专题15利用空间向量证明位置关系第二课时

1、滑县六中 2015 级学案理科数学导学案 15【专题课】（范围：选修 2-1第三章） 课题：利用空间向量证明空间位置关系周；使用时间 16 年月日 ；使用班级；探究一 利用空间向量证明平行或垂直1用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线 线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题 2用向量证明垂直的方法线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂

2、直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 3运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外例 1，平面 PAD平面 ABCD，ABCD 为正方形，PAD 是直角三角形，且 PAAD2，E、F、G 分别是线段 PA、PD、 CD 的中点求证：PB平面 EFG.探究二 利用空间向量证明平行与垂直的综合问题例 2(2016三模)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA1， D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点求证：DE平面 ABC；求证：B1F

3、平面 AEF.训练(2016汕头模拟)，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30的角求证：CM平面 PAD；平面 PAB平面 PAD.探究三 探索性问题与平行相结合探索存在性问题在几何综合考查中是常考题角度，也是考生感觉较难，失分较多，归纳起来几何中常见的探索性问题有：角度一 探索性问题与平行相结合1(2016西城二模)如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.求证：ABDE；求直线 EC

4、 与平面 ABE 所成角的正弦值；EF(3)线段 EA 上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EA；若不存在，请说明理由角度二 探索性问题与垂直相结合2已知正ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B.试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；求二面角 E-DF-C 的余弦值；(3)段 BC 上是否存在一点 P，使 APDE？如果存在，求出BP的值；如果不存在，BC请说明理由通关锦囊几何中探索性问题的基本方法解决(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这

5、个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相的结论，则说明假设不成立，即不存在(2)探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用题组集训(2016贵阳模拟)如图，等边三角形 ABC 与直角梯形 ABDE 所在的平面垂直，BDAE，BD2AE，AEAB.(1)若 F 为 CD 的中点，求证：EF平面 BCD；(2)段 AC 上是否存在点 N，使 CD平面 BEN？若存在，求AN的值；若不存在，请NC说明理由规范答题 向量法求解平行与垂直问题典例 如图 1，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC

6、，AB 上的点，且 DEBC，DE2.将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图 2.求证：A1C平面 BCDE.线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由解(1)证明：因为 ACBC，DEBC，所以 DEAC.所以 DEA1D，DECD，所以 DE平面 A1DC.所以 DEA1C.又因为 A1CCD，所以 A1C平面 BCDE.(2)解：线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直理由如下：建立的空间直角坐标系 C-xyz.假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1BE 的一个

7、法向量为 n(x1，y1，z1)nA1Bx1，y1，z13，0，233x12 3z10由nBEx ，y ，z 1，2，0 x 2y 011111x12y1得，令 y11，则 n(2,1，3)z1 3y1设平面 A1DP 的一个法向量为 m(x2，y2，z2)，由mA1Dx2，y2，z20，2，232y22 3z20mDPx ，y ，z p，2，0px 2y 022222py x222，令 x22，则 m2，p， 3p.得3 3pz2x26若平面 A1DP平面 A1BE，则有 mn0，即4pp0.解得 p2，与p0,3所以线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直答题模板 利用向量求平行与垂直