哈尔滨中考数学-圆的综合的综合压轴题专题复习

1、哈尔滨中考数学一一圆的综合的综合压轴题专题复习一、圆的综合如图，点P在OO的直径AB的延长线上，PC为OO的切线，点C为切点，连接AC,过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交OO于点E.如图1,求证:ZDAC=ZPAC；如图2,点F（与点C位于直径AB两侧）在OO上,BF=FA，连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证：FG=DE+DG；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3F.【解析】【分析】（1）连接OC，求出OCIIAD,求出OC丄PC，根据切线的判定推出即可；（2）连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG,FH=EH,即可得出答

2、案；（3）设OC交HE于M,连接OE、OF,求出ZFHO=ZEHO=45，根据矩形的性质得出2EHIIDG,求出OM=-AE，设OM=a，则HM=a,AE=2a,AE=3DG,DG=3a,求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tanZMBO=MO而CO1tanP=PO二-，设OC=k，则PC=2k,根据OP=春5k=5求出k=，根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】（1）证明：连接OC,PC为OO的切线,0C丄PC,AD丄PC,.OCIIAD,ZOCA=ZDAC,TOC=OA,ZPAC=ZOCA,ZDAC=ZPAC；(2)证明：连接BE交GF于H,连接OH,TFGIIAD,ZF

3、GD+ZD=180,TZD=90,ZFGD=90,TAB为OO的直径，ZBEA=90,ZBED=90,ZD=ZHGD=ZBED=90,.四边形HGDE是矩形，DE=GH,DG=HE,ZGHE=90,TBF二AF,ZHEF=ZFEA=1ZBEA=-x90o=45。2ZHFE=90-ZHEF=45,ZHEF=ZHFE,FH=EH,.FG=FH+GH=DE+DG；(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF,TEH=HF,OE=OF,HO=HO,.FHO竺EHO,ZFHO=ZEHO=45,四边形GHED是矩形，EHIIDG,ZOMH=ZOCP=90,ZHOM=90-ZOHM=90-45=45,.ZHO

4、M=ZOHM，.HM=MO,TOM丄BE,.BM=ME,1.om=ae,22设OM=a，贝9HM=a,AE=2a,AE=3DG,DG=3a,TZHGC=ZGCM=ZGHE=90，.四边形GHMC是矩形，.GC=HM=a，DC=DG-GC=2a，TDG=HE，GC=HM，.ME=CD=2a，BM=2a，MOa1在RtABOM中，tanZMBO=,BM2a2TEHIDP，.ZP=ZMBO，CO1tanP=PO设OC=k,则PC=2k,在RtAPOC中，OP=J5k=5,解得：k=,OE=OC=/5,在RtAOME中，OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1，.HE=3a=3，在RtAHFE中，Z

5、HEF=45,.EF=HE=32.【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设AMBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）n/2（

6、2）22.5。周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出ZAOM的度数；（3）利用全等把MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：（1）TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45，OA旋转了45.OA在旋转过程中所扫过的面积为45兀22=空3602(2)TMNIIAC,ZBMN=ZBAC=45，ZBNM=ZBCA=45.ZBMN=ZBNM.BM=BN.又:BA=BC，AM=CN.又:OA=OC，ZOAM=ZOCN，OAM竺OCN.ZAOM=

7、ZCON=121(zaoc-zMON)=2(90-45)=22.5.旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45-22.5=22.5.（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则ZAOE=45-ZAOM，ZCON=90-45-ZAOM=45-ZAOM,ZAOE=ZCON.又:OA=OC，ZOAE=180-90=90=ZOCN.OAE竺OCN.OE=ON，AE=CN.又：ZMOE=ZMON=45，OM=OM，OME竺OMN.MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.在旋转正方形OAB

8、C的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.3.如图1,已知扇形MON的半径为事2，ZMON=90，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD丄BM,垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,ZCOM的正切值为y.如图2,当AB丄0M时，求证：AM=AC；求y关于x的函数关系式，并写出定义域；当厶OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】证明见解析;y【解析】分析：(1)先判断出ZABM=ZDOM,进而判断出OACBAM,即可得出结论；DMME1/T、(2)先判断出BD=DM,进而得出=亍7，进而得出AE=(2-x),再判断出BDAE2即可得出结论;OA_

9、OC_2DMOEODOD(3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)TOD丄BM,AB丄OM,ZODM=ZBAM=90.ZABM+ZM=ZDOM+ZM,ZABM=ZDOM.TZOAC=ZBAM,OC=BM,OACBAM,AC=AM.(2)如图2,过点D作DEIIAB,交OM于点E.TOB=OM,OD丄BM,BD=DM.TDEIAB,DM_ME:.AE=EM.TOM=2,AE=护2-X)TDEIAB,OA_OC_2DMOeOdODDMOAxOD=五，y=!辽.(0ZCOB,ZCOB=ZAOC,:.厶ACOZAOC,A此种情况不存在.(iii)当CO=CA时，则ZCOA=

10、ZCAO=a.:ZCAOZM,ZM=90-a,Aa90-a,Aa45,AZBOA=2a90.vZBOA90,A此种情况不存在.-4-J2即：当OAC为等腰三角形时，x的值为p-点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.4.在OO中，点C是AB上的一个动点(不与点A,B重合)，ZACB=120,点丨是ZABC的内心，CI的延长线交OO于点D,连结AD,BD.【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）9【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分/ACB，可得出角相等，再根据圆周

11、角定理，可证得结论；（2）根据/ACB=120,ZACD=ZBCD，可求出ZBAD的度数，再根据AD=BD，可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明ZBID=ZIBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI】为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB-的三等分点，ABD是等边三角形，可证得ZDAI=ZAID，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：T点I是ZABC的内心CI平分ZACBZACD=ZBCD弧AD=弧

12、BDAD=BD（2）AB=DIZBCD=x120=60弧BD=BDZDAB=ZBCD=60/AD=BDABD是等边三角形，AB=BD，ZABD=ZC/I是厶ABC的内心BI平分ZABCZCBI=ZABI/ZBID=ZC+ZCBI，ZIBD=ZABI+ZABD.ZBID=ZIBD.ID=BD-AB=BDAB=DI(3)解：如图，连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆VZACB=120,弧AD=弧BDZAED=ZACB=x120=60V圆的半径为2，DE是直径DE=4,ZEAD=90.AD=sinZAEDxDE=x4=22VV点E，F是弧ABT勺三等分点，ABD是等边三角形

13、,ZADB=60弧AB的度数为120，.弧AM、弧BF的度数都为为40ZADM=20=ZFABZDA/FAB+ZDAB=80Za|D=180-ZADM-ZDAI=180-20-80=80ZDA/AIDad=|1D=2弧I1I2的长为:180点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透5.如图，已知AB是OO的直径，点C，D在OO上,BC=6cm,AC=8cm,ZBAD=45.点E在OO外，做直线AE,且ZEAC=ZD.求证：直线AE是O0的切线.求图中阴影部分的面积.25兀-50【答案】见解析

14、；(2)4-【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得ZBAE=90。，即可得到AE是OO的切线;(2)连接OD,用扇形ODA的面积减去AAOD的面积即可.详解：证明：(1)TAB是OO的直径，ZACB=90,即上BAC+ZABC=90,TZEAC=ZADC,ZADC=ZABC,ZEAC=ZABCZBAC+ZEAC=90,即ZBAE=90直线AE是OO的切线；(2)连接ODTBC=6AC=8AB=；62+82=10OA=5又TOD=OAZADO=ZBAD=45ZAOD=90S=S-S阴影扇形ODAAAOD901=nx5x5-x5x5360225n50AE点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切

15、线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用6.如图，已知AB是OO的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA,交BC的延长线于点E,使得/DAC=ZB.求证：DA是O0切线；求证：CED-ACD；1若OA=1,sinD=3，求AE的长.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】分析：(1)由圆周角定理和已知条件求出AD丄AB即可证明DA是O0切线；由/DAC=ADCE,ZD=ZD可知DEC-DCA；由题意可知A0=1,0D=3,DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE的长，于

16、是可求得AE的长.详解：(1)TAB为O0的直径,ZACB=90,.ZCAB+ZB=90.TZDAC=ZB,ZCAB+ZDAC=90,AADAB.TOA是OO半径，ADA为OO的切线；(2)TOB=OC,AZOCB=ZB.TZDCE=ZOCB,AZDCE=ZB.TZDAC=ZB,AZDAC=ZDCE.TZD=ZD,ACED-ACD；(3)在RtAAOD中，OA=1,1sinD=3,OAAOD=3,ACD=OD-OC=2.sinDTAD=OD2-OA2=2.2.又TCED-ACD,AD_CDCDDECD2dedAAE=AD-DE=2迈-、辽=迈.点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股

17、定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得DEC-DCA是解题的关键.7.如图，在AABC中，ZBAC_90。，AB_AC_巨,AD丄BC，垂足为D，过A,D的oo分别与AB,AC交于点E,F，连接EF,DE,DF.求证：AADE=ACDF；当BC与OO相切时，求OO的面积.兀2【答案】见解析；(2).4【解析】分析：(1)由等腰直角三角形的性质知AD二CD、Z1=ZC=45,由ZEAF=90知EF是OO的直径，据此知Z2+Z4=Z3+Z4=90，得Z2=Z3,利用“ASA证明即可得；(2)当BC与OO相切时，AD是直径，根据ZC=45、AC二迈可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案.详解：(1

18、)如图，AB=AC，ZBAC=90,二ZC=45.又TAD丄BC,AB二AC，.Z1=-ZBAC=45，BD=CD，ZADC=90.2又:ZBAC=90，BD=CD，二AD=CD.又：ZEAF=90，EF是OO的直径，二ZEDF=90，二Z2+Z4=90.又TZ3+Z4=90，Z2=Z3.在ADE和厶CDF中.Z1=ZC.AD=CD，ADECDF(ASA).Z2=Z3(2)当BC与OO相切时，AD是直径.在RtAADC中，ZC=45，AC二迈，sinZC=ADAC1AD二ACsinZC=1，.OO的半径为-,兀2.OO的面积为4点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形

19、的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点.8.如图1，O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点BC不重合)，/ABC=30，过点P作PD丄OP交OO于点D.(1)如图2,当PD/AB时，求PD的长；（2）如图3,当DC=AC时，延长AB至点E,使BE=2AB，连接DE.求证：DE是OO的切线;求PC的长.【答案】（1）2j6；（2）见解析，3打-3.【解析】分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）首先得出OBD是等边三角形，进而得出ZODE=ZOFB=90。，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，

20、进而得出答案.详解：G）如图2，连接OD，.OP丄PD，PD/AB，:,ZPOB=90，vOO的直径AB=12，OB=OD=6，在RtPOB中，ZABC=30，OP=OBtan30=6x=2；3,3在RtPOD中，PD=七OD2-OP2=筋2（23）2=2；（2）证明：如图3，连接OD，交CB于点F,连接BD,DC=AC,/.ZDBC=ZABC=30。,/.ZABD=60,OB=OD,/.OBD是等边三角形，/.OD丄FB,BE二1AB,2/.OB=BE,:.BF/ED,/.ZODE=ZOFB=90,/.DE是OO的切线；由知，OD丄BC,/.CF=FB=OB-cos30=6x=3p3,2在R

21、tPOD中，OF=DF,/.PF=1DO=3(直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)，/.CP=CF-PF=3朽-3点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD是等边三角形是解题关键.9.如图，已知AB为O0直径，D是BC的中点，DE丄AC交AC的延长线于E,O0的切线交AD的延长线于F.求证：直线DE与O0相切；已知DGAB且DE=4,OO的半径为5,求tanZF的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）连接BC、OD,由D是弧BC的中点，可知：0D丄BC；由OB为O0的直径，可得：BC丄AC,根据DE丄AC,可证0D丄DE,从

22、而可证DE是O0的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tanzF的值.试题解析：解：（1）证明：连接OD,BC，TD是弧BC的中点,.OD垂直平分BC，VAB为OO的直径，ACBC,ODIIAE.VDEAC,OD丄DE,VOD为OO的半径，二DE是OO的切线；（2）解：VD是弧BC的中点，.DCDB，.ZEAD=ZBAD,VDEAC,DGAB且8DE=4,.DE=DG=4,VDO=5,.GO=3,.AG=8,.tanZADG=2,VBF是OO的切线，ZABF=90,DGIBF,.tanZF=tanZADG=2.点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知

23、识，正确得出AG,DG的长是解题关键.10.如图1,已知AB是OO的直径，AC是OO的弦，过O点作OF丄AB交OO于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接CG判断CG与OO的位置关系，并说明理由；求证：2OB2=BCBF；如图2,当ZDCE=2ZF,CE=3,DG=2.5时，求DE的长.图1图？【答案】（1）CG与O0相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE=2【解析】【分析】（1）连接CE,由AB是直径知厶ECF是直角三角形，结合G为EF中点知ZAEO=ZGEC=ZGCE,再由OA=OC知/OCA=ZOAC,根据OF丄AB可得/OCA+ZGCE=90,即卩OC丄G

24、C,据此即可得证；BCAB（2）证厶ABC-FBO得二，结合AB=2BO即可得；BOBFECED3DE（3）证ECD-EGC得二，根据CE=3,DG=2.5知二，解之可EGECDE+2.53得.【详解】解：（1）CG与OO相切，理由如下：如图1,连接CE,FAB是OO的直径，ZACB=ZACF=90,点G是EF的中点，.GF=GE=GC,.ZAEO=ZGEC=ZGCE,OA=OC,.ZOCA=ZOAC,TOFAB,.ZOAC+ZAEO=90,ZOCA+ZGCE=90,即OC丄GC,CG与OO相切；TZAOE=AFCE=90,ZAEO=AFEC,ZOAEZF,又:ZB=ZB,ABC-FBO,BC

25、AB=，即BOAB=BCBF,BOBFTAB=2BO,2OB2=BCBF；由(1)知GC=GE=GF,ZF=ZGCF,ZEGC=2ZF,又TZDCE=2ZF,ZEGCZDCE,TZDEC=ZCEG,ECDEGC,.EC_EDEEC,TCE=3,DG=2.5,3_DEDE+2.5丁,整理，得：DE2+2.5DE-9=0,解得：DE=2或DE=-4.5(舍)，故DE=2.【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点.11.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0,0),点AW6,0)与点B(0,2)，点D在劣弧OA上，连结BD

26、交x轴于点C,且ZCOD=ZCBO.求OM的半径；求证：BD平分ZABO；在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为OM的切线，求此时点E的坐标.y1r【答案】（1）M的半径r=J2；（2）证明见解析;点E的坐标为（斗迈).【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据RtAAOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出ZABD=ZCOD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出ABEHBE，从而得出BH=BA=2j2，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据RtAAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出/CBO的度数，然后根据RtAHB

27、E得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）点A为（V6，0）,点B为（0,J2）oa=76ob=J21_根据RtAAOB的勾股定理可得：AB=2、.；2匚:M的半径r=AB=*2.2(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：ZABD=ZCODVZCOD=ZCBOZABD=ZCBOBD平分ZABO（3）如图，由2=、迁在RtAAOB中,(2)中的角平分线可得ABE竺HBEBH=BA=22OH=2OA=、;3zABO=60ZCBO=30OB在RtAHBE中,BH2、62J6，一HE=.点E的坐标为(，；2)7333考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.12.如图，AB为OO的直

28、径，DA、DC分别切OO于点A,C,且AB=AD.（1）求tanZAOD的值.（2）AC,OD交于点E,连结BE.求ZAEB的度数；连结BD交OO于点H,若BC=1,求CH的长.【答案】(1)2；(2)/AEB=135；CH二【解析】【分析】根据切线的性质可得ZBAD=90,由题意可得AD=2AO,即可求tanZAOD的值；根据切线长定理可得AD=CD,OD平分ZADC，根据等腰三角形的性质可得DO丄AC，AE=CE，根据圆周角定理可求ZACB=90，即可证ZABC=ZCAD，根据AAS”可证ABCDAE，可得AE=BC=EC,可求ZBEC=45，即可求ZAEB的度数；由BC=1，可求AE=E

29、C=1，BE=-J2，根据等腰直角三角形的性质可求ZABE=ZHBC，可证厶ABE-HBC，可求CH的长.【详解】VDA是OO切线，ZBAD=90.ADAB=AD，AB=2AO，AD=2AO，tanZAOD=2；AO；VDA、DC分别切OO于点A，C，.AD=CD，OD平分ZADC，.DO丄AC，AE=CE.AB是直径，二ZACB=90，ZBAC+ZABC=90，且ZBAC+ZCAD=90，ZABC=ZCAD，且AB=AD，ZACB=ZAED=90，.ABCDAE(AAS)，.CB=AE，CE=CB，且ZACB=90，.ZBEC=45=ZEBC，.ZAEB=135.如图，VBC=1，且BC=A

30、E=CE,.AE=EC=BC=1，.BE=迈.VAD=AB,ZBAD=90,.ZABD=45,且ZEBC=45,.ZABE=ZHBC，且ZBAC=ZCHB,BCCH1CH.ABE-HBC,.=，即.=EBAE，即血1(1)当DCAB时，则DC【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.13.如图，AB为O0的直径，且AB=m(m为常数)，点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作OO的切线交BD的延长线于点P,弦CD交AB于点E.DA+DB(2)当点D在AB上

31、移动时，试探究线段DA,DB,DC之间的数量关系；并说明理由；设CD长为十，求厶ADB的面积S与t的函数关系式；DE求的值.当巴=巫时,【答案】(1)迈；(2)DA+DB=迈DC,S=212-m2；OADE_24迈35OA【解析】即可求出【分析】首先证明当DC丄AB时，DC也为圆的直径，且ADB为等腰直角三角形，结果；分别过点A,B作CD的垂线，连接AC,BC，分别构造ADM和厶BDN两个等腰直角三形及NBC和厶MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA,DB,DC之间的数量关系；通过完全平方公式(DA+DB)2=DA2+DB2+2DADB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果；通过设特殊值

32、法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果.【详解】解：(1)如图1,TAB为OO的直径，ZADB=90,C为AB的中点,AC二BC,.ZADC=ZBDC=45,-DC丄AB,.ZDEA=ZDEB=90,.ZDAE=ZDBE=45,.AE=BE,点E与点O重合,DC为OO的直径,.DC=AB,在等腰直角三角形DAB中,DA=DB=AB,2DA+DB=*：2AB=耳2CD,由(1)知AC二BC,过点B作BN丄CD于N,连接AC,BC,.AC=BC,AB为OO的直径,.ZACB=ZBNC=ZCMA=90,.乙NBC+ZBCN=90,ZBCN+ZMCA=90,.ZNBC=

33、ZMCA,在厶NBC和厶MCA中,ZBNC=ZCMA/NBC=ZMCA,BC=CANBC竺MCA(AAS),.CN=AM,由(1)知ZDAE=ZDBE=45,75AM=DA,DN=DB,22.DC=DN+NC=mDB+乜DA=(DB+DA),222詡3A、EC在RtADAB中,即DA+DB=迈DC；PDA2+DB2=AB2=m2,(DA+DB)2=DA2+DB2+2DADB,且由知DA+DB=.2DC=f21,二（；2t）2=m2+2DADB,1TOC o 1-5 h zDADB上2-m2,2111二SDBDADB=t2-m2,22411ADB的面积S与t的函数关系式S=t2-m2-24(3)

34、如图3,过点E作EH丄AD于H,EG丄DB于G,则NE=ME，四边形DHEG为正方形，由（1）知AC二BC,AC=BC,ACB为等腰直角三角形，.AB=；2AC,.PD9迂.AC20设PD=9迈，贝yAC=20,AB=20j2,ZDBA=ZDBA,ZPAB=ZADB,ABD-PBA,ABBDAD20迈BDDB+9迈20J2DB=16J2,.AD=：AB2-DB2=12；2,设NE=ME=x，TSBD=111_2ADBD=2ADNE+-BDME,x12xl6：2=x12、：2x+x16：2x,.x=48迈7.de=、：2he=V2x=弓，又:AO=2AB=10迈,.DE96124迈二X二35【点

35、睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系.314.如图，在ABC中，AC=BC=10,cosC=5,点p是BC边上一动点（不与点A,c重合），以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D，过点D作DE丄CB于点E.（1）当OP与边BC相切时，求OP的半径；（2）联结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的OQ与OP相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.=522-8x+80(oxio)

36、；(3)10-朋3x+2040【答案】（1）;（2）y9【解析】【分析】（1）设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP丄BC,cosC二5，则HPR4、sinC=,sinC=，即可求解;2EBBF4一xqon(2)PDIIBE,则=，即：5_丫x2一8x+80一y，即可求解;PDPFCP10R5y（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB二DB+AD二AG+AD=4J5，即可求解.【详解】(1)设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,3则sinC=5，3连接HP,贝yHP丄BC,cosC=5HPRsinC=4CP10-R5，解得:40R=9；(2

37、)在AABC中，AC=BC=10,3cosC=5，设AP=PD=x,ZA=ZABC邙，过点B作BH丄AC,则BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4；5，贝V：tanZCAB=2BP=$82+(x4匕=、：x28x+80,DA=警x,则BD斗5-芋x,如下图所示,PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA邙,12tanB=2，贝9cosP=,125=4-5xEB=BDcosB=(4j52J5、-x)x5PDIIBE,EBBFPD=PF，即:整理得十y型(0 x10)；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,A两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦，点Q时弧GD的中点，.DG丄EP,AG是圆P的直径,.ZGDA=90,.EPIBD,由(2)知，PDIIBC,.四边形PDBE为平行四边形,AG=EP=BD,AB=DB+AD=AG+AD=45,设圆的半径为r,2rAD=2rcosB=，在厶ADG中，4rDG=,AG=2r,2r5+2r=4l205，解得：2r=*i,4r厂则：DG5=10-25,相交所得的公共弦的长为10-2；5.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中(3),要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.15.如图