双曲线极其简单几何性质教案

1、学问归纳：形如x 2 my 2 n1 的方程所表示的曲线形状由m,n 确定；如,方程表示圆；如,方程表示椭圆；如,方程表示双曲线；a,因此双曲线和x 轴以双曲线标准方程2 x 2 y 1 为例进行说明双曲线的顶点,渐近线和离心率；a 2 b 2 1,顶点：在双曲线2 x 2 y 1的方程里,对称轴是x, y 轴,所以令y 0 得x a2b2有两个交点A a,0 A2 a,0 ,他们是双曲线2 x 2 y 1 的顶点；a2b2令x 0 ,没有实根,因此双曲线和y 轴没有交点；1）留意：双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点；2）实轴：线段A A

2、2 叫做双曲线的实轴,它的长等于虚轴：线段B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长；2b,b 叫做双曲线的虚半轴长；2,渐近线：留意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线；从图上看,双曲线2 x 2 y 1 的各支向外延长时,与这两条直线逐步接近；所谓渐近,既是无限接近但永不相交；a2b2第 1 页,共 4 页3,离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e= c ,叫双曲线的离心率. a说明：由ca0 可得e1；双曲线的离心率越大,它的开口越阔. 双曲线及其标准方程一 复习提问1椭圆的定义是什么？ 同学回答,老师板书老师要强调条件：1

3、平面平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数 大于|F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆内；2 到两定点F1,F2 的距离的和等于常数；3 常数2a|F1F2| 2椭圆的标准方程是什么？ 同学口答,老师板书二 双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简洁试验如图2-23 ,定点F1,F2 是两个按钉,MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M 移动 时,|MF1|-|MF2| 是常数,这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1| 是同一常数,可以画出另一支留意：常数要小于|F1F2| ,否就作不出图形这样作出的曲线就叫

4、做双曲线2设问 1,|MF1| 与|MF2| 哪个大？不定：当M 在双曲线右支上 时,|MF1| |MF2| ；当点M 在双曲线左支上 时,|MF1| |MF2| 2,点M 与定点F1,F2 距离的差是否就 是|MF1|-|MF2| ？第 2 页,共 4 页不愿定,也可以是 |MF2|-|MF1| 正确表示为|MF2|-|MF1| 3,这个常数是否会大于等于 |F1F2| ？应小于|F1F2| 且大于零当常数=|F1F2| 时,轨迹是以F1,F2 为端点的两条射线；当常数|F1F2| 时,无轨迹3定义平面内与两定点F1,F2 的距离的差的确定值是常数 小于|F1F2| 的点的轨迹叫做双曲线这两

5、个定点F1,F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距三 双曲线的标准方程1建系设点取过焦点F1,F2 的直线为x 轴,线段F1F2 的垂直平分线为 y 轴 如图2-24 建立直角坐标系设Mx,y 为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2cc 0 ,那么F1,F2 的坐标分别是-c ,0 ,c ,0 又设点M 与F1,F2 的距离的差的确定值等于常数2 点的集合由定义可知,双曲线就是集合：P=M|MF 1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|= 2a 3 代数方程这就是双曲线的标准方程第 3 页,共 4 页两种标准方程的比较 引导同学归纳 ：1双曲线标准方程中,a0,b0,但a 不愿定大于b；2 假如x2 项的系数是正的,那么焦点在x 轴上；假如y2 项的系数是正的,那么焦点在y 轴上留意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上3 双曲线标准方程中2 2 2 a,b,c 的关系是c =a +b ,不同于椭圆方程中2 2 2c =a -b 五 小结1定义：平面内与两定点F1,F2 的距离的差的确定值等于常数 小于|F1F2| 的点的轨迹3图形 见图2-