数学模型案例分析库

1、数学模型案例分析库目录TOC o 1-1 h u HYPERLINK l _Toc24677 数学模型案例1雨中行走问题 PAGEREF _Toc24677 h 2 HYPERLINK l _Toc18937 数学模型案例2动物的身长与体重问题 PAGEREF _Toc18937 h 4 HYPERLINK l _Toc3845 数学模型案例3实物交换问题 PAGEREF _Toc3845 h 6 HYPERLINK l _Toc10207 数学模型案例4森林救火模型 PAGEREF _Toc10207 h 8 HYPERLINK l _Toc4961 数学模型案例5导弹核武器竞赛 PAGER

2、EF _Toc4961 h 11 HYPERLINK l _Toc10561 数学模型案例6铺瓷砖问题 PAGEREF _Toc10561 h 12 HYPERLINK l _Toc21328 数学模型案例7工厂地址选择的数学模型 PAGEREF _Toc21328 h 13 HYPERLINK l _Toc30001 数学模型案例8仓库地址选择的图论模型 PAGEREF _Toc30001 h 18 HYPERLINK l _Toc30848 数学模型案例10随机性决策模型 PAGEREF _Toc30848 h 26 HYPERLINK l _Toc7565 数学模型案例12随机型存储模型

3、 PAGEREF _Toc7565 h 28 HYPERLINK l _Toc24661 数学模型案例13投资组合问题 PAGEREF _Toc24661 h 34 HYPERLINK l _Toc14045 数学模型案例库14微分方程模型 PAGEREF _Toc14045 h 43 HYPERLINK l _Toc30175 数学模型案例15活动性分析问题 PAGEREF _Toc30175 h 46 HYPERLINK l _Toc7143 数学模型案例16食物配料问题 PAGEREF _Toc7143 h 47 HYPERLINK l _Toc13144 数学模型案例17血样的分组检验

4、 PAGEREF _Toc13144 h 49数学模型案例1雨中行走问题类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即，那么全

5、身被淋的雨水总量为这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即. 令，则. 那么全身被淋的雨水总量为这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C，而C=C（v），于是问题便归结为确定速度v，使C（v）最小本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与C（v）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往

6、往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O（如图2-1）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动.台

7、风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设 1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心（动点）为圆心的圆的半径r，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围. 2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北，速度为20km/h，而当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，即半径的增加速度为，t为时间.于是只要，便是城 图2-1市O受到侵袭的开始.模型I 如图2-2建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻t(h)台风中心的坐标为此时台风

8、侵袭的区域是 其中r(t)=10t+60. 图2-2若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 整理可得 由此解得 12t24，即12小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型II 设在时刻t(h)台风中心为（如图2-2），此时台风侵袭的圆形半径为10t+60，因此，若在时刻t城市O受到台风侵袭，应有由余弦定理知注意到 故因此 即 解得 数学模型案例2动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的

9、研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法. 类比法的作用是启迪思维，帮助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系. （2）模型

10、假设与求解 我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似. 为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为l、直径为d、断面面积为S（如图23）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.图23 设动物在自身体重（记为f）的作用下，躯干的最大下垂度为b，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道 .又由于Sl(体积)，于是 .b是动物躯干的绝对下垂度，b/l是动物躯干的相对下垂度.b/l太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，

11、从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l已经达到其最适宜的数值，换句话说，b/l应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此，又由于,故.即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪），根据统计数据确定上述比例系数k后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能

12、想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等.情形1 已知：中，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且.求的面积.如图2-4，引，易证类比 若去掉情形1中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图2-4情形2 已知中(图2-5)，BD是AC边上的中

13、线，E点在AB上，且，求.类似情形1的证法，易证得；当时，与情形1结果相同. 图2-5类比 若保留情形1中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形3 已知中，AC=2BC=2，BD是AC边上中线，交BD于H，求.同样可证.这里，若在情形3中令AC=2BC=1，也有，与情形1结论相同；情形3是由情形1类比而来，最自然的想法是求，为了增加变换方式获得新命题，本情形求的是.数学模型案例3实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，

14、乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.图26下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为x0的物品X，乙占有数量为y0的物品Y；交换后甲所占有的物品X，Y的数量分别记为x,y；单位数量的物品X，Y的价值（价格）设为p1,p2.由等价交换准则，x,y满足方程 容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。在等价交换

15、准则下双方均满意的交换方案必是此直线与曲线AB的交点（如图26）. 无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质.例3 消费者的选择在本章中讨论实物交换模型时，引进了无差别曲线描述人们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进行实物交换时应遵循的途径. 本例要利用无差别曲线族的概念讨论，一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品.记甲乙两种商品的数量分别是q1和q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用q1、q2 的函数，记作U

16、（q1,q2），经济学中称为效用函数（Utility function）. 图2-7U（q1,q2）=c（常数）的图形就是无差别曲线族，如图2-7是一族单调降、下凸、互不相交的曲线.在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数U（q1,q2）的值不变.而随着曲线向右上方移动，U（q1,q2）的值增加（图中l2上的U值高于l1上的U值）.曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况.这里假定消费者的效用函数U（q1,q2），即他的无差别曲线族已经完全确定了.设甲乙两种商品的单价分别是p1和p2（元），消费者有s(元)钱.当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，应该

17、使效用函数U（q1,q2）达到最大，即得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者平衡.因为当消费者对两种商品的购买量分别为q1和q2时，他用的钱分别为p1q1和p1q2，于是问题归结为在条件 p1q1+p2q2=s (2.1)下求比例p1q1/p2q2，使效用函数U（p1,q2）达到最大.这是二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘子法不难得到最优解应满足 （2.2）当效用函数U（q1,q2）给定后，由（2.2）式即可确定最优比例p1q1/p2q2.上述问题也可用图形法求解.约束条件（2.1）在该图上是一条直线MN.MN必与无差别曲线族U（q1,q2）=c中的某一条曲线相切（图中是与l2相切

18、），则q1,q2的最优值必在切点Q处取得.图解法的结果与（2.2）式是一致的.因为在切点Q处直线MN与曲线l2的斜率相同，而MN的斜率是KMN=- p1/p2，l2的斜率是，在Q点处，即给出（2.2）式.经济学中，称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量.（2.2）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比时达到.从以上讨论可见，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U（q1,q2）.下面列举几个常用的效用函数，并分析消费者均衡状态，即最优比例p1q1/p2q2的实际含义.（1）若效用函数为 （2.3）根据（2.2）式可以求得最优比例p1q1/p2q2为

19、（2.4）结果表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比.同时与效用函数U（q1,q2）中的参数、有关：越大购买商品甲的钱越少，越大购买商品甲的钱越多.这说明在（2.3）式给出的效用函数中，参数和分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.于是调整和可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状.（2）若效用函数为 （2.5）根据（2.2）式可以求得最优比例p1q1/p2q2为 （2.6）这表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而参数和分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.（3）设效用函数为 （2.7）对（2.7）式的求解及结果分析留给读者

20、.应用这个模型时，可以根据上面的分析决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数.数学模型案例4森林救火模型 森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？（1）问题分析 如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费

21、由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关.设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不

22、断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调非减的函数，即.从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即.开始救火以后，即时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即，并且当t=t2时，.在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出合理的假设.（2）模型假设 = 1 * GB3 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的； = 2 * GB3 损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数为c1，即烧毁单位面积的损失费为c1； = 3 * GB3 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度与时间t成正比，比例系数为，称之为火势蔓延速度，即 = 4

23、 * GB3 派出消防队员x名，开始救火以后（），火势蔓延速度降为（线性化），其中可视为每个队员的平均灭火速度，且有，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制； = 5 * GB3 每个消防队员单位时间费用为c2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1，于是每个队员的救火费用为c2(t2-t1)；每个队员的一次性支出为c3(运送队员、器材等一次性支出).对于假设3可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B与r2成正

24、比，故B与t2成正比，从而与t成正比.（4）模型建立 总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费c1的积，即c1B(t2)；由假设5，救援费为c2x(t2-t1)+c3x，因此，总费用为.由假设3，4，火势蔓延速度在内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b表示，而后，在内，火势蔓延的速度线性地减少（如图26），即 因而有 .烧毁面积为恰为图26中三角形的面积. 图26 与时间t的关系由b的定义有，于是所以，其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题：（5）模型求解这是一个函数极值问题.令，容易解得.（6）模

25、型分析与改进 = 1 * GB3 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为是火势蔓延速度，而是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的. = 2 * GB3 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭火速度和救援费用系数c3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度、开始救火时的火势b及损失费用系数c1增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数增大时，队员人数也增大. = 3 * GB3 改进方向： = 1 * roman i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况； = 2 * ro

26、man ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； = 3 * roman iii 对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然（火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对相同的两种森林，派出的队员也未必相同； = 4 * roman iv 决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点.数学模型案例5导弹核武器竞赛 美国和前苏联都深感自己需要一定数量的洲际弹道导弹，以对付对方的“核讹诈”,其基本想法是当自己在遭到对方的突然袭击后能有足够的导弹幸存下来，以便给予对方以“致命打击”. 为此双方展开了一场竞争,方法有

27、: (1)努力增加自己的核武器，从数量上压倒对方.但这样作下去双方都感到负担过重. (2)引进反弹道导弹和多弹头导弹. (3)加固导弹库或建造核潜艇来保护导弹,使之不易受到攻击. 究竟用什么方法为好,在对方采取不同的策略时,自己又将如何对付？为此展开了一场激烈的军备竞赛.由于核武器种类繁多，性能各异,问题比较复杂，所知信息又少。因此下面建立一个简单的图解模型，以便帮助阐明其中某些问题. 把讨论的两国称为甲方和乙方.用x,y分别表示甲方和乙方拥有的导弹数.由于x,y很大,把x和y看作实数. 假设两方拥有的导弹相同，而且具有同等的防护能力. 甲方为了安全，其拥有的核弹头数x要随乙方的弹头数y的增长

28、而增长。可以假设存在增函数f,当xf(y)时甲方才感到安全,x=f(y)称为甲方的安全线,同样y=g(x)是乙方的安全线,即当yg(x)时乙方才感到安全.图1610乙方安全区甲方安全区B0CA由图1610可知甲方的安全区和乙方的安全区.二者的公共部分双方都感到安全，即军备竞赛的稳定区域(图中阴影部分).两条安全线的交点为竞争的平衡点。问题在于当第一次打击不可能摧毁对方的假设下，这样的稳定区域存在吗？换言之，两条单调增加的曲线x=f(y)和y=g(x)相交吗？这要求证明并进而讨论,当反导弹和多弹头导弹这类武器出现时，对于平衡点A()将产生什么影响？ 为了证明x=f(y)和y=g(x)相交,我们采

29、用如下方法:证明从原点出发的任一直线y=rx(r0)必与曲线x=f(y)相交,其中x=f(y)从(,0)开始，以递增到无穷的斜率向上弯曲.0 Y = rxxY因为不论乙方拥有的核弹头数y是甲方的多少倍(如r倍,r可以充分大),都不能一次毁灭甲方，也就是说在乙方y=rx枚核弹头的袭击下,甲方一枚弹头保存下来的概率p(r)仍然大于零(尽管可以很小),那么甲方只需要拥有 枚弹头,就可以感到安全.正是直线y=rx和曲线x=f(y)交点的横坐标.所以y=rx与甲方安全线x=f(y)相交.如图16-11所示.同理,y=rx必与曲线y=g(x)相交.y=g(x)从 图1611(0,y)开始,起斜率递减到零.

30、这样曲线x=f(y)与y=g(x)相交于A()点,这是x和y的最小稳定值. 下面我们要讨论，如果某一方使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段,两条安全曲线和稳定点A()将如何变化呢? 如果甲方由于使用加固导弹库,反弹道导弹或其他一些手段，则它的导弹更不容易遭受突然袭击，这将使甲方任一枚导弹逃脱突然袭击的概率p(r)增大，所以曲线f(y)向左移动，在图16-10中用虚线表示.点不变,此时曲线的形状稍有改变.为了保持稳定，双方只需要更少的导弹，稳定点为B. 如果甲方用某种设施，例如反弹道导弹来防护它的城市，这时乙方要对甲方进行致命的打击，就需要比更多的导弹，于是g(x)向上移动.在图16-10中

31、用“ ”线表示.我们可以看出，要保持稳定，双方都需要更多的导弹，稳定点为C.图1612BAyxx=f(y) 0如果使用多弹头导弹，此时情况将变得更加复杂.例如,甲方将它的每枚导弹的单弹头改装为N个弹头,那么它所需要的能逃脱偷袭的导弹数可以更少些(需要的数大约是).这样x=f(y)就向左移动。乙方在一次被偷袭中将面临N倍之多的弹头.所以，从乙方的观点来看，X轴的比例尺变化了一个因子N，因而乙方将要更多的导弹。曲线g(x)将向上移动.由图2.10可知,甲方需要的导弹比原来要少些.至于曲线弯曲形状变化的细节，应该用概率模型来代替图解模型，或者把二者结合起来，这就要求对导弹的效能作出更精确的假设，在此

32、不作讨论.数学模型案例6铺瓷砖问题 要用40块方形瓷砖铺设如图16-17所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完整铺好. 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图16-17所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题. 为此,在图16-17上白、黑相间的染色.然后仔细观察,发现共有19个白格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什么方法),总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二. 解决铺瓷

33、砖问题中所用方法在数学上称为“奇偶校验”,即是如果两个数都是奇数或偶数，则称具有相同的奇偶性.如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶性.在组合几何中会经常遇到类似的问题. 在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的奇偶性长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奇偶性的一对方格.因此，把19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时,才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上.由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,因此无法铺上最后一块长方形瓷砖这就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图16-17所示地面是不可能的.任何改变铺设方式的努力都是徒劳的.

34、数学中许多的著名的不可能的证明都要用到奇偶校验,例如欧几里德证明著名的结论是无理数，就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做一下).奇偶校验在粒子物理学也有很重要的作用，1957年美籍华人杨振宁和李政道推翻了“宇称守恒定理”，由此获得了诺贝尔奖，其中就是运用了奇偶校验方法。由上可以看出,奇偶校验方法巧妙而简单,极富创造力.在估计事情不可能成立时,可考虑使用奇偶性这一方法来论证.数学模型案例7工厂地址选择的数学模型 现代工厂地址的选择，关系到工业布局及经济效益的重大决策,涉及到经济和非经济的多种因素,因此在选址时,应对几个被选厂址的各种不同因素的优劣进行综合平衡，根据各种不同的选址标准，选出最佳厂址.

35、 选址时,我们主要考虑两大类因素,一是定量因素，二是定性因素. 定量因素主要是指经济效益,即考虑工厂的成本和收入.成本包括三个方面: (1)生产成本:由物料、能源、信息等基本因素所确定. (2)社会成本:工厂对环境的污染应赔偿的损失费等. (3)分配成本:工厂把产品发送到消费地点,应付的运输费用及其他周转费. 生产成本,社会成本,分配成本与厂址的选择有直接关系,对厂家的成本起决定性的作用.它们可用数字表示,因而称为定量因素. 厂址的选择不仅要考虑定量因素,而且还要考虑复杂的不易定量化的定性因素.如国家的方针政策,当地的科研和工业力量、文化背景和教育情况、生活条件、群众对建厂的态度等.在定性因素

36、中,尤为重要的是国家的方针政策.比如关于工业布局,保护自然资源,控制城市和旅游区污染,开发工业落后地区,大区工业配套以及引进外资等方面的方针政策,这些因素对工厂选址往往是极其重要的约束条件. 先决因素(先决条件)是在上述的定量和定性因素中,任何被选地址都必须满足的若干因素.如战备需要,工业布局,某些工业划定在特定地区兴办,某些工业必须接近原料产地和能源等. 最佳厂址是在满足先决条件的备选厂址中,按照一定标准挑选出最满意的厂址. 厂址选择的准则数学模型如下: 第一类为简化模型，以工厂投产后年度总支出(年度总成本加均摊的基建费)为基础进行比较. 假设 (1)在各备选地址建厂,其规模、经济寿命期都相

37、同,并且保持均衡生产,年产量不变,因而可按年度总成本进行比较. (2)在各备选地址建厂基建工期均较短,不考虑基建投资年度分配的差异,因而可以按基建总投资进行比较.准则1 最佳厂址的基建投资年等价额，年度生产成本，年度分配成本之和最小，即年度总支出最小，经济效益最高。用V表示基建投资,n表示工厂经济寿命期(单位 年),s表示经济寿命期终了时工厂的残余价值,表示工厂满额生产时年度生产成本, 表示工厂年度分配成本,i表示基建贷款的年利率.A表示基建投资的年等价额,即把基建投资加上相应的利息，按工厂收益期(经济寿命期)每年均匀偿付的数额,其计算公式如下: (1) 准则1的数学模型为 (2)足码j表示年

38、度总支出是地址j的函数. 年度生产成本包括材料费,公共服务费(水、电、气、设备维修),职工工资,经常费(管理费,财产保险金及各种杂支),即 =+ (3) 将(2.5)代入(2.4),准则1的数学模型为 (4) 如果由于建厂给社会带来损失(如占用良田或造成土质恶化使农业减产),(4)中还应记入社会成本,由于建厂给社会带来的附加收益(如改善了道路减少了运输费),则应作为负值记入社会成本(4).当然，这是从国家角度考虑,对于企业，社会附加收益并不能收回. 准则2 最佳厂址是年度总支出和各定性因素保持最佳平衡(即综合优点最大)的厂址. 在备选厂址中,如果定性因素差别很大,就不能忽视.然而定性因素不好比

39、较.为此引入一个新概念“优度”,即分别表示各厂址两类因素在全部备选厂址中的相对优点(相对价值).优度最小值为零,表示该因素对比评价结果无优点;优度最大值为1，表示该因素相对地具有100%的优点.分别求出各地两类因素优度的加权和,其加权值最大的地址为最佳厂址. 令表示第j个地址定量因素的优度, 表示第j个地址定性因素的优度,a表示的权值,. 准则2的数学模型为 (5) 定量因素优度的计算方法: 如果有n个备选厂址进行比较,则 令表示第j个厂址相应的年度总支出,则其倒数表示第j个厂址诸定量因素综合优点的一种绝对尺度.所以第j个厂址的定量因素优度为 (6) 定性因素优度的计算方法： 根据各定性因素的

40、相对重要性，在m个定性因素中，给予第k个因素以适当的权值,并使. 在n个备选厂址中，给予第j个厂址的第k个因素以适当的分数，表示该因素在n个厂址中的相对优点，并使。所以，第j个厂址的定性因素优度为 ， （7） 而 。 将（6）、（7）代入（5），得准则2的数学模型为 （8） 定量因素优度计算举例。 设有甲、乙、丙三个厂址，估计甲厂的年度总支出=200（万元），乙厂的年度总支出（万元），丙厂的年度总支出(万元)。则其优度值分别为 由此可以看出甲厂址的定量因素优度值大。 定性因素优度计算举例。 设在定性因素中我们考虑：（1）国 的工业布局方针政策：（2）当地的生活条件好坏；（3）当地的文化教育状况

41、；（4）当地科研力量的强弱。我们分别赋权值：方针=0.3，生活=0.3，文化教育=0.2，科研=0.2。对三个厂址的各定性因素打分如表16-2所示。 表16-2地址 =0.3=0.3=0.2=0.2 123 由此可以看出第三厂址的定性因素优度值大。 决策者对各定性因素所赋予的权值应给定，但对各项定性因素在给每个厂址打分时，各人由于认识不同，打分不一样。我们可以用体育比赛的评分方法，将几个打分中的最高分和最低分舍去，剩下的中间分数取其平均值作为该项的记分，这样就比较客观了。 准则3 最隹厂址是先决条件下年度总支出最低的厂址。 某地址满足先决条件时，其优度为1，表示该地址可以作为备选厂址。不满足先

42、决条件时，其优度为零，表示该地址不能作为备选 厂址，没有中间情况。先决条件总优度为各个先决条件优度之积。 令表示第j个地址的先决条件总优度（设有r个先决条件）。表示第j个地址第q个先决条件的优度。则 (9)把（9）同（4）结合起来，准则3的数学模型为 (10)准则4 最佳厂址是满足先决条件下定量因素和定性因素保持最佳平衡的厂址。把（9）同（8）结合起来，得准则4的数学模型 (11) （11）是第一类选址准则的完整的表达式，前面三个准则都 是准则4的特例。 第二类为通用模型，在一般情况下，各备选地址的建厂期并不相同，受益有早有晚，在建设期内每年投资分配也不相同，付息不等，投产后生产能力要逐步发挥

43、。维修费逐步增加，加之其它原因，年度总支出是变动的。为了与实际更加接近，我们以工厂在经济寿命期内总受益的现值为基础进行比较。 令T表示基本建设工期（单位年），V表示基本建设投资的等价现值，表示第t年基本建设投资额。则 (12) 如果在T年内每年投资额相同，均为,则（12）式为 (13)令表示工厂第t年总收入，表工厂第t年的总成本，则工厂在经济寿命期内盈利的等 价现值为 (14)如果 基建费年度分配相同，则（14）变为 (15)在n个备选 厂址中，第j个地址的优度为 ，并且 。准则5 最佳厂址在经济寿命期内总受益（盈利）最大。其数学模型为 max (16)准则6 最佳厂址是总受益和定性因素保持最

44、佳平衡的厂址。其数学模型为 max （17）准则7 最佳厂址要求在满足先决条件下总受益最大。其数学模型为 max （18）准则8 最佳厂址要求在满足先决条件下总受益和定性因素保持最佳平衡。其数学模型为 max （19） 选址总是由大致范围的普查逐步缩小，直到具体定点，凡不符合先决条件之一者，在选址过程中被排除，不会进入最后比较之列。所以，上述8个数学模型中，理论上表达完整的是（10）、（11）、（18）、（19），而实际应用的则是（4）、（8）、（16）、（17）。 过去有些决策者在选择工厂地址时，也权衡了各种利弊得失，但多是估计性质的。特别是对于定性因素就更难说清两个地址的优劣比较。以上的选

45、址数学模型为决策者选址提供了理论依据。特别是用优度的方法把定性因素数量化，对于每个地址的优劣从数量上有了较精确的区分，这帮助我们准确选址，充分发挥经济效益起了很好的作用。数学模型案例8仓库地址选择的图论模型问题的提出某乡有十二村A，B，C、L，如图，两村连线上数字表示两村间的距离（单位：千米）.各村上缴粮食数量依次为70、80、60、30、65、100、20、40、30、45、35、20吨.现计划在村内或道路上建一仓库来储存这些粮食.现要求如下：（1），若整个公路上的运费为1.5元/吨*千米，确定建立仓库的位置，使运输的总费用最少.（2）， 若公路BF、FE、ED、DG、GH上的运费为2元/吨

46、*千米，而其余公路上的运费为1.5元/吨*千米，各村的建库费分别为5100、5000、5200、5150、5400、5300、5200、5250、5400、5110、5010、5120元，而公路上的建库费与最近的村相同.设计确定使总费用之和最少的仓库位置的方案. C 10 I8 3 4 3 A 5 B D 3 G 2 H J 3 L 6 5 5 5 F 2 E 8 K考虑的一般都为费用问题，如何建仓库才能使农民较容易上缴，不用花那么多费用上缴必须的粮食，为农民省点钱，这样农民也不会抱怨太大，所以考虑在什么位置建仓库，才能使各个村去缴粮食的路程最短，这样才能减少运费，使所有村上缴粮食的总费用最少

47、，有时还要考虑建立仓库的费用. 本问题的实质就是用图论的方法，在图中找一个位置建库，求出各村到建库点的最短路，并找出使总费用最少的建库点，显然这是一个最短路问题，图论中找最短路的方法很多，我们可以把几种方法结合起来，就可简单地找出最短路.，使得运输粮食的总费用最少.模型的假设不考虑在各村建的仓库的经济寿命期相同.假设各村之间可以随意经过.假设建库费仅指建仓库的原材料费.不考虑各村之间可以随意经过.符号约定：从A 村到 A村的最短路距离.：各村上缴的粮食量.（i=112） ：分别表示十二各村A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L.C ：整个公路上的运费（1.5元/吨千米）. ：从A 村到

48、 A村的最少公路运费.（千米）. ：各村的建库费.：运输粮食的总费用.W ：建库费也与总运费的总和.模型的建立与求解4.1 如果整个公路的运费相同，则确定建库位置，使总运费最少.对此问题，我们采用分析法建立数学模型，粮食运输的总费用应等于村（i=111）到村粮食运费运输的费用之和.而村到村的粮食运费应该等于村到村的距离，村上缴的粮食数量和每吨千米的运费C的乘积.故此问题的目标函数为： min （j=112）根据上面的表达式可知，因为C,均为常数，只有为变量，所以要使运输粮食的总费用最少，必须使村到村的距离最短，故我们现在要找最短路，由于本题的图形是比较简单的，所以我们采用了人工与计算机相结合的

49、方法，寻找各个村到选定村的最短路.通过对它们比较分析，我们找到了运输粮食的最少费用为，同时选出了需要最少运费的位置在E点及相应的路线.找最短路的算法如下：（1）先定点，找出其他十一个点， 到 的最短路,.（2）根据运输粮食的总费用的表达式算出其他十一个点到点 的运费之和. （3）同理，算出到点，的运费分别是,（4）对,进行比较，找出运费最少的，即为运输粮食的总费用的最优解现在已经确定了建立仓库的位置在E点，运输的总费用（单位：元）最少为 各个点到点E（）的最短线如下图：（假如E村（=0）的粮食运费为零） C I 3 3 G 2 J 5 B D 4 LA 5 5 H 5 3 F 2 E 8 K由

50、图可知各个点到点的最短距离（单位：千米）分别如下=12，=7，=8，=5，=2，=8=10， =14，=13，=8，=16图中边的赋权表示两个村之间的距离.现设在任意两个村，之间建仓库，它们需要上缴的粮食数量分别为吨，如图 x y1 y2 L设仓库位置距的距离为x千米，两村的距离L 为千米，则两村上缴粮食的总运费为：w=+=由上式可得当时，x=0，W达到最小值CL（在点）当 时，x=L时（在点），W达到最小值当 时，x取任意值，W都为CL，故可取在两个端点由上可知，无论什么情况，仓库都没有必要建在公路上，所以不用考虑它的总费用.只在村内建仓库就可以了.上述已经证明了，只在村内建仓库，所以我们还

51、可以采用物理模拟法解此问题.如图所示. 先任意选定某一个点，比如选在L点，则可求出其他各个点到点L的最短距离，然后用模拟法，做一个带有坐标刻度的板面，在相应村所在的坐标位置处钻洞，通过每一个洞穿过一条绳子，一端垂在板下并吊一个砝码，其重量与村需上缴的粮食数量相对应，另一端都在板面上，且与同一个小环相连，最后小环停留下来的平衡位置，就是使总费用最少的那个位置，即建立仓库的位置.4.2 若公路BF，FE，ED，DG，GH上的运费改变了，为2元/吨千米，运输总费用也发生了变化，由于这只是在局部路段的费用发生了变化，如果从某个村到建仓库的地点没有经过这些路段，则在整个路程中每千米每吨粮食的运费仍为1.

52、5元，否则若经过了某个路段，则运费分为两部分，一部分是经过这个路段的运费，另一部分为经过的其它路段的费用.此问题还要考虑建库费，故我们的目标函数为： min此问题的关键也是求最短路问题，我们用类似问题1的方法找最短路.通过比较得出了使总费用最少的建库位置是在E点，运输粮食总费用与建库费的总和最少为：各个村到点的最短路线如下图： C(60) I(30) 4.5 5 7.5 B(80) D(30) G(20) 4 H(40) 4.5 L(20) A(70) 10 10 6 J(45) 7.5 F(80) 4 E 12 K(35)图中边的赋权即为此路段的路程与其每千米每吨的运费乘积，顶点的权为相应村

53、所需上缴的粮食数量（单位：吨）.由上图可得各个村到村E的最少公路运费（单位：元）如下： 这里设村E（）的粮食运费为 =0元所以粮食运输费与建库费的总和（单位：元）最少为： 找各个点到点E（ ）的最少公路费 （i=1.12）的算法如下：把题目中的图的边赋权为经过这两点之间的公路运费，然后找出其它各点到点A()的最少公路运费 (I=1.12)同理，找出其它各点的最少公路运费.比较十二个点的最少公路运费 ,与其相应的建库费的和，得出值最小的那个就是粮食运输费与建库费总和的最小值.最后得出粮食运费与建库费总和最少的为，即应该把仓库建在E点，才能使总费用最少.证明不必要把仓库建在公路上的方法与问题1的方

54、法一样，这里就不再证明了.所以只要考虑在村内建仓库的情况就可以了.数学模型案例9遗传模型1问题分析 所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的，那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA型开红花，AB型的开粉花，而BB型的开白花.这里的AA型和AB型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因A支配基因B，也说成基因B对于A是隐性的.当一个亲体的基因型为AB，另一个亲体的基因型为BB，那么后代便可从BB型中得到基因B，从AB型中得到A或B，且是等可能性地得到.问题

55、：某植物园中一种植物的基因型为AA，AB和BB.现计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况. 2模型假设（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A或B是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表51.表5-1下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21(2) 以和分别表示第n代植物中基因型为AA，AB和BB的植物总数的百分率，表示第n代植物

56、的基因型分布，即有 (5 .1)特别当n=0时，表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基因型分布)，显然有3模型建立注意到原问题是采用AA型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列.首先考虑第n代中的AA型，按上表所给数据，第n代AA型所占百分率为即第n-1代的AA与AA型结合全部进入第n代的AA型，第n-1代的AB型与AA型结合只有一半进入第n代AA型，第n-1代的BB型与AA型结合没有一个成为AA型而进入第n代AA型，故有 (5 .2)同理，第n代的AB型和BB型所占有比率分别为 (5 .3) (5 .4)将(.2)、(.3)、(.4) 式联立，并用矩阵形式表示，得到

57、(5 .5)其中利用(5 .5)进行递推，便可获得第n代基因型分布的数学模型 (5 .6)(5.6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布与矩阵M确定.4模型求解这里的关键是计算.为计算简便，将M对角化，即求出可逆阵P，使，即有从而可计算 其中为对角阵，其对角元素为M的特征值，P为M的特征值所对应的特征向量.分别为 ，故有即得于是 或写为由上式可见，当时，有即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA型，AB型的极少，BB型不存在.5模型分析 （1）完全类似地，可以选用AB型和BB型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、

58、4、6列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA与BB，而AB消失了.（2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵n次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例.例2 血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型解 假设有%的人患有血友病，并假设下一代

59、与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a0，b0，由题设，a0：b0=1：1.2注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 同理，第二代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 依次类推，第n代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 令，则数学模型案例10随机性决策模型决策是人们在政治、经济、军事和日常生活等多方面普遍存在的一种选择方案的行为. 决策按环境而言，可以分为确定型，不确定型和风险型，其中风险型决策的决策类型

60、是最常见的，.所谓风险型决策是指在作出决策时，往往有某些随机性的因素影响，而决策者对于这些因素的了解不足，但是对各种因素发生的概率已知或者可估算出来，因此这种决策因存在一定的风险.1风险决策模型的基本要素(1) 决策者 进行决策的个人、委员会或某个组织.在问题比较重大和严肃时，通常应以后者形式出现.(2) 方案或策略 参谋人员为决策者提供的各种可行计划和谋略. 如渔民要决定出海打鱼与否便是两个方案或称两个策略.(3) 准则 衡量所选方案正确性的标准.作为风险型决策，采用的比较多的准则是期望效益值准则，也即根据每个方案的数学期望值作出判断.对收益讲，期望效益值越大的方案越好；反之对于损失来讲，期