经济数学（第六版）第3章导数与微分

1、经济数学 （第六版）1第1章函数2第2章极限与连续3第3章导数与微分4第4章导数的应用5第5章不定积分6第6章定积分目录CONTENTS7第7章多元函数的微积分CHAPTER03第3章导数与微分只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动.。恩格斯03学习目标知识目标了解导数和微分的概念及几何意义.0102掌握导数和微分的基本公式和运算法则以及求常见函数导数的方法,并能利用Mathematica软件求导数和微分；了解从实际问题中抽象出导数和微分概念的思想,培养概括经济现象中变化率问题的能力.03培养学生严谨的学习态度，以及独立思考、实事求是的科学态度.技能目标素养

2、目标03PART3.1导数点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本导数是数学中的一个分支微积分的两个基本概念之一,它表示一个函数的因变量相对于自变量的变化的快慢程度,即因变量关于自变量的变化率.事物总是在不断地运动和变化的,而描述这种运动和变化离不开变化率,导数就是对现实生活中各种各样的变化率的一种统一的数学抽象.导数是微积分以及实际生活中应用极其广泛的概念,其应用范围包括函数性态的描述、曲线的描绘、最优化问题的讨论以及变化率的分析等.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本1) 引例(1) 变速直线运动路程的变化率平均速度与瞬时速度.导数也是求函数变化率的一种方法.在第2章中

3、我们讨论了一个与极限概念有关的问题瞬时速度问题:一质点沿直线运动,其路程函数为s=s(t),那么在时刻t0到t0+t这段时间间隔内,质点的平均速度(或称为路程函数s(t)关于时间的平均变化率)为:而质点在时刻t0的瞬时速度(或称为路程函数s(t)在t0时刻的瞬时变化率)即为上述平均速度当t0时的极限:导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本1) 引例(2) 切线的斜率设函数y=f(x)在点x0处连续,求曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率.如图3-1所示,当自变量x在点x0处取得增量x时,在曲线上相应得到另一点P(x,f(x),其中x=x0+x

4、,连接此两点的割线MP,其斜率为:导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2) 导数的定义定义3-1设函数y=f(x)在点x0的某邻域 内有定义,如果极限 存在,则称函数f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数,记做:,即:导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2) 导数的定义如果函数f(x)在区间(a,b)内任意点x处,上式的极限都存在,则称函数f(x)在区间内可导,并称该极限表达式为函数f(x)的导函数,简称导数.记作 ,即:若记x=x0+x,则当x0时,xx0,故函数f(x)在点x0处的导数f (

5、x0)也可表示为:导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本3) 导数的几何意义由上述引例我们可以得到导数的几何意义:导数的概念3. 1. 121函数f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率.f(x)在点x0处可导,在几何上就表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处存在不垂直于x轴的切线.函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,在几何上表示曲线y=f(x)在区间(a,b)内处处存在不垂直于x轴的切线.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本4) 几个基本初等函数的导数公式导数的概念是从实际问题中抽象

6、出来的,它是一个构造性定义,因此可以按定义来求函数y=f(x)在点x处的导数.一般求函数y=f(x)的导数的步骤如下:(1)给出函数的差,即求函数的增量(改变量)y=f(x+x)-f(x).(2)计算并化简函数差与自变量之差的比值,即差商(3)令x0,求出(2)中差商的极限,即：导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本5) 可导与连续的关系定理3-1若函数y=f(x)在点x0处可导,则函数y=f(x)在点x0处连续.证明:若函数y=f(x)在点x0处可导,即所以,函数y=f(x)在点x0处连续.导数的概念3. 1. 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加

7、文本定理3-2设函数u(x),v(x)在点x处可导,则函数u(x)v(x),u(x)v(x)在点x处可导,当v(x)0时,函数u(x)/v(x)在点x处可导,且有:(1)u(x)v(x)=u(x)v(x)即两个可导函数的和或差的导数等于函数导数的和或差;(2)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)即两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积;(3)导数的基本运算法则3. 1. 2点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本定理3-3设函数u=(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(x)在点

8、x处也可导,且:或记做:即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的导数3. 1. 3点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本1)隐函数的导数变量y与x之间的函数关系可以用不同的方式表达,如y=sin x,y=x2等.其表达方式有这样的特征:等式左端为因变量y,而等式右端是含有自变量x的数学式子,一般我们把由解析式y=f(x)所确定的一个变量是另一个变量的函数称为显函数.还有另外一些函数,其变量x与y之间的对应关系是通过一个方程F(x,y)=0(F(x,y)为变量x和y的一个算式)来确定的.如方程x+y3-1=0,给定一个x值,就可以确定y的值,这

9、里当x=1时,y=0,当x=2时,y=-1,可知当自变量x在(-,+)内取值时,变量y有唯一确定的值与之对应,也就是说y是x的函数.一般地,我们把这种由方程F(x,y)=0所确定的一个变量是另一个变量的函数称为隐函数.其他求导法3. 1. 4点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2)对数求导法【例3-21】求函数y=xx(x0)的导数.解:该函数既不是幂函数也不是指数函数,所以不能直接采用幂函数求导公式或指数函数求导公式。我们先在方程两边取自然对数,有ln y=x ln x,然后将y=xx看做由方程ln y=x ln x所确定的隐函数.应用隐函数的求导方法,得:所以 y=y(ln x

10、+1)=xx(ln x+1).其他求导法3. 1. 4点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本3)分段函数的导数【例3-23】设函数 ,求f (x).解:当x0时, f (x)=1;当0 x1时, f (x)=2;当1x2时, f (x)=1/2 .当x=0时,f(0)=-1,由于: ,即函数在点x=0处的右导数不存在,所以函数f(x)在点x=0处的导数不存在.其他求导法3. 1. 4点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本在本小节中,我们将讨论一个量的变化率的变化率.这样的变化率有很多种,例如,汽车的加速度是它的速度关于时间的变化率,而速度本身又是路程关于时间的变化率.如果路

11、程的单位是千米,时间的单位是小时,那么速度(路程关于时间的变化率)的单位是千米/小时,而加速度(速度的变化率)的单位则是千米/小时2.上述有关变化率的变化率的问题,在经济上是常用的.例如,在通货膨胀时期,你可以听到经济部门的报告指出,“尽管通货膨胀率在增长,但其增长速度在减缓”,就是指物价在上涨,但已经不比以前那样增长得快了.高阶导数3. 1. 5点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本1) 高阶导数的概念设函数y=f(x)关于x的变化率由其导函数f (x)给出.类似地,函数f (x)关于x的变化率由f (x)的导函数f (x)给出,即函数f(x)的导函数的导函数.一般地,我们将函数y

12、=f(x)的导数的导数称为函数f(x)的二阶导函数,简称二阶导数,记做高阶导数3. 1. 5点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2) 高阶导数的计算由高阶导数的定义可知,计算一个函数的高阶导数并不需要新的求导方法,只要对函数逐次求导,直到所求的阶数即可.【例3-25】求函数y=2x4-3x2-3x+7的二阶导数.解:先求函数的一阶导数y=8x3-6x-3,因此函数的二阶导数为y=24x2-6.【例3-26】求函数y=ex的各阶导数.解:y=ex,y=ex,y=ex,y(n)=ex【例3-27】求函数y=sin x的四阶导数.解:y=(sin x)=cos x,y=-sin x,y=

13、-cos x,y(4)=sin x.一般地,有高阶导数3. 1. 503PART3.2微分点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本1)引例微分的定义3.2 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本微分的定义3.2 1【例3-29】一个正方形的边长由x变到x+x(|x|很小),求其面积的改变量的近似值.解:用A表示边长为x的正方形面积,即A=x2.当边长由x变到x+x时(如图3-3所示),面积相应的改变量为:A=(x+x)2-x2=2xx+(x)2上式右边第一部分2xx是x的线性函数,第二部分(x)2是当x0时的一个比x高阶的无穷小量.因此,当|x|很小时,我们可以把第二部分忽

14、略,而用一个简单的函数x的线性函数作为A的近似值,A2xx.而f (x)=2x,所以A2xx=f (x)x.点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2)微分的定义定义3-2设函数y=f(x)在点x0处可导,则称导数值f (x0)与x的改变量x的乘积为函数y=f(x)在点x0处的微分,记做:dy _(x=x_0 )=f (x0)x如果函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则函数在该区间内任一点x处的微分,记做:dy=f (x)x微分的定义3.2 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本关于微分定义的几点说明:(1)函数的微分dy是x的一次函数,它不仅与x有关,而且与x也有关.

15、函数的微分dy与y只差一个比x高阶的无穷小,它是y的主要部分,所以也称微分dy是函数改变量y的线性主部.(2)若函数y=f(x)在x处的改变量y可以表示成x的线性函数k(x)x与一个比x高阶的无穷小之和y=k(x)x+o(x),则称函数y=f(x)在点x处可微.(3)由于自变量x的微分dx=(x)x=x,故dx可理解为自变量x的改变量x.于是dy=f (x)x=f (x)dx,即函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分.微分的定义3.2 1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本关于微分定义的几点说明:微分的定义3.2 1函数的微分dy是x的一次函数,它不仅与x有关,而且与x也有关.函

16、数的微分dy与y只差一个比x高阶的无穷小,它是y的主要部分,所以也称微分dy是函数改变量y的线性主部.PART 1(1)若函数y=f(x)在x处的改变量y可以表示成x的线性函数k(x)x与一个比x高阶的无穷小之和y=k(x)x+o(x),则称函数y=f(x)在点x处可微.PART 2(2)由于自变量x的微分dx=(x)x=x,故dx可理解为自变量x的改变量x.于是dy=f (x)x=f (x)dx,即函数的微分等于函数的导数乘上自变量的微分.PART 3(3)点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本由微分法的定义可见,要计算函数y=f(x)的微分,只需要先求出导数f (x),再乘以dx

17、就可以了.根据基本初等函数的求导公式及求导法则可得到如下的微分公式和运算规则:1)微分基本公式微分的运算法则3.2 2点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本2)函数的和、差、积、商的微分运算法则微分的运算法则3.2 2点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本微分的运算法则3.2 23)复合函数的微分法则设函数y=f(u),而u=(x),则复合函数y=f(x)的微分为:dy=f (u)(x)dx=f (u)du上式称为一阶微分形式不变性.即不论u是自变量或中间变量,函数y=f(u)的微分形式总是dy=f (u)du.03PART3.3Mathematica软件介绍点击添加文本点

18、击添加文本点击添加文本点击添加文本命令格式:D函数表达式,自变量或先定义函数fx,再利用命令f x或先定义函数fx,再利用命令Dfx,x一阶导数3.3.1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本【例3-31】求函数y=x2+sin 2x-xex的导数.解:计算机处理如下:In1:=Dx2+Sin2x-x*Ex,xOut1=-ex+2x-exx+2Cos2x或者In2:=f x_=x2+Sin2x-x*ExDf x,xOut2=-exx+x2+Sin2xOut3=-ex+2x-exx+2Cos2x或者在上述定义函数的基础上:In4:=f xOut4=-ex+2x-exx+2Cos2x即y

19、=2x-ex-xex+2cos 2x一阶导数3.3.1点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本命令格式:D函数表达式,自变量,2或先定义函数fx,再利用命令fx或先定义函数fx,再利用命令Dfx,x,2二阶导数3.3.2点击添加文本点击添加文本点击添加文本点击添加文本二阶导数3.3.2【例3-32】设函数s=sin(at+b)(a,b为常数),求s.解:计算机处理如下:In5:=DSina*t+b,t,2Out5=-a2Sinb+at或者In6:=st_=Sina*t+bstOut6=Sinb+atOut7=-a2Sinb+at或者在上述函数定义的基础上:ln8:=Dst,t,2Out8=-a2Sinb+at即s=