湖北省随州市曾都区第一高级中学2025~2026学年高三上册7月开学考数学试卷【附解析】

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数在定义域内是减函数的是（）A. B. C. D.3.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.5.有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（）种．A. B. C. D.6.设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.7.已知，则x､y､z的大小关系为（）A. B. C. D.8.设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为3210.下列说法正确的是（）A.若，则的值域为B.若时，的最大值为C.函数的最小值为D.设为正实数，则的最小值为11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（）A. B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称 D.函数有5个零点三、填空题12.在的展开式中，的系数为______．13.有下列命题：①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数；③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数.其中，真命题有________.（填序号）14.用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_____.四、解答题15.某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.项目非“体育迷”体育迷合计男

女

1055合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法，每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望和方差.附：，其中.0.050.0103.8416.63516.以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.（1）设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差；（2）假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.17.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．18.已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且；（1）求此椭圆方程．（2）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值．（3）求四边形面积的最大值．19.已知函数，.（1）求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若且时，求证.

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解.解答过程：已知集合，，则.故选：A.2.下列函数在定义域内是减函数的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C.解答过程：在上单调递增；在单调递减，单调递减，但，，所以函数不在定义域内单调递减；在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减；函数在内为减函数，，函数在内为增函数，所以函数在定义域内为减函数，故选：C.3.已知，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解.解答过程：设，.所以当时，；当时，；当时，.所以当时，的最小值为3，故选：C4.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由求的范围，然后解不等式可得.解答过程：因为函数的定义域为，即，所以，由解得，所以函数的定义域为.故选：B5.有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（）种．A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得.解答过程：第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种；第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种；第三步，后排7人全排列，有种，由分步乘法计数原理可得共有种.故选：D6.设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.答案：C解析：思路：根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围.解答过程：由于是偶函数，根据偶函数的定义，.因此，不等式可以转化为.函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得或.故选：C.7.已知，则x､y､z的大小关系为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可得出的大小关系.解答过程：，，即，，而，，又，，综上，，故选：D8.设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解.解答过程：因为，，所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数，所以是R上的增函数，不等式，对任意的恒成立，即，，又，，令，，，所以实数的取值范围为.故选：A.方法提示：关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到，利用基本不等式求出最值.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和、，若，则总体方差B.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好C.设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32答案：BC解析：思路：根据分层抽样种样本、总体间的均值和方差的关系判断A，根据残差平方和的意义判断B，利用条件概率公式和相互独立事件的定义判断C，根据方差的性质判断D.解答过程：选项A：设两层的样本容量依次为，若，设总体均值为，则总体方差为，当且仅当时，，故A说法错误；选项B：回归分析中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故B说法正确；选项C：由条件概率公式可知，所以，由相互独立事件的定义可知事件与事件相互独立，C说法正确；选项D：设随机变量的取值为，，…，，随机变量的取值为，，…，，由题意可知，则，所以数据，，…，的标准差为，D说法错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若，则的值域为B.若时，的最大值为C.函数的最小值为D.设为正实数，则的最小值为答案：BCD解析：思路：需要逐一分析每个选项的正确性，涉及函数值域、最值的求解，主要运用基本不等式求解即可.解答过程：对于A，当时，，故选项A错误；对于B，，所以有，故，当且仅当时等号成立；故选项B正确；对于C，，当且仅当时，即时等号成立，故C正确；对于D，因为为正数，令则，且，根据基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，此时，解得.该条件符合为正实数的要求，故最小值可以取到.故D正确.故选：.11.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，.则下列结论正确的是（）A. B.在区间上单调递增C.的图象关于直线对称 D.函数有5个零点答案：AD解析：思路：由题意得到函数的周期，利用周期及函数在上的解析式可求出判断A；利用函数的奇偶性可推出函数在上的单调性，再利用周期性可得在上的单调性判断B；根据的对称性与周期性直接判断C；利用图象判断与函数的交点个数即为的零点个数判断D.解答过程：因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点成中心对称，且①，因为为偶函数，故②，且函数图象关于直线轴对称，由①②可得，，则，所以的一个周期为4.在①中令有，因为时，，所以，，故，所以，，故A正确；由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数，因时，，则是上的增函数，所以是上的减函数，因为8是的周期，所以是上的减函数，故B错误；因为函数图象关于轴轴对称，且关于点成中心对称，周期为4，所以函数图象关于直线轴对称，且关于点成中心对称，故C错误；函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如图：当时，，当时，，当时，，结合图象可知，函数在上存在1个零点，当时，，当时，，由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确.故选：AD.三、填空题12.在的展开式中，的系数为______．答案：120解析：思路：先确定的展开式中含的项为，再确定的展开式中含的项和含的项，系数相加即可得解.解答过程：的展开式中，含的项为，而的展开式中，含的项为，含的项为，因此项的系数为．故答案为：12013.有下列命题：①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数；③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数.其中，真命题有________.（填序号）答案：③解析：思路：由命题真假性的定义逐一判断各个选项即可得解.解答过程：对于①,因为偶数2是素数，故①错误；对于②，因为无理数的立方是有理数2，故②错误；对于③，因为无理数的平方是无理数，故③正确；对于④,设，则除以4的余数是2，设，则除以4的余数是1，故④错误.故答案为：③.14.用符号表示不超过的最大整数（称为的整数部分），如，已知函数有两个不同的零点，若，则实数的取值范围是_____.答案：解析：思路：函数有两个不同的零点即函数与函数的图象有两个不同交点，分类讨论数形结合可得结果.解答过程：函数有两个不同的零点，即函数与函数的图象有两个不同交点，当时，显然有唯一的交点，不适合题意；当时，画出二者图象，显然不符合；当时，画出二者图象；先考虑二者相切时，设切点为，则有，可得，即，即，记，显然此函数为增函数，且，说明，所以当两个函数有两个交点时，一个交点的横坐标必小于1，又，另一个交点的横坐标，根据上面的图象可得，，解得，，故答案为：四、解答题15.某电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.项目非“体育迷”体育迷合计男

女

1055合计

（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法，每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望和方差.附：，其中.0.050.0103.8416.635答案：（1）列联表见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关（2）分布列见解析，，解析：思路：（1）根据频率分布直方图完善列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验判断；（2）由二项分布得到概率、分布列、数学期望和方差.（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下.项目“非体育选”“体育选”合计男301545女451055合计7525100.因为，所以没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取1名“体育迷”的概率为.由题意知，，，，，从而X的分布列如下：X0123P，.16.以“‘智’在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由6道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取3道，若能全部回答正确，则通过预赛.已知选手甲会做其中的4道题.（1）设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差；（2）假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为.若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率.答案：（1）的分布列为123，（2）解析：思路：（1）先确定的可能取值，然后针对不同的取值求出对应的概率，进而可列出的分布列，从而求得期望和方差..（2）根据条件概率和全概率公式可求得他通过预赛的概率.（1）根据题意.；；.所以的分布列为123故随机变量的期望.所以的方差.（2）设事件“选手甲抽到道会做的题目，”，事件“选手甲通过预赛”，则，，，两两互斥，.由（1）知，.又.所以.同理，..由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率.17.如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取，构造三角形中位线可证；（2）借助线面垂直的性质作出线面角直接求解即可.（1）证明：设，连接，因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，得证．（2）取中点，连接、，因为底面，平面，所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以，又，，平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，，所以直线与平面所成的角的正弦值为．18.已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且；（1）求此椭圆方程．（2）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值．（3）求四边形面积的最大值．答案：（1）（2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上，所以，，二式相减得，，所以为定值．（3）解析：思路：（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可.