损伤力学专题知识讲座

1、损伤力学专题知识讲座损伤力学专题知识讲座第1页2022/9/4课程内容绪论（损伤力学基础概念、分类等）一维损伤理论三维各向同性损伤理论损伤力学专题知识讲座第2页2022/9/4课程内容绪论（损伤力学基础概念、分类等）损伤、损伤力学损伤、损伤力学分类损伤力学研究方法一维损伤理论损伤力学专题知识讲座第3页2022/9/4绪论：损伤力学基础概念材料损伤在外载或环境作用下，因为材料细观结构缺点，如微裂纹、微空洞等，引发材料或者结构劣化过程。损伤力学是研究含损伤介质材料性质，以及在变形过程中损伤演化、发展，直至材料或结构破坏力学过程学科。损伤力学专题知识讲座第4页2022/9/4绪论：损伤分类按照材料变

2、形和状态区分（狭义上分类）弹性损伤、塑性损伤、蠕变损伤、疲劳损伤、动态损伤、腐蚀损伤、辐照损伤、剥落损伤等。弹性损伤：弹性材料中应力作用而造成损伤。材料发生损伤后没有显著不可逆变形，又称为弹脆性损伤；塑性损伤：塑性材料中因为应力作用而引发损伤。要产生残余变形。蠕变损伤：材料在蠕变过程中产生损伤，也称为粘塑性损伤。这类损伤大小是时间函数。损伤力学专题知识讲座第5页2022/9/4绪论：损伤分类按照材料变形和状态区分（狭义上分类）疲劳损伤：由应力重复作用而引发，为其循环次数函数，往往又与应力水平、应力幅等相关；动态损伤：在动态载荷如冲击载荷作用下，材料内部会有大量微裂纹形成并扩展。这些微裂纹数目非

3、常多，但普通得不到很大扩展（因为载荷时间非常断，经常是几个微秒）。但当某一截面上充满微裂纹时，断裂就发生了；腐蚀损伤：腐蚀引发材料性能降低、截面积降低等辐照损伤：辐照引发材料性能改变剥落损伤：材料剥落引发有效材料降低损伤力学专题知识讲座第6页2022/9/4绪论：损伤分类按照宏观材料变形特征分类（广义上分类）脆性损伤、韧性损伤和准脆性损伤脆性损伤：材料在变形过程中存在为裂纹萌生与扩展；韧性损伤：材料在变形过程中存在为孔洞萌生、长大、汇合和发展等；准脆性损伤：介于以上二者之间。损伤力学专题知识讲座第7页2022/9/4绪论：损伤力学分类按研究损伤方法分类连续损伤力学细观损伤力学基于细观唯象损伤理

4、论按表征损伤方式分类能量损伤理论几何损伤理论损伤力学专题知识讲座第8页2022/9/4绪论：损伤力学分类连续损伤力学（Continuum Damage Mechanics, CDM） 研究思想：将含有离散结构损伤材料模拟为连续介质模型，引入损伤变量（场变量），描述从材料内部损伤产生、发展到出现宏观裂纹过程，唯像地导出材料损伤本构方程，形成损伤力学初、边值问题，然后采取连续介质力学方法求解。特点：重视损伤对材料宏观性质影响，以及材料和结构损伤演化过程和规律，忽略损伤演化细观机理和力学过程。损伤力学专题知识讲座第9页2022/9/4绪论：损伤力学分类连续损伤力学（Continuum Damage

5、Mechanics, CDM） 研究过程：选取物体内某点代表性体积单元定义损伤变量建立损伤演化方程建立损伤本构方程依据初始条件、边界条件求解，判断各点损伤状态、建立破坏准则损伤力学专题知识讲座第10页2022/9/4绪论：损伤力学分类细观损伤力学（Meso-Damage Mechanics, MDM） 研究思想：依据材料细观成份单独力学行为，如基体、夹杂、微裂纹、微孔洞和剪切带等，采取某种均匀化方法，将非均质细观组织性能转化为材料宏观性能，建立分析计算理论。特点：重视组分缺点单独力学行为，在组分缺点种类多或者缺点数量大情形下，演化过程复杂，计算量大。损伤力学专题知识讲座第11页2022/9/4

6、绪论：损伤力学分类细观损伤力学（Meso-Damage Mechanics, MDM） 研究过程：选取物体内某点代表性体积单元，需满足尺度双重性应用连续介质力学及热力学来分析细观中损伤演化、相关变形等经过细观尺度上平均化方法将细观结果反应到宏观本构、损伤演化、断裂等行为上损伤力学专题知识讲座第12页2022/9/4绪论：损伤力学分类基于细观唯象损伤力学（Meso-Continuum Damage Mechanics, MCDM） 研究思想：结合连续损伤力学和细观损伤力学主要思想建立损伤材料宏细微观结合本构理论，把宏观力学行为和细观损伤演化联络起来，即表征宏观损伤参量能对应细观损伤演化与累积。特

7、点：在唯象理论框架内包含细观损伤演化信息，因为宏微观结合复杂性，只适合用于含单一或者特定缺点研究对象。损伤力学专题知识讲座第13页2022/9/4绪论：损伤力学分类基于细观唯象损伤力学（Meso-Continuum Damage Mechanics, MCDM） 研究过程：前面二者结合损伤力学专题知识讲座第14页2022/9/4绪论：损伤力学分类按表征损伤方式分类能量损伤理论由勒梅特(J. Lemaitre)等创建，以连续介质力学和热力学为基础，将损伤视为能量转换过程，是不可逆由自由能和耗散势导出损伤本构关系和损伤演化方程几何损伤理论由村上澄男(Sumio Murakami)等创建，认为损伤是

8、因为材料内部微缺点引发损伤大小和演化与材料中微缺点尺寸、形状、密度及其分布相关损伤力学专题知识讲座第15页2022/9/4绪论：损伤力学研究过程损伤力学本构方程和演化方程(1)唯象理论(2)细观理论(3)二者结合损伤变量：定义、测量初/边值问题变分提法应用：破坏预估、寿命预计损伤力学专题知识讲座第16页2022/9/4绪论：损伤力学研究过程研究过程标准上分为4步选择表征损伤适当状态变量：损伤变量确定损伤变量演化方程和本构关系形成损伤力学初/边值问题或变分问题数学提法损伤演化方程损伤本构关系连续介质力学方程条件求解应力应变场和损伤场，依据损伤临界条件预估材料和构件破坏程度以及使用寿命损伤力学专题

9、知识讲座第17页2022/9/4绪论：损伤变量对损伤变量了解损伤是一个能量耗散不可逆过程，损伤变量是用宏观变量代表内部因损伤或其它原因而发生改变，叫做内部状态变量，简称内变量，能够利用宏观不可逆过程热力学来处理。因为各种物理或化学改变，如受载、承受高温、受到辐射或腐蚀、氧化而造成各种物理或化学改变，如结构改变、相改变、成份改变都属于损伤内容。只不过在宏观角度，大家更多注意是材料结构改变（微裂纹、微孔洞等）在宏观上表现以及由此造成材料力学性能劣化。损伤力学专题知识讲座第18页2022/9/4绪论：损伤变量损伤变量选取准则当前，损伤变量选择还含有一定随意性，在选择时要注意不但含有明确物理或力学意义

10、，还要尽可能简单，便于分析计算和测量。依据不一样损伤机制，应选择不一样损伤变量。假如不考虑损伤各向异性，得到变量是一个标量，即在各个方向损伤变量数值都相同，没有方向性。假如考虑到损伤各向异性，损伤变量能够是一个矢量或二阶张量，甚至在有研究中用过四阶张量损伤变量。详细损伤变量形式要依据所研究问题类型及其对应损伤机制去决定。损伤力学专题知识讲座第19页2022/9/42.1 一维损伤状态描述2.2 损伤对材料强度影响2.3 一维蠕变损伤理论2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.5 一维脆塑性损伤模型2.6 一维疲劳损伤理论2.7 一维纤维束模型第二章 一维损伤力学理论损伤力学专题知识讲座第20页

11、2022/9/4在外部原因（包含力、温度、辐射等）作用下，材料内部将形成大量微观缺点（如微裂纹和微孔洞），这些微缺点形成、扩展（或胀大）、汇合将造成材料逐步劣化直至破坏。从本质上讲，这些微缺点是离散，但作为一个简单近似，在连续损伤力学中，全部微缺点被连续化，它们对材料影响用一个或几个连续内部场变量来表示，这种变量称为损伤变量。2.1 一维损伤状态描述损伤力学专题知识讲座第21页2022/9/42.1 一维损伤状态描述这里介绍4种早期损伤变量引入方式。全部损伤变量引入方式，都是基于简单拉伸模型：图 2.1损伤力学专题知识讲座第22页2022/9/42.1 一维损伤状态描述第一个定义（Kachan

12、ov损伤变量）1958年，Kachanov提出用连续度概念来描述材料逐步衰变。从而，材料中复杂、离散衰坏耗散过程得以用一个简单连续变量来模拟。这么处理，即使一定程度上牺牲了材料行为模拟准确性，但却换来了计算简便，更为主要是，Kachanov损伤理论推进了损伤力学建立和发展，今后众多损伤模型形成都不一样程度上借鉴了Kachanov损伤模型思想。损伤力学专题知识讲座第23页2022/9/4考虑一均匀受拉直杆（图2.1），认为材料劣化主要机制是因为微缺点造成有效承载面积减小。设其初始横截面面积为A0。作用载荷时，不考虑损伤时横截面面积为 A，考虑损伤后有效承载面积减小为 ，则连续度（即损伤变量） 物

13、理意义为有效承载面积与无损状态横截面面积之比，即图 2.12.1 一维损伤状态描述（2.1.1） 损伤力学专题知识讲座第24页2022/9/4图 2.1（2.1.2） 说明： 连续度 是一个无量纲标量场变量 =1对应于完全没有缺点理想材料状态 =0对应于完全破坏没有任何承载能力材料状态。将外加荷载 F 与有效承载面积 之比定义为有效应力 ，即2.1 一维损伤状态描述损伤力学专题知识讲座第25页2022/9/4连续度是单调减小，假设 当到达某一临界值 c 时，材料发生断裂，于是材料破坏条件表示为 （2.1.3） Kachonov取 c=0 ，但试验表明对于大个别金属材料 0.2c0.8。2.1

14、一维损伤状态描述损伤力学专题知识讲座第26页2022/9/4显然，第二种定义（Rabotnov损伤变量）1963年，著名力学家Rabotnov一样在研究金属蠕变本构方程问题时提议用损伤因子（2.1.4） 2.1 一维损伤状态描述 =0 完全无损状态 =1 完全丧失承载能力状态损伤力学专题知识讲座第27页2022/9/4考虑到因而（2.1.5） 2.1 一维损伤状态描述同时，有效应力为（2.1.6） 其中真实应力（Cauchy stress） 为损伤力学专题知识讲座第28页2022/9/4第三种定义在Kachanov连续度概念 基础上，有学者这么引入损伤变量（2.1.7） （2.1.8） 对应地

15、，有效应力为2.1 一维损伤状态描述损伤力学专题知识讲座第29页2022/9/4Broberg将损伤变量定义为 （2.1.9） Broberg损伤变量B 2点性质：性质1：当 时，有证实：第四种定义（Broberg损伤变量）2.1 一维损伤状态描述对应地有效应力为 （2.1.10） 损伤力学专题知识讲座第30页2022/9/4性质2：损伤可叠加性设材料在劣化过程中，有效横截面面积逐步减小，分别为A0，A1，A2， An，则每步面积减小对应损伤i（=ln(Ai-1/Ai)）和整体从一开始到最终损伤B（=ln(A0/An)）相关系证实：2.1 一维损伤状态描述损伤力学专题知识讲座第31页2022/

16、9/4对于不可压材料，有效应力与名义应力0(=F/A0)、真实应变(=lnL/L0)、以及Broberg损伤变量B相关系式2.1 一维损伤状态描述推导：损伤力学专题知识讲座第32页2022/9/4这一节分以下三种情形下来讨论材料强度问题：2.2.1 无损伤且表面能密度有限情形2.2.2 有损伤但表面能密度为无穷大情形2.2.3 无损伤且表面能密度有限情形2.2 损伤对材料强度影响损伤力学专题知识讲座第33页2022/9/42.2.1 无损伤且表面能密度有限情形2.2 损伤对材料强度影响设材料为无损伤线弹性晶体材料，其理论拉伸断裂强度为其中E：弹性模量：表面能密度b：晶格常数（2.2.1） 损伤

17、力学专题知识讲座第34页2022/9/42.2.1 无损伤且表面能密度有限情形2.2 损伤对材料强度影响简单推导：在断裂前断裂面附近区域应变能密度为假设断裂面两侧深度为2b区域释放应变能来满足生成断裂面所需要能量，则有4bA即损伤力学专题知识讲座第35页2022/9/42.2.2 有损伤但表面能密度为无穷大情形2.2 损伤对材料强度影响对应于损伤，有效应力为设应变和损伤变量与有效应力普通函数关系为简单起见，都取线性关系，即（2.2.2） （2.2.3） 其中D 是损伤模量。显然，对于无损伤材料，D =。（2.2.4） 这时真实应力损伤力学专题知识讲座第36页2022/9/42.2.2 有损伤但

18、表面能密度为无穷大情形2.2 损伤对材料强度影响当真实应力开始衰减时，咱们认为材料发生断裂，即有这么带入前面真实应力 表示式，有（2.2.5） （2.2.6） 从而能够得到（2.2.7） 因而，损伤模量是材料断裂强度4倍！损伤力学专题知识讲座第37页2022/9/4由 可求得断裂应变和断裂应力2.2.2 有损伤但表面能密度为无穷大情形2.2 损伤对材料强度影响若采取Broberg损伤变量定义，则有对应地，真实应力 为（2.2.8） （2.2.9） （2.2.10） 损伤力学专题知识讲座第38页2022/9/4由 可求得断裂应变和断裂应力2.2.2 有损伤但表面能密度为无穷大情形2.2 损伤对材

19、料强度影响若采取Broberg损伤变量定义，同时采取真实应变（对数应变），即考虑不可压材料，AL=A0L0，名义应力0为（2.2.11） （2.2.12） （2.2.13） 损伤力学专题知识讲座第39页2022/9/42.2.3 无损伤且表面能密度有限情形2.2 损伤对材料强度影响这种情况下，断裂时应变和损伤分别是（2.2.14） 为断裂提供应变能为从而有（2.2.15） （2.2.16） 联立方程（2.2.14）第二式和（2.2.16），可求 f 和 f。损伤力学专题知识讲座第40页2022/9/4两个基础不一样类型蠕变断裂概念：延性断裂和脆性断裂Kachanov损伤模型最初是在分析金属材料

20、受单向拉伸蠕变脆性断裂问题时提出，这一模型很快得到大家重视，并得以发展和应用。对于高温下金属，在载荷较大和较小情况下，其断裂行为是不一样。当载荷较大时，试件伸长，横截面面积减小，从而引发应力单调增加，直至材料发生延性断裂，对应细观机制为金属晶粒中微孔洞长大引发穿晶断裂。当载荷较小时，试件伸长很小，横截面面积基础上保持常数，但材料内部晶界上依然产生微裂纹和微孔洞，其尺寸随时间长大，最终汇合成宏观裂纹，造成材料晶间脆性断裂。2.3 一维蠕变损伤理论损伤力学专题知识讲座第41页2022/9/4忽略弹性变形，在考虑损伤情况下蠕变假设遵照Norton律，即 设试件在加载之前初始横截面面积为 A0，加载后

21、外观横截面面积减小为 A，有效承载面积为 。对应地，名义应力0，Cauchy应力（真实应力），有效应力 ；分别定义为（2.3.1） （2.3.2） 2.3 一维蠕变损伤理论其中 B 和 n 为材料常数。损伤力学专题知识讲座第42页2022/9/4式中 C 和 v 为材料常数。注：对于不可压缩材料直杆2.3 一维蠕变损伤理论在研究蠕变损伤时，还必须建立损伤演化方程，即建立损伤演化律与哪些力学量相关联关系。对于一些简单情形，能够假设损伤演化率方程也含有指数函数形式，即（2.3.3） （2.3.4） 设名义应力 0 保持不变，则由材料体积不可压缩条件AL=A0L0，有效应力可表示为 损伤力学专题知识

22、讲座第43页2022/9/4下面分三种情形讨论材料蠕变断裂问题：2.3.1 无损伤有变形延性断裂2.3.2 有损伤无变形脆性断裂2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂2.3 一维蠕变损伤理论损伤力学专题知识讲座第44页2022/9/4对此式积分，并利用初始条件 ，可得 不考虑损伤情况下，有 ，由(2.3.4)可得延性蠕变断裂条件为 ，于是得到延性蠕变断裂时间为 2.3.1 无损伤有变形延性断裂2.3 一维蠕变损伤理论（2.3.4） 这么应变演化律可写为（2.3.5） （2.3.6） 这个表示式最初是由Hoff于1953年导出。 （2.3.7） 损伤力学专题知识讲座第45页2022/9/4不考虑变形

23、情况下，有 ，由(2.3.4)可得这么损伤演化方程写为 对此式积分，并利用初始条件 ，得设损伤脆性断裂条件为 ，于是得脆性断裂时间为这个表示式是Kachanov于1958年导出。2.3 一维蠕变损伤理论2.3.2 有损伤无变形脆性断裂（2.3.8） （2.3.9） （2.3.10） （2.3.11） 损伤力学专题知识讲座第46页2022/9/4 采取以下形式损伤定义(Broberg定义)式中 An 为假想有效承载面积,其定义为采取对数应变和损伤时，对于不可压材料，有效应力有表示式2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂类似于对数应变定义，即（2.3.12） （2.3.15）

24、（2.3.14） （2.3.13） 损伤力学专题知识讲座第47页2022/9/4 最终可得关于有效应力非线性微分方程2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂从而（2.3.16） 损伤力学专题知识讲座第48页2022/9/4标准上，任意给定加载历史0(t)，即可由上式确定有效应力改变过程。 图：Heaviside型加载历史 及有效应力 。 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂前面得到关于有效应力控制方程（2.3.16） 比如，对于如图所表示Heaviside型加载历史，损伤力学专题知识讲座第49页2022/9/4由此得到 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3

25、 同时考虑损伤和变形断裂前面得到关于有效应力控制方程（2.3.17） 在0-1段：此式表明在瞬态加载过程中，既没有蠕变变形，也没有损伤发展。因而损伤力学专题知识讲座第50页2022/9/4从而 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂前面得到关于有效应力控制方程在1-2段：损伤力学专题知识讲座第51页2022/9/4 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂积分得则断裂时间tR，在同时考虑蠕变变形和损伤情形下，由 推得：（2.3.18） （2.3.19） 损伤力学专题知识讲座第52页2022/9/4不考虑损伤时， 有 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时

26、考虑损伤和变形断裂讨论：3种情况不考虑变形时， 有（2.3.21） （2.3.20） 对比发觉：(2.3.20)结果和前面“无损伤有变形延性断裂”分析结果相同，而（2.3.21）与前面“有损伤无变形脆性断裂”分析结果（Kachanov结果， ）不一样，为何？原因很简单：损伤变量定义不一样！损伤力学专题知识讲座第53页2022/9/4既考虑损伤又考虑变形时： 2.3 一维蠕变损伤理论2.3.3 同时考虑损伤和变形断裂当B0，C0时，能够得到断裂时间数值积分结果，如图所表示。由此图能够看出，应力较大时，能够采取忽略损伤公式；应力较小时，能够采取忽略蠕变变形公式；在中等应力水平时，应同时考虑损伤和蠕

27、变变形。数值积分结果损伤力学专题知识讲座第54页2022/9/4 2.4.1 蠕变断裂两个阶段2.4.2 纯弯梁蠕变断裂2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析损伤力学专题知识讲座第55页2022/9/4在蠕变损伤情况下，假如结构中应力场是均匀，损伤也均匀发展，当损伤到达临界值时，结构发生瞬态断裂。2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段第一阶段称为断裂孕育阶段，所经历时间为0tt1，结构内诸点损伤因子均小于其断裂临界值。在t1时刻，结构中某一点(或某一区域)损伤到达临界值而发生局部断裂。假如应力场不均匀，则结构断裂经历两个阶段。第二阶段称为断裂扩展阶段，t1t，局部断裂中

28、弥散微裂纹汇合成宏观裂纹，宏观裂纹在结构中扩展直至结构完全破坏。 损伤力学专题知识讲座第56页2022/9/4材料内一点 P 损伤演化方程采取2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段积分并利用(0)=0，得从而（2.4.1） （2.4.2） （2.4.3） 损伤力学专题知识讲座第57页2022/9/4在断裂扩展阶段，结构中存在两种区域(如图)V1和V2和一个界面：2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段 一个主要概念：断裂前缘V1：是损伤还未到达临界值区域，c，依然能够承受载荷V2：是损伤已经到达临界值区域，c，已完全丧失承载能力断裂前缘：指是两

29、个区域交界面，其是可动，即是V2所扫过区域，普通用 来表示。在 上，恒有c，此处取 c=1。若确定了断裂前缘位置 u 随时间改变历程，则构件承受能力也就确定下来。V1V2(t)(c)(c)u(t)损伤力学专题知识讲座第58页2022/9/4另外，依据方程(2.4.3),在断裂前缘上，由=c=1，可得2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段断裂前缘与时间和距离u(t)相关，即在断裂前缘上有V1V2(t)(c)(c)u(t)（2.4.4） 这么对时间取导数，得（2.4.5） （2.4.6） 损伤力学专题知识讲座第59页2022/9/4可得u(t)控制方程为2.4 一维蠕变损

30、伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段下面确定断裂前缘轨迹方程 u(t)。V1V2(t)(c)(c)u(t)由方程（2.4.7） 损伤力学专题知识讲座第60页2022/9/4可得 和 ，即2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段由方程损伤力学专题知识讲座第61页2022/9/4当蠕变变形应力均匀时，即(t)=0=constant，则有2.4 一维蠕变损伤结构承载能力分析2.4.1 蠕变断裂两个阶段这么就有（2.4.8） （2.4.9） 所以说明，对于均匀加载蠕变变形，一旦=c在一点处满足，结构将发生瞬态断裂！（2.4.10） 损伤力学专题知识讲座第62页2022

31、/9/4 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂考虑矩形截面纯弯梁蠕变断裂问题！假设小变形情况，在断裂孕育阶段，即0tt1，材料内每一点损伤因子均小于临界值c，整个梁横截面含有抵抗弯曲变形能力。设材料蠕变率为（2.4.11） 损伤力学专题知识讲座第63页2022/9/4式中b和2h0是横截面宽度和高度，如图。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂在平截面变形假设前提下，可推得横截面上正应力分布为其中 =1/n，M 是弯矩，(y0,z0)是截面坐标， 为截面广义惯性矩，即（2.4.12） （2.4.13） b2h0z0y0损伤力学专题知识讲座第6

32、4页2022/9/4由纯弯曲平截面变形假设有 。其对时间取导数，可得 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂应力分布表示式（2.4.12）推导。从而则弯矩为损伤力学专题知识讲座第65页2022/9/4 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂定义截面广义贯性矩为这么就有推导完成！损伤力学专题知识讲座第66页2022/9/4 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂显然，最大拉应力发生在y=h0处(不妨设上表面受拉)，即依据前面任意一点P处损伤表示式，即（2.4.14） 那么最大拉应力处损伤到达临界值 =c=1所需时间t1能够确

33、定为（2.4.15） 即损伤力学专题知识讲座第67页2022/9/4在t=t1时，梁最上表层区域到达最大拉应力，最下表层区域到达最大压应力。对于损伤怎样向纯弯梁内部扩展，咱们普通假设受压区域（正应力为负）是不会有损伤发展。在弯曲正应力为正区域，微孔洞或者微裂纹因为拉应力作用而扩展，也就是，在该区域损伤产生而且不停扩展。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂损伤力学专题知识讲座第68页2022/9/4在t=t1时，梁最上表层区域开始出现断裂区，然后断裂区向内部扩展。设当tt1时，裂纹扩展区厚度为2，如图所表示。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变

34、断裂（2.4.16） 对应地，承载中心由h0处下移到h0-处。此时应力分布为bz0y0(y)z2hx0 x2断裂区断裂前缘MM损伤力学专题知识讲座第69页2022/9/4伴随 t 增加，断裂区域不停向下扩展，这么 h 逐步减小。因而 Im 一样不停减小。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.17） 依据如上损伤表示式来判断断裂前缘是否抵达 y，需要计算含有应力历史信息积分，即 。设在时间 t，损伤区域前缘抵达初始坐标为y0点，这么有任意一点，它损伤状态与应力历史相关系式损伤力学专题知识讲座第70页2022/9/4这么对于时间范围 t1t，时刻 t 断裂前缘到

35、时刻 中性轴距离是 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.18） 这么在时刻 t 断裂前缘抵达 2h(t)，因而有h()h()2h(t) 时刻断裂前缘时刻 t 断裂前缘在时刻 时应力是（2.4.19） （2.4.20） 损伤力学专题知识讲座第71页2022/9/4若假设 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.21） 其中则方程(2.4.20)简化为（2.4.22） （2.4.23） 损伤力学专题知识讲座第72页2022/9/4这么关于h(t)方程（2.4.22）化为 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断

36、裂（2.4.24） 整理上式两边对时间求导数，有（2.4.25） 损伤力学专题知识讲座第73页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂这是关于h(t)最终控制微分方程。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析上方程两边对时间继续求导数，有（2.4.26） 损伤力学专题知识讲座第74页2022/9/4高度h(t)方程（2.4.26）初始条件为 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.27） 由上述2个方程，可确定h(t)对时间一阶导数初值，即而且，t=t1，0t1，因而方程（2.4.25）化为（2.4.28） （2.4.29） 损伤力学专题知识讲座第75页2022

37、/9/4利用初始条件（2.4.27）和（2.2.29），可确定高度h(t)和时间t之间关系为(2n-10情形) 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.30） 当h0是，梁完全破坏，因而所需要时间是（2.4.31） 问题：微分方程(2.4.26)加初值条件(2.4.27,29)怎样求得解(2.4.30)?损伤力学专题知识讲座第76页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析控制方程：初值条件：求解过程：令对时间求导数：损伤力学专题知识讲座第77页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析

38、原来初始条件则原来关于 h(t) 方程化为 y(x) 方程 ：化为 y(x) 边值条件：损伤力学专题知识讲座第78页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析又可写为关于 y(x) 方程 ：两边从 1 到 x 积分，得损伤力学专题知识讲座第79页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析又可写为关于 y(x) 方程 ：两边从 1 到 x 积分，得带入整理，得损伤力学专题知识讲座第80页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析可求得讨论：分3种情况， 2n-10； 2n-1=0； 2n

39、-10当 h0 时，梁完全断裂，设对应时间是t，则有（2.4.31） 损伤力学专题知识讲座第81页2022/9/4 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.31） n比较大：t/t11，因而梁最外层（最上层）到达损伤临界值时，梁很快就会因为损伤扩展而失去承载能力；n比较小：譬如n=3， t/t1 1.4，因而即使梁最外层已到达损伤临界值，还有一定时间来才完全丧失承载能力。损伤力学专题知识讲座第82页2022/9/4因为弯曲正应力对于任意载荷作用下梁弯曲都近似成立，因而由以上推导可知，对于任意载荷作用下梁弯曲问题，设梁最大弯矩为 ，则梁断裂孕育时间 和横截面完全断

40、裂丧失承载能力时间 分别为 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂（2.4.32） （2.4.33） 损伤力学专题知识讲座第83页2022/9/4对于普通弯曲变形，损伤前缘不再与梁中线保持平行。三点弯曲梁蠕变损伤示意图以下，损伤仅仅局限在一个狭小锲形区域内。 2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析2.4.2 纯弯梁蠕变断裂0.108Px/l0.1080.10.2损伤断裂区损伤力学专题知识讲座第84页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析则前面控制方程情形2：2n-1=0，即 n=1/2化为（2.4.32） 解为从而一样当 h0 时，

41、梁完全断裂，对应时间 t ，不符合实际情况。损伤力学专题知识讲座第85页2022/9/42.4.2 纯弯梁蠕变断裂2.4 一维蠕变损伤结构承载能量分析由解情形3：2n-1M01，说明考虑损伤后（应变软化），纯弯曲梁极限承载弯矩比弹性最大弯矩仍有所提升！损伤力学专题知识讲座第112页2022/9/4 2.5 一维脆塑性损伤应用实例：用双线性模型分析纯弯曲混泥土梁性能纯弯曲梁极限弯矩数值计算结果=u/c2345678=b/c1.441.802.112.402.692.963.21b/c0.560.600.630.650.660.670.68M/M01.17991.29001.36941.43131

42、.42801.52481.5618Dmax0.61110.66670.70140.72920.75560.77320.7901由计算结果知，极限弯矩随= u/c增加而增加，说明应力应变曲线下降段不一样时对极限弯矩有影响，因而欲正确预估混泥土结构梁承载能力必须选择适当值。通常，混泥土杆件单拉时断裂应变110-4，而纯弯曲完全破坏时表面应变(1.2-1.4)10-4。因而拉伸断裂应变描述是材料性质，而弯曲极限应变表示结构和加载特征！损伤力学专题知识讲座第113页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论这一节介绍疲劳力学问题中损伤理论。2.6.1 疲劳损伤线性累积律2.6.2 疲劳损伤非线性累积律

43、2.6.3 低周疲劳损伤2.6.4 疲劳损伤测量损伤力学专题知识讲座第114页2022/9/4 在交变载荷作用下，一个结构构件中会有大量微裂纹形核，而且微裂纹伴随载荷循环次数增加而逐步扩展，最终形成宏观裂纹并造成材料破坏，这种破坏称之为疲劳断裂破坏。疲劳断裂破坏特点疲劳属低应力循环延时断裂，其断裂应力水平往往比静应力下材料强度极限低，甚至比屈服极限低；不产生显著塑性变形，展现突然脆断；对材料缺点十分敏感；疲劳破坏能清楚显示裂纹萌生和扩展，断裂。 2.6 一维疲劳损伤理论损伤力学专题知识讲座第115页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳宏观断口特征断口拥有三个形貌不一样区域：疲劳源、疲

44、劳区、瞬断区。损伤力学专题知识讲座第116页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳宏观断口特征疲劳源裂纹萌生地；裂纹处于亚稳扩展过程中；因为应力交变，断面摩擦而光亮；随应力状态及其大小不一样，可有一个或几个疲劳源。疲劳区（贝纹区）断面比较光滑，并分布有贝纹线；循环应力低，材料韧性好，疲劳区大，贝纹线细、显著；有时在疲劳区后部，还可看到沿扩展方向疲劳台阶（高应力作用）。瞬断区普通在疲劳源对侧；脆性材料为结晶状断口；韧性材料有放射状纹理；边缘为剪切唇。损伤力学专题知识讲座第117页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳分类按应力状态：弯曲疲劳、扭转疲劳、拉压疲劳、复合疲劳等。按循环

45、周期：高周疲劳，因断裂应力低，变形主要是弹性变形，所以也叫低应力疲劳；低周疲劳，因为断裂应力水平高，往往伴有塑性变形，故称为高应力疲劳（或应变疲劳）。按破坏原因：机械疲劳、腐蚀疲劳、热疲劳。疲劳寿命在结构破坏之前载荷循环次数，普通用 NF 来表示。高周疲劳： NF 5104低周疲劳： NF 5104损伤力学专题知识讲座第118页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳损伤机理疲劳过程：裂纹萌生和裂纹扩展（亚稳扩展、失稳扩展、断裂）。(注：也分为裂纹成核、微观裂纹扩展、宏观裂纹扩展和瞬态断裂四个阶段。）裂纹萌生：常将0.050.1mm裂纹定为疲劳裂纹核；引发裂纹萌生原因：应力集中、不均匀塑

46、性变形；方式为：表面滑移带开裂；晶界或其它界面开裂。裂纹扩展：第一阶段：沿主滑移系，以纯剪切方式向内扩展；扩展速率仅为0.1m数量级。第二阶段：晶界妨碍作用，使扩展方向逐步垂直于主应力方向；扩展速率1.0m数量级；能够穿晶扩展，形成疲劳条纹。损伤力学专题知识讲座第119页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳损伤力学特征参数maxtminmed2循环期间最大应力值循环期间最小应力值平均应力，也用med表示应力幅，应力循环对称系数 损伤力学专题知识讲座第120页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论疲劳曲线、疲劳极限、循环基数疲劳曲线：表示应力 与应力循环次数 N 之间关系曲线疲劳极

47、限：对任一给定应力循环特征 r，当应力循环 N0 次后，材料不发生疲劳破坏最大应力 r循环基数：对应于疲劳极限 r 循环次数 N0损伤力学专题知识讲座第121页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论蠕变损伤理论中，损伤变量是时间 t 函数。在疲劳损伤理论中，损伤则经常表示为载荷、循环次数等函数。普通情况下，疲劳损伤演化方程可表示为以下形式（2.6.1）其中： 为应力幅， 为平均应力，N 为当前载荷作用下循环次数。在一系列载荷作用下，伴随循环载次数增加，损伤逐步积累。疲劳损伤理论重点是探讨损伤累积规律，即确定函数 f 形式。本节主要介绍两种损伤累积律：线性累积律和非线性累积律。损伤力学专题知

48、识讲座第122页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论（2.6.2）2.6.1 疲劳损伤线性累积律 设构件在载荷 F 作用下疲劳寿命是 NF。1945年Miner依据材料吸收净功原理提出，当在同一载荷作用下循环次数为 N 时，疲劳线性累积损伤数学表示式为若设材料依次承受应力幅分别为 1 ，2 ，对应循环次数分别为 N1 ，N2 ， 。设材料在屡次载荷作用下损伤发展量分别为1 ，2 ， ，其中每个损伤发展量 i 单独与Ni / NFi相联络，其中 NFi 为单独作用时疲劳寿命。则，整个载荷作用下材料损伤发展量 ，依据Miner损伤线性累积律，有损伤力学专题知识讲座第123页2022/9/4

49、2.6 一维疲劳损伤理论（2.6.3）2.6.1 疲劳损伤线性累积律 若取 c=1，则疲劳损伤破坏准则为（2.6.4）说明：线性累积律可采取线性和非线性 2 种形式。线性形式：非线性形式：（2.6.5）（2.6.6）损伤力学专题知识讲座第124页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论（2.6.7）2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 损伤演化不但仅依赖于N/NF ，而且与载荷循环参数（ 如 等）相关，与当前积累损伤 也相关。即损伤变量与表示载荷参数在循环加载疲劳损伤累积过程中不是相互独立，因而损伤演化通常采取非线性累积方法。考虑应力幅影响一个损伤演化方程在每个循环周期中：其中B， 是与温度相关

50、材料参数。不过其中B与平均应力还相关，即（2.6.8）损伤力学专题知识讲座第125页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 考虑应力幅影响一个损伤演化方程积分上式，利用 N=NF ，=1，可得（2.6.9）其中（2.6.10）损伤力学专题知识讲座第126页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 简单推导：损伤力学专题知识讲座第127页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 考虑应力幅影响一个损伤演化方程观察此模型，发觉即ln(1-N/NF)ln(1-)1lnNFln1因而可由试验确定参数

51、：+ 和 B。损伤力学专题知识讲座第128页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 Chaboche损伤演化方程其中，M 是与温度相关材料参数，且 。Chaboche提出一个更为复杂损伤演化方程（2.6.11）类似地，积分可得到损伤随载荷循环次数改变关系（2.6.12）损伤力学专题知识讲座第129页2022/9/4 2.6 一维疲劳损伤理论2.6.2 疲劳损伤非线性累积律 Chaboche损伤演化方程推导：损伤力学专题知识讲座第130页2022/9/42.6.3 低周疲劳损伤2.6 一维疲劳损伤理论在低周疲劳损伤情况下，塑性变形通常对损伤有显著影响。每一载荷

52、循环中损伤可表示为塑性应变p 幂指数函数形式，即（2.6.13）应用N=0, =0 和N=NF, =1，积分可得到考虑塑性损伤疲劳寿命 Coffin-Manson公式（2.6.14）（2.6.15）从而可求出塑性应变幅 p 为损伤力学专题知识讲座第131页2022/9/42.6.3 低周疲劳损伤2.6 一维疲劳损伤理论类似地,积分有（2.6.16）从而可求出弹性应变幅 e 为（2.6.17）当循环弹性应变幅e 较小，即应力水平较低情形下，损伤方程可表示为应力幅函数，即（2.6.18）损伤力学专题知识讲座第132页2022/9/42.6.3 低周疲劳损伤2.6 一维疲劳损伤理论前面式子中， 都是

53、与温度相关材料参数。试验表明，对于很多材料，这些参数能够用试验中能够测量到参数来等效，这么对全应变幅有表示式（2.6.19）式中，u 为材料强度极限应力，Du 表示材料延伸率参数，其与颈缩时横截面面积减缩 AR 关系为（2.6.20）这么e 和 p 相加，得到全应变幅 为（2.6.21）损伤力学专题知识讲座第133页2022/9/42.6.4 疲劳损伤测量2.6 一维疲劳损伤理论应变等效假设考虑损伤材料变形行为能够只经过有效应力来表达。换言之，损伤材料本构关系能够采取无损时形式，只要将其中应力 用对应有效应力 替换即可。例子：损伤表达在把无损时弹性模量 E 减小到有损时 。损伤力学专题知识讲座

54、第134页2022/9/42.6.4 疲劳损伤测量2.6 一维疲劳损伤理论控制应力加载过程：应力幅恒定，测量应变幅改变这么，对于疲劳问题，假设应力幅 和应变幅 关系为（2.6.22）对于一样应力幅 ，设不考虑损伤时引发应变幅为 ，即有（2.6.23）从而有（2.6.24）说明：在控制应力加载疲劳试验中，能够依据应变幅改变来确定损伤改变。损伤力学专题知识讲座第135页2022/9/42.6.4 疲劳损伤测量2.6 一维疲劳损伤理论控制应变加载过程：应变幅恒定，测量应力幅改变对于疲劳问题，一样假设应力幅 和应变幅 关系为（2.6.25）在损伤出现前，应力幅 ，一样有（2.6.26）从而有（2.6.

55、27）说明：在控制应变加载疲劳试验中，能够依据应力幅改变来确定损伤改变。损伤力学专题知识讲座第136页2022/9/42.7 一维纤维束模型2.7.1 连续化纤维束模型2.7.2 蠕变断裂纤维束模型损伤力学专题知识讲座第137页2022/9/42.7 一维纤维束模型序言首先由Peirce于1926年提出。在先后发展一系列纤维束模型中，基于Weibull强度统计理论，认为固体材料强度很大程度上决定于纤维局部缺点，而不是整体平均行为（如刚度）。这种理论模型比较简单粗糙，但对于定性了解材料力学行为和破坏机理很有帮助。纤维束模型认为，材料是由相互平行纤维组成。在考虑材料损伤时，纤维平行程度、纤维间和每

56、根纤维内部缺点都会影响材料力学行为。损伤力学专题知识讲座第138页2022/9/42.7 一维纤维束模型序言纤维束模型：一系列相互平行、相同长度纤维组成；纤维间彼此独立（即没有侧向力作用）；纤维束整体力学性质（强度、刚度）取决于每根纤维性质；一根纤维断裂，对应于连续介质中微裂纹形成断裂，可能也不可能引发纤维束整体破坏。F损伤力学专题知识讲座第139页2022/9/4由数目庞大纤维组成纤维束，能够连续化地处理为一个纤维板。任意一根纤维在纤维板中位置能够用一个连续量 x 来表示（0 x1)。2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型F1xdxF设纤维束横截面面积为A0，则一根宽度为dx纤维

57、对应横截面面积为dxA0。设其对应弹性模量为E(x)。因为纤维间没有相互挤压，从而可重新排列而不影响纤维束整体力学性质，所以可设E(x)为单调递增函数。损伤力学专题知识讲座第140页2022/9/4设纤维断裂应力 R(x) 也是沿 x 单调改变函数。为简单起见，设 E(x) 和 R(x) 均为线性函数，可表示为 2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型1xdxF（2.7.1）（2.7.2）其中， 分别为纤维平均弹性模量和平均断裂应力。系数、范围是 0 1， 0 1 。 易验证：对于、，（2.7.3）（2.7.4）损伤力学专题知识讲座第141页2022/9/4对于全部纤维材料，设其是理

58、想脆性和突然损伤断裂，即有2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型（2.7.5）设在外载作用下，全部纤维伸长应变都是 。全部纤维将保持弹性，若对全部 x，有（2.7.6）RR能够证实，若 01。则 x=0 处纤维最先断裂。反过来，则 x=1 处纤维最先断裂损伤力学专题知识讲座第142页2022/9/4证实：2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型所以，01时， (x)/R(x) 在x=0处取最大值，因而x=0处纤维最先断裂。反过来，则 x=1 处纤维最先断裂损伤力学专题知识讲座第143页2022/9/4推导：设01，x=0 处纤维最先断裂时对应载荷记为F0，其为2.7.1

59、连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型（2.7.7）这么 x 处应力为由 可求得x=0处断裂时应变为从而这时横截面上载荷为损伤力学专题知识讲座第144页2022/9/4载荷继续增加时，越来越多纤维发生断裂，断裂前缘 x=c 沿 x 正向扩展。断裂前缘条件是2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型（2.7.8）对应横截面上载荷为（2.7.9）F(c) 形状取决于 和 相对大小，下面讨论。损伤力学专题知识讲座第145页2022/9/4情形1：2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型（2.7.10）当 F 到达 F0 时，纤维束开始从 x=0 处断裂； F 增加，意味着纤维束总承载能力还能够提升。当 时，载荷到达最大值 。cm 位置可由以下方程根来确定损伤力学专题知识讲座第146页2022/9/4情形2：2.7.1 连续化纤维束模型2.7 一维纤维束模型当 F 到达 F0 时，纤维束几乎在瞬间发生完全断裂，即纤维束承受最大载荷为 F0 。情