定积分计算公式和性质

1、第二节定积分计算公式和性质一、变上限函数设函数了在区间心上连续，并且设x为上的任一点， 于是，了(1)在区间金”上的定积分为E饮这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变 量无关，故可将此改为E如果上限x在区金川间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值 111平 “与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数剧司，我们把剧刃称为函数/在区间官句上 变上限函数记为就加(出血&明图5-10从几何上看，也很显然。因为X是用上一个动点，从而以线段庆句为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数(见图定积分计算公式利用定义计算定

2、积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度相同）。）作直线运动，那么在时间 区间尾用上所经过的路程s为汨图 5-11|y 二；J.十. J 扑泌 一ah _8） *另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数诚），那么物体 从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11）即v（，揪= （，）-（&）Ji2 _ 由导数的物理意义可知:理卜凶）即的）是讪）一个原函数，因 此，为了求出定积分静祖，应先求出被积函数讪）的原函数就）， 再求成在区间心上的增量弧）-响即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分川出的一般 方法：设函数了在闭区间

3、上连续，外）是了的一个原函数， 即）*（），则川出MS)这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成I:川也二回忒二O-珞)牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一 个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值 之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定 积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。例1计算办 -111-r3 7dx - x3 = - 0 =因为3是F的一个原函数所以L L3 1 33m例2求曲线 = $町天和直线x=0、x=y=sinx疝及y=0所围成图形面积A(5-12)渺沐/ 解这个图形的面积为网二sin M我二一匚o

4、s兀甘图 5-12-costt -l-cosO = 1 +1 = 2二、定积分的性质设川)、目在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质:，性质1被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即：研出二4,诉（A为常数），性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和， 即 川）士如肱=，（加土 或g这个性质对有限个函数代数和也成立。，性质3积分的上、下限对换则定积分变号，即：川揪二f川也以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此 处证明从略。，性质4如果将区间此用分成两个子区间、曰及椭句那么有这个于区间分成有限个的情形也成立。下面用定积分的几何意义，对

5、性质4加以说明。当acb时，从图5-13a可知，由y=f（”与和x=a x=b及x 轴围成的曲边梯形面积龙:A-AA图 5-13a图 5-13b因 为 4（小花攻二了赤;也二J：了办所 以即性质4成立。当abc时，即点c在金外，由图5-13b可知，=A1-i-A2 = ,（柄+/柄所以m对二川出-p（小工显然，性质4也成立。总之，不论c点在金川内还是金川外，性质4总是成立的3?dx +=8-1 + ln 2-lnl = 7 + ln 2例4所以1?201吁+ 一尸T 2=【+2=9 22解川)二时二一哄于是，n诉梭1 201 2+2-120/W例7设芥一1 濯1解因为/(x)-1?2上分段连续

6、所以fy加二【预松十r儿灿-i例8火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处 需要减速停车。设火车以加速度a=-5m/痍刹车。问从开始刹车到 停车，火车走了多少距离？解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度=EX与器久=刹车后火车减速行驶。其速度为 p（）=p0 - = 20-5Z当火车停住时，速度何）=。，故从何）=20-淀=。20/s解得嘉T/二如于是在这段时间内，火车走过的距离为e 二 j v” 团-f(20 - 5却 =20 x4m = 40m=即在刹车后，火车需走过40m才能停住。习题5-21求下列定积分:rfJ如 r(9)很坦3 X(10)1I/端求伶(加(8)、cos