函数单调性的判断和证明

1、函数单调性的判断和证明第1页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一函数单调性的判断和证明第2页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设x1x2, 并是某个区间上任意二值;(2). 作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判断 f(x1)f(x2) 的符号:(4). 作结论. 分解因式, 得出因式(x1x2 配成非负实数和。方法小结有理化。 第3页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一例2：证明函数f(x)= x3在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上任意两个 实数， 且x1x2,则 f(x1)-f(x2

2、)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因为 x1x2 ，则 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在x0上的单调性解：对于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+-=(x1x2-k)因0X12-kx1x2-kx22-k故x22-k0即x2时，f(x2)f(x1)总之，f(x)的增区间是 ，减区间是第6页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一用定义求函数单调区间的步骤:(1). 设x1x2, 并是定义域上任意二值;(2). 作差 f(x1)f(x2) ;方法小结

3、第7页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一点评：单调区间的求法1、定义法2、图像法第8页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一点评1、定义法2、图像法第9页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一含参数函数的单调性的判断第10页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第11页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一抽象函数单调性的判断第12页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第13页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第14页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第

4、15页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。三.复合函数单调性增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数第16页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。第17页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一分段函数的单调性例10：已知函数 ， ，（1）当a=0,b=2时，求f(g(x)和g(f(x)的解析式，并判断哪一个函数在其定义域上单调。（2）当a,b满足什么条件

5、时，f(g(x)在定义域上单调。第18页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第19页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第20页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一点评分段函数的单调性，首先判断各段函数的单调性，若 每段函数的单调性一致，再判断分界点处函数值的大小关系，符合单调性的定义，则在整个定义域上是单调函数。第21页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一函数的单调性的应用1、比较数（式）的大小2、解函数不等式3求参数的取值范围4、求函数值域（最值）第22页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一题型一、比

6、较大小：例1：函数f(x)在(0,+ )上是减函数,求f(a2-a+1) 与f( )的大小。解：因为f(x)在(0,+ )是减函数因为a2-a+1=(a- )2+ 0所以f(a2-a+1) f( )第23页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一解（1）1（2）2/3,1/2 (3) 1(4)当a0时，b0或当a0时，b0(5)当a0时，最大值为3-4a最小值为-1 当0a2时，最大值为-1，最小值为3-4a第24页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一题型二、解不等式：例2：解：因为函数f(x)在定义域上是增函数第25页，共33页，2022年，5月20日，9点2

7、5分，星期一(1)已知函数 是定义在 上的增函数且 ,解不等式(2)已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、练习第26页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一第27页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一题型三、求参数范围：例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(- ，4)上是减函数，求a的取值范围。解：函数f(x)图象的对称轴为x=1-a当x 1-a时，函数单调递减已知函数在 上是减函数 所以4 1-a,即-3 a第28页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一练习(1)已知函数 在区间 上是减函数

8、，则实数 的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、（2）已知 在 上是增函数，求实数a的取值范围.（3）已知函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。第29页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一四、利用函数单调性确定函数的值域或最值.（1）求二次函数 上的最值.(2).函数 在区间2，4上的最大值为 最小值为（3）已知函数 ，若有最小值-2，则 的最大值为（4）若函数 在 上为增函数，则实数 的范围是 .(5)求 在区间 上的最大值和最小值第30页，共33页，2022年，5月20日，9点25分，星期一1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值,即存在 ， 使得 ； 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；4.如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减