要要分佈於於台灣本本島西部部及北部部，共111555條測段段，全長長總計約約22000公里里 蘇

18、蘇哲民，20003。圖一 一等水水準路線線圖蘇蘇哲民，20003無論是是一等一一級或一一等二級級水準網網，其作作業皆須須符合內內政部於於民國990年22月修正正公布之之一等等水準測測量作業業規範。實驗與成成果20002年測測設的台台灣一等等二級水水準網共共有866條測線線，11155個測段段，以KK9999水準點點視為一一穩定之之高程參參考點，如圖一一。其中中，部分分測段因因經系統統誤差改改正後蘇哲民民，20003測段之之往返閉閉合差或或有超過過規範值值（2.5mmmK）之之情事，故其閉閉合差值值並無顯顯示列出出，因此此本次實實驗將此此部分測段排除除不計。本實驗驗考慮眾眾多因素素作時間間序列分

19、分析，惟惟因其實實驗過程程類似，今僅以以依測段段長短作作排序視視為時間間序列的的時間軸軸，各測測段閉合合差視為為當期觀觀測值為為例詳加加介紹，其餘僅僅列出其其實驗結結果，過過程不再再累述。依測段段長短作作排序視視為時間間序列的的時間軸軸，各測測段閉合合差視為為當期觀觀測值，繪製時時間序列列圖，如如圖二。圖二 依測段段長短排排序由圖二二，閉合合差值似似有隨著著橫軸數數值增加加的趨勢勢，即序序列圖不不在一固固定水準準內擺動動，由目目測的方方式判斷斷其尚為為非平穩穩型，取取其一次次差後序序列圖如如圖三圖三 依測段段長短排排序一次次差後差分前前與差分分後數列列的自我我相關函函數（AACF）圖形如如圖四

20、圖四 ACFF值ACF未差分一次差lag 10.1884966-0.4487442lag 20.1662222-0.0021335lag 30.1777711-0.0004557lag 40.20004880.04413555lag 50.1661377-0.000966lag 60.1334211-0.0046226lag 70.17786110.0115233由圖四可可知，經經一次差差分後的的數列其其ACFF很快的的便趨近近於0，故可判判斷經差差分d=1次後後數列達達平穩狀狀態。確定差差分次數數d及其其ACFF值後，由crrameers法則求求取偏自自我相關關函數PPACFF得lag123

21、4567-0.448744-0.333966-0.227299-0.117-0.111711-0.115377-0.115266分別以以Queenouuillle及BBarttlettt的公公式求出出PACCF、ACFF之截點點並逐步步檢定其其顯著性性。檢定PAACFStepp 1. ，依Queenouuillle公式式，每一一，k=1,22,，之標標準誤差差為，檢定統統計量為為因因此顯著著，被拒拒。Steep 22. ，因因此顯著著，被拒拒。依此類推推，直到到統計檢檢定值仍仍大於11.966，故認認為此時時間序列列不具自自我迴歸歸之性質質。檢定ACCFStepp 1. ， ，每一之之標準誤誤

22、差為，檢定統統計量為為因此被被拒。Stepp 2. ，標準誤誤差為檢定統統計量同理，其他之之均小於於1.996，因此，不拒絕絕，由此此可鑑定定此序列列之模型型為MAA(1)。綜合上述述PACCF及ACFF檢定結結果，吾吾人可說說，依測測段長短短加以排排序後之之序列呈呈ARIIMA(0,11,1)之模型型。再利用用MINNITAAB統計計軟體，計算其其ARIIMA模模型的參參數值：依此方法法，分別別對其他他可能造造成系統統誤差之之因素排排序後再再加以分分析，得得到溫溫度_高高程差排排序，AARIMMA(00,1,1)、溫溫度_測測段長排排序，AARIMMA(11,0,1)、溫溫度_擺擺站數排排序，AARIMMA(11,0,1)、依依坡度絕絕對值排排序，AARIMMA(00,1,1)，而依高程程差排序序經兩兩次差分分後ACCF及PPACFF均未有有收斂的的情形產產生，因因差分次次數過多多將會使使資料喪喪失實際際含意不不易解釋釋，故不不再加以以討論。結論與討討論以時間間序列分分析法套套用於台台灣一等等二級水水準網上上，吾人人可發現現仍有殘殘留之系系統誤差差存在於於水