圆锥曲线中的最值问题

1、 # 圆锥曲线中的最值问题例1、x2已知椭圆5y2+=1,A(4,0),B(2,2)是椭圆内的两点P是椭圆上任点，求(：1)1、回到定义求41pA1+1pB1的最小值;(2)求PAI+IPB的最小值和最大值。略解：(1)A为椭圆的右焦点。作Q丄右准线于点Q贝y由椭圆IPAI41PA1+1PBPQ1+1PB1问题转化为在椭圆上找一点使其到点B和右准线的距离之和最17小，很明显，点?应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。(2)由椭圆的第一定义，设为椭圆的左焦点，贝Al=2a-IPCIIPAI+IPBI=2a-IPCI+IPBI=10+(IP-BIPICI)根据三角形中，两边之差小于第三边，

2、运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-IBCIWIPBI-IPCIWIBCI.当P至IP位置时，IPBI-IPCI=IBCIIPAI+IPB有最大值，最大值为10+IBCI=10+2股0；当P至IP位置时，IPBI-IPCI=-IBCJIPAI+IPB有最小值，最小值为1O-IBCI0-2小0。回到定义的最值解法同样在双曲线抛、物线中有类似应用另。外，(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的。2、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线V=4x2上求一点，使它到直线=4x-5的距离最短。解

3、：设抛物线上的点(t,4t2)，点P到直绚x-y-5=0勺距离d=4t2一4t+5V174(t-2)2+4V17当t=2时，d.=善，故所求点为2，1)。2mmJ172 44 2例3、已知一曲线y2二2x,(1)设点A的坐标为(3，)，求曲线上距鳳最近的点P的坐标及相应的距离IIAI；(2)设点A的坐标为a,0)aWR,求曲线上点到虽距离最小值1,并写出d=f(a)的函数表达式。解：(1)设M(x,y)是曲线上任意一点，则2x(x0)|MA|22211(x-)2+y2(X-)2+2x(x+_)2+333342|MA|2min9所求P点的坐标是0,0),相应的距离是Ap3(2)设M(x,y)是曲

4、线上任意一点，同理有MA2=(xa)2+y2=(xa)2+2xx-(a-1)2+(2a-1)x0综上所述,有d=;2a-1(当a1时)|a|(当a1时)3、运用函数的性质cosAb4例4、在ABC中，ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c且c=10,=一=三，P为AABCcosBa3内切圆上动点，求点到顶点A,B,C的距离的平方和最大值与最小值。cosAb解：由=一cosBasinBsinAnsinAcosA一cosBsinA0nsin2Asin2Bb4=；丰12A兀一2B.ABC为R由C=10a3b4且一知a=6b=8a3设ABC内切圆半径为,如图建立直角坐标系则R/ABC的内切圆M的方程为

5、：(x一2)2+(y一2)24设圆M上动点P(x,y)(0 x4),则P点到顶点A,B,C的距离的平方和为|PA|2+|PB|2+|PC|2(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+y2+x23x2+3y216x12y+1003(x2)2+(y2)24x+76=88-4xT点P在内切圆M上，0 x4，于思=88-0=880.=88-16=72maxmin例5、直线m：y=kx+l和双曲线x2-y=l的左支交于A,B两点，直线L过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求L在y轴上的截距)的取值范围。略解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，将y=kx+1代入x2-y2=1得(1-

6、k)x2-2kx-2=0由题意，厶0且x1+x20解之得1kp2,且m(:2，Fk2)，又由卩(-2,0)，M，Q(0,b)共线，1-k212k2+k+2，即b=22k2+k+2下面可利用函数(k)=-2k+k+2在(1,72)上是减函数，可得2。例6、已知P是椭畤+y2=1在第一象限内的点A(2,0),B(。，1)，O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。略解：设P(2cos9,sin9),(0v95/2点P到直线AB:x+2y=2的距离|2cos0+2sin021l2sm（e+-）2|2、辽22丽2誇所求面积的最大值为20又x0得x5，当x=5时，4=0由解得1151yiy2=4,yi+

7、y2)2=yi2+y22+2yiy2=2X一2=2X4一2=2可得yi+y2f2由可衛1,打，由即得相应的i,X2。故AB的中点M距y轴最短距离为0=4，且相应的中点坐标为|，）或（4，一）。yy1法二：y2xy2xy2y2xx/.kt2-11221212xx2y12.32二1+(2y)2(yy)2n9二(1+4y2)(yy)212122X二Xl+X2二yi2+y222y二叮y2由-得2x-4y2一2yiy2+淨x-4y2-(yi-y2)2TOC o 1-5 h z9L5 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 代入得4X=吋+4y221=5X4当且

8、仅当厂;一4y2+1y22y-时等式成立。 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 1+4y2225xmin4M(4埒)说明：此法即为下面的基本不等式法。5、利用基本不等式x2点。求：例8、已知椭吃+y2-1，F1，F2为其两焦点,P为椭圆上任(1)IPlIPgl的最大值；(2)卩耳|2+1卩耳2的最小值。m+n)2略解：设pF；|=m,IPFl=n则m+n=2a=4IPF：IIPI2|=mrtC=4.k2丿IPF；I2+IPI2I2=(IPl1I+IPI2I)2-2IPI1IIPI2I42-24=8 # 参考练习：x2y21、过椭圆E：+一=1（a

9、b0上的动点P向圆O：x2+y=b2引两条切线A,PB,切点分别为a2b2b3A,B,直线AB与x轴、y轴分别交于M,N两点。求ZMON的面积的最小值。一）a2、设椭圆的中心在原点长轴在x轴上，离心率为二一，已知点P（0,3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆方程并求椭圆上到点的距离等于万的点的坐标。#+y2=1,所求点为土吕-2）3、p为椭圆石+y2=1上的一个动点它与长轴端点不重合，迈，点F1和F2分别是双曲线3、p为椭圆石+y2=1上的一个动点它与长轴端点不重合，迈，点F1和F2分别是双曲线 02-y2=1的左右焦点由ZFiPE求tg巾的表达式;(用a及描述P位置的一个变量来表示)当a固定时求巾的最小值少当a在区间运八打上变化时，求弹勺取值范围。TOC o 1-5 h z2da2+1y丄二一忙,9二兀一arctg(a2-