《4.3 对数》教研教案教学设计(统编人教A版高中必修第一册)

1、第四章指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.3.1 节对数 的概念。从内容上看它是学生了指数幂运算的基础上，通过实际问题的提出，从而建立对数的概念。 其研究和学习过程，与先前学习加法与减法、乘法与除法类似。由指数运算进而提出对数运算，本 节为后续的对数函数奠定基础。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。课程目标1、理解对数的概念，能进行指数式与对数 式的互化；2、了解常用对数与自然对数的意义，理解 对数恒等式并能运用于有关对数计算。 3、通过转化思想方法的运用，培养学生转 化的思想观念及逻

2、辑思维能力。学科素养a.数学抽象：对数的概念；b.逻辑推理：指数式与对数式的转化；c.数学运算：对数的运算；d.直观想象：指数与对数的关系；e.数学建模：在实际问题中建立对数概念；教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化教学难点：由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生 接受，因此，对对数 符号的认识会形成教学中的难 点。多媒体1教学过程（ 一 ）、 创 设 问 题 情 境设计意图 核心教学素养目 标问题提出：在 4.2.1 的问题 1 中，通过指数幂运算，我们能从 y1.11x开门见山，通过中求出经过 4 年后地景区的游客人次为 2001 年的倍数 y反之

3、，如果 要求经过多少年游客人次是 2001 年的 2 倍，3 倍，4 倍，那么该如 何解决？x x x上述问题实际上就是从 2=1.11 ，3=1.11 ， 4=1.11 ，中分别求出 x，即已知底数和幂的值，求指数这是本节要学习的对 数对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550 年1617 年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于 1614 年在爱丁 堡出版了奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把对数 的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为 17 世纪数学的三大成 就。（二）、探索新知1对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数 a 的范围是

4、_.2常用对数与自然对数3对数的基本性质(1)负数和零没有对数(2)log 10(a0，且 a1)(3)log a1(a0，且a aa1)思考：为什么零和负数没有对数？提示 由对数的定义：axN(a0 且 a1)，则总有 N0，所以转化为对2对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展 学 生 数 学 抽象、数学建模和逻辑推理等核心 素养；a ( 2)a 1 5 2 1 1 4 2 1 1 3 3 1 3 3 x 数式 xlog N 时，不存在 N0 的情况1思考辨析(1)l

5、og N 是 log 与 N 的乘积( ) a a(2)(2)38 可化为 log (8)3.( )(3)对数运算的实质是求幂指数( ) 答案 (1) (2) (3)2若 a2M(a0 且 a1)，则有( )Alog Ma Blog M22 aClog 2M Dlog aM2 2Ba2M，log M2，故选 B.（三）典例解析例 1 将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：1 1(1) 54625; (2)2 7 ； (3) ( )m5.73128 2通过典例问题(4)log325；(5)lg 1 0003； (6)ln 102.303的分析，让学生2解 (1) 由 54625，可得

6、 log 6254.1 1(2)由 2 7 ，可得 log 7.128 128进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数1(3) 由( )m5.73 ，可得 log 225.73m，概念的理解。(4)由 log12325，可得2532.(5)由 lg 1 0003，可得 1031 000.(6)由 ln 102.303，可得 e2.30310.规律方法 指数式与对数式互化的方法将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不 变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式；1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3 21 1

7、； (2)916；(3)log 273; (4)log3x646.1解 (1)log 2；(2)log 162；94(3) 27；(4)( x)664.例 2 求下列各式中的 x 的值：2(1)log x ； 64(2)log 86；3 a 4 34 3 5 a b a ba a b (3)lg 100 x; (4)ln e2x.2 2 3 3解 (1)x(64) (43) 412 .161 1 1 1(2)x66 6 6 28，所以 x(x6) 8 (23) 2 2.(3)10 x100102，于是 x2.(4)由ln e2x，得xln e2，即 exe2，所以 x2.规律方法：要求对数的值

8、，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式， 再利用指数幂的运算性质求解。探究问题log Na1你能推出对数恒等式 a N(a0 且 a1，N 0)吗？log Na提示：因为 axN，所以 xlog N，代入 axN 可得 a N.2如何解方程 log (log x)0?4 3提示：借助对数的性质求解，由log (log x)log 1，得 log x1，x3. 例 3 设 5log (2x1)25，则 x 的值等于( )A10 B13 C100 D100(2)若 log (lg x)0，则 x 的值等于_.3思路探究：(1)利用对数恒等式 alog NN 求解；a(2)利用 log a1，lo

9、g 10 求解a a通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；(1)B(2)10 (1)由 5log (2x1)525 得 2x125，所以 x13，故选 B.(2)由 log (lg x)0 得 lg x1，x10.3归纳总结:1.利用对数性质求解的 2 类问题的解法 （1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求 loglog c 的b值，先求 log c 的值，再求 log log c 的值.（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log” 后再求解.log Na2.性质 aN 与 log a log Nabb 的作用

10、（1） 指数形式.a N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a,为底的（2）logab 的作用在于能把以 a 为底的指数转化为一个实数4273 5 3 x x 2 3 3 x 2 9 x 3 3 (2)由 log x ，可得 x2 ，x . 27x 1 2三、当堂达标1在 blog (m1)中，实数 m 的取值范围是( )3AR B(0，) C(，1) D(1，) 【答案】D 由 m10 得 m1，故选 D.2下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )通过练习巩固本节所学知识，巩A10013 1 1 11 与 lg 10 B27 与 log 3 3 3固对数的概念及其性质，增强学12Clo

11、g 92 与 9 3 Dlog 51 与 515生的数学抽象、【答案】C C 不正确，由 log 92 可得 329. 3若 log (log 9)1，则 x_.2 x【答案】3 由 log (log 9)1 可知 log 92，即 x2 去)log 234 log 33 _.log 23【答案】3 log 33123.5求下列各式中的 x 值：3 2(1)log 27 ； (2)log x ；2 31(3)xlog27 ； (4)xlog116.233 2【答案】(1)由 log 27 ，可得 x 27，22 23 3x27 (33) 329.9，x3(x3 舍数学运算、逻辑推理的核心素 养。22 3 2 3 1 1 22 3 2 4 21