2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 11 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 11 页2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题一、单选题1设全集，集合，则ABCD【答案】A【详解】全集，又，则，故选A.2从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2B0.3C0.7D0.8【答案】B【详解】解：因为该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同

2、学的身高在160，175cm的概率为0.5，和该同学的身高超过175cm的概率和为1，利用对立事件可知1-0.2-0.5=0.3，选B3的值为（）AB0C1D不存在【答案】B【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；【详解】解：故选：B4下列函数中，在上单调递增的是（）ABCD【答案】A【分析】根据基本初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，可得函数在上单调递增，满足题意；对于B中，根据二次函数的性质，可得函数在上单调递减，不满足题意；对于C中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意；对于D中，函数，可得函数在上单调递减，不满足题意，故选：A.5已知向量，若，

3、则实数的值为（）A-2B2C-1D1【答案】B【解析】根据向量垂直的坐标表示计算可得结果.【详解】因为，所以，所以，即.故选：B6设C为复数集，若，且（i为虚数单位），则（）A1BC4D【答案】A【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以；故选：A7在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（）ABCD【答案】B【分析】根据函数的解析式，利用零点的存在定理，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以，结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.故选：B.8某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名

4、学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为A6B8C10D12【答案】B【详解】试题分析：根据题意，由分层抽样知识可得：在高二年级的学生中应抽取的人数为：，故选B【解析】分层抽样9函数是 A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数【答案】A【详解】函数函数的周期是，函数是奇函数，函数是周期为的奇函数，故选A.10如图，分别是的边，的中点，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】D【解析】根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可【详解】A.项且利用中位线性质有平行故B.项 ，且平行故C.项由向量加法运算有D.项 ，不成立故

5、选：D11某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是（）A130B140C133D137【答案】C【分析】根据频率分别直方图性质求解即可.【详解】优秀的频率为，的频率为，的频率为，所以的值在之间.即，解得.故选：C.12将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（）ABCD【答案】C【分析】根据函数的图象变换规律，可得结论.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为，故选：C.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题.13在中，则ABC或

6、D或【答案】B【详解】由正弦定理可知，故选B.14设，其中e为自然对数的底，则（）ABCD【答案】B【分析】利用对数的运算法则、对数函数的性质以及作差法判断即可；【详解】解：，又即，所以，又，所以，所以，所以；故选：B15如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（）ABCD【答案】C【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，因为，而，所以在中，故，故选：C二、填空题16某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，

7、则选中男生的概率为_【答案】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意选中男生的概率；故答案为：17在中，若，则的长为_【答案】【分析】直接利用余弦定理计算可得；【详解】解：由余弦定理，即，所以故答案为：18已知，则_【答案】【分析】根据数量积的运算律求出，再根据计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，解得；所以故答案为：19表面积为的正四面体外接球的体积为_【答案】【分析】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径为，根据已知条件得到，从而得到外接球半径，再求外接球体积即可.【详解】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径

8、为，如图所示：因为，解得.因为，所以，.在中，解得.正四面体外接球的体积.故答案为：20若，则的最大值是_【答案】【分析】变形，利用基本不等式可得最值.【详解】，则.当且仅当，即时，等号成立.即的最大值是.故答案为：.三、解答题21已知(1)求的值；(2)求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）直接用二倍角余弦公式即可得结果；（2）由三角恒等式求出，再根据两角差的正弦公式即可得结果.【详解】(1)因为，所以.(2)因为，所以，所以.22已知复数是实数，是虚数单位.（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出，由题得，即可解出；（2

9、）求出，解不等式即得解.【详解】（1）， ，又是实数，得.复数.（2）由（1）得， 复数所表示的点在第一象限，得.实数m的取值范围是.23如图，四棱锥的底面是菱形，平面，是的中点，是的中点（）求证：平面平面（）求证：平面【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】试题分析：（1）根据平几知识计算得，再根据条件由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理得平面，由面面垂直判定定理得结论（2）取的中点，由平几知识得，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：（）底面是菱形，为正三角形，是的中点，平面，平面，平面，平面，平面平面（）取的中点，连结，是中点，且，与平行且相等，平面，平面，平面24已知函数(1)若为偶函数，求a的值；(2)若在上有最小值9，求a的值【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据题意得到函数的图象关于对称，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）的函数的对称轴方程为，分三种情况讨论，结合函数的单调性，利用最小值列出方程，即可求解.【详解】(1)解：由题意，函数，可得其对称轴方程为，因为函数为偶函数