人教版高中数学必修四平面向量导学案

1、人教版高中数学必修四平面向量导教学设计人教版高中数学必修四平面向量导教学设计PAGEPAGE14人教版高中数学必修四平面向量导教学设计PAGE第二章平面向量向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图形式作出认真解析，以求尽快掌握.一、向量a、b共线例1如图，已知共线向量a、b，求作ab.(1)a、b同向；(2)a、b反向，且|a|b|；(3)a、b反向，且|a|b|.作法在与a平行的一致条直线上作出三个向量OAa，ABb，OBab，详细作法是：当a与b目标相同时，ab与a、b的目标相同，长度为|a|b|；当a与b目标相反时，ab与a、b中长度长的向量目标相同，长

2、度为|a|b|.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a笔挺的目标略加平移，此后辩解标上a，b，ab.作图以下：例2如图，已知共线向量a、b，求作ab.(1)a、b同向，且|a|b|；(2)a、b同向，且|a|b|；(3)a、b反向.作法在平面上任取一点O，作OAa，OBb，则BAab.事实上ab可看作是a(b)，依据这个理解和ab的作图形式不难作出ab，作图以下：二、向量a、b不共线假如向量不共线，能够应用三角形规定或平行四边形规定作图.例3如图，已知向量a、b.求作：(1)ab；(2)ab.作法1(应用三角形规定)(1)正常状况下，应在两已知向量所在的地点以外任取一点O.第一步：作OA

3、a，形式是将一个三角板的直角边与a重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到不停角边过点O，不停角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA|a|，并使OA与a同向.第二步：同第一步形式作出.(此处最易错的是把ABb，必定要保证目标相同且长度相当AB作成与b的目标相反.)第三步：作OB，即连结OB，在B处打上箭头，OB即为ab.作图以下：(2)第一步：在平面上a，b地点以外任取一点O；第二步：依据前面形式过O作OAa，OBb；第三步：连结AB，在A处加上箭头，向量BA即为ab.作图以下：谈论向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点

4、，箭头指被减”.作法2(应用平行四边形规定)在平面上任取一点A，以点A为起点作ABa，ADb，以AB，AD为邻边作?ABCD，则ACab，DBab.作图以下：谈论向量的平行四边形规定和三角规定在实质上是相同的，但在解决某些问题时平行四边形规定有必定的优异性，因此两种规定都应娴熟掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“目标相同，长度相当”，最禁忌的是“作法不一”，比方作法中要求的是作ABb，可实质上作的是ABb.只需作图的过程与作法的每一步相对应，必定能作出正确的图形.向量线性运算的应用平面向量的线性运算包含加法、减法以及数乘运算，在解题中拥有遍布的应用.在对向量实施线性运算时，要

5、正确利用对应的运算规定、运算律，注理想量的大小和目标两个方面.一、化简例1化简以下各式：(1)(2ABCD)(AC2BD)；1(2)243(2a8b)6(4a2b).解(1)(2ABCD)(AC2BD)2ABCDAC2BD2ABDCCA2BD2(ABBD)(DCCA)2ADDAAD.1(2)243(2a8b)6(4a2b)1124(6a24b24a12b)24(18a36b)34a2b.谈论向量的基本运算主要有两个门路：一是鉴于“形”，经过作出向量，运用平行四边形法则或三角形规定进行化简；二是鉴于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察能否有这两种

6、形式出现，同时注理想量加法例定、减法规定的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算形式进行，将向量a，b，c等看作正常字母符号，此中向量数乘之间的和差运算，相当于归并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量.二、求参数例2如图，已知ABC和点M满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m_.解析如图，因为MAMBMC0，即MA(MBMC)，即AMMBMC，延伸AM，交BC于D点，因此D是BC边的中点，因此AM2MD，3因此ADAM，因此ABAC2AD3AM，2因此m3.答案3谈论求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数看作已知条件，依据向量的加法、减法及数乘运算

7、将问题中所波及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，比较系数求参数的值.三、表示向量2例3如以以下列图，在ABC中，AD3AB，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于点N，设ABa，ACb，用向量a，b表示AE、BC、DE、DN、AM.2解因为DEBC，ADAB，322因此AEACb，BCACABba，3322(ba)，由ADEABC，得DEBC33又M是ABC底边BC的中点，DEBC，11(ba)，因此DNDE23111AMABBMaBCa(ba)(ab).222谈论用已知向量表示其他一些向量，应尽量将所求向量转变到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理

8、、性质，如三角形中位线性质，相像三角形对应边成比率等，再利用向量加法、减法例定，即可用已知向量表示所求向量.平面向量的基本定理应用三技巧技巧一结构某素来量在一致基底下的两种不一样样的表达形式，用“若e1，e2为基底，且ax1x2来求解.x1e1y1e2x2e1y2e2，则用y1y2例1在OAB的边OA，OB上辩解取点M，N，使|OM|OA|13，|ON|OB|14，设线段AN与BM交于点P，记OAa，OBb，用a，b表示向量OP.解B，P，M共线，存在常数s，使BPsPM，1s则OP1sOB1sOM.1s即OPOBOA1s31ss131sa1sb.同理，存在常数t，使APtPN，1t则OP1t

9、a41tb.1sa，b不共线，1t31s，1t1s41t9s232解之得8，OP11a11b.t3谈论这里采纳OA，OB看作基底，结构OP在此基底下的两种不一样样的表达形式，再依据相同基底的系数对应相当获得实数方程组，最后进行求解.技巧二结构两个共线向量在一致基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，ax11y12，ee21y22，且ab，则x12x210”来求解.bxeeyy11例2如图，在OAB中，OCOA，ODOB，AD与BC交于点M，设OAa，OBb.42(1)用a、b表示OM；(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OEpOA，OF131.qOB，求证：

10、7p7q(1)解设OMmanb，则1AM(m1)anb，ADab.2点A、M、D共线，AM与AD共线，1(m1)(1)n0，m2n1.2(m11而CMOMOC)anb，CBab.44C、M、B共线，CM与CB共线，1n(m1)0.4mn1.44联立可得m1，n3，7713OMab.7713(2)证明EM(p)ab，EFpaqb，77EF与EM共线，3(7p)q7(p)0.13131.qpqp，即7p777q谈论这里多次运用结构一组共线向量的表达形式，再依据共线向量基底的系数关系成立方程组求解.技巧三将题目中的已知条件转产生11220的形式(e1，e2不共线)，依据120来ee求解.例3如图，已

11、知P是ABC内一点，且满足条件0，设Q为CP的延伸线AP2BP3CP与AB的交点，令CPp，试用向量p表示CQ.解APAQQP，BPBQQP，(AQQP)2(BQQP)3CP0，AQ3QP2BQ3CP0，又A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，AQBQ，CPQP，BQ3QP2BQ3QP0，(2)BQ(33)QP0.20，而BQ，QP为不共线向量，330.2，1.CPQPPQ.故CQCPPQ2CP2p.谈论1e1这里采纳BQ，QP两个不共线的向量看作基底，运用化归与转变思想，最后产生e0的形式来求解.22直线的目标向量和法向量的应用直线的目标向量和法向量是办理直线问题的有力工具.因为直线和平面

12、向量的学习分别在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下边对直线的方向向量和法向量的灵巧应用联合例子加以解析.一、直线的目标向量1.界说设P1，P2是直线l：AxByC0上的不一样样两点，那么向量P1P2以及与它平行的非零向量都称为直线l的目标向量，若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的坐标为(x2x1，y2y1)；特别当直线l与x轴不笔挺时，即x2x10，直线的斜率k存在时，那么(1，k)是它的一个目标向量；当直线l与x轴平行时，目标向量可为(1，0)；而不论斜率存在与否，其目标向量均可表示为(B，A).2.应用(1)求直线方程例1已知三角形三极

13、点坐标辩解为A(2，3)，B(7，9)，C(18，9)，求AB边上的中线、高线方程以及C的内角均分线方程.解求中线方程因为CB(25，0)，CA(16，12)，那么AB边上的中线CD的目标向量为CBCA(41，12)，12CD的斜率为12也就是1，41，因此直线41，12那么直线CD的方程为y941(x18)，整理得12x41y1530.求高线方程因为k934，AB723因此AB的目标向量为4，1，3而AB边上的高CEAB，则直线CE的目标向量为31，4，那么高线CE的方程为3y9(x18)，4整理得3x4y180.求C的内角均分线方程43CBCA(1，0)，5，5，|CB|CA|则C的内角均

14、分线的目标向量为931CBCA5，5，也就是1，3，|CB|CA|所之内角均分线CF的方程为y91(x18)，3整理得x3y90.谈论正常地，经过点(x0，y0)，与直线AxByC0平行的直线方程是A(xx0)B(yy0)0；与直线AxByC0笔挺的直线方程是B(xx0)A(yy0)0.(2)求直线夹角例2已知l1：x3y150与l2：y3mx60的夹角为，求m的值.4解直线l1的目标向量为v1(3，1)，直线l2的目标向量为v2(1，3m)，l1与l2的夹角为，4|cosv1，v2|v1v2|3m3|2，2|v1|v2|9119m2化简得18m29m20.解得m2或m1.36谈论正常地，设直

15、线l1：yk1xb1，其目标向量为v1(1，k1)，直线l2：yk2xb2，其目标向量为v2(1，k2)，当1k1k20时，两直线的夹角为90；当1k1k20时，设夹角为，则cos|v1v2|1k1k2|2；若设直线l1：A1xB1yC10，其目标向量为(|v1|v2|21k11k2B1，A1)，直线l2：A2xB2yC20，其目标向量为(B2，A2)，那么cos|A1A2B1B2|2222.A1B1A2B2二、直线的法向量1.界说直线AxByC0的法向量：假如向量n与直线l笔挺，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的目标向量为v，则nv0，从而关于直线AxByC0而言，其目标向量为v(B，

16、A)，则因为nv0，于是可取n(A，B).2.应用(1)判断直线的地点关系例3已知直线l1：axy2a0与直线l2：(2a1)xaya0.(1)若l1l2，务实数a的值；(2)若l1l2，务实数a的值.解直线l1，l2的法向量辩解为n1(a，1)，n2(2a1，a)，(1)若l1l2，则n1n2a(2a1)(1)a0，解得a0或a1.a0或1时，l1l2.(2)若l1l2，则n1n2，a2(2a1)(1)0.解得a12，且a12.a2a1a12时，l1l2.谈论正常地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的法向量辩解为n1(A1，B1)，n2(A2，B2)，当n1n2

17、，即A1A2B1B20时，l1l2，反之亦然；当n1n2，即A1B2A2B10时，l1l2或l1与l2重合.(2)求点到直线的间隔例4已知点M(x0，y0)为直线l：AxByC0外一点.|Ax0By0C|求证：点M(x0，y0)到直线l的间隔dA2B2.证明设P(x1，y1)是直线AxByC0上任一点，n是直线l的一个法向量，没关系取n(A，B).则M(x0，y0在n目标上投影的长度，)到直线l：AxByC0的间隔d等于向量PM如以以下列图.d|PM|cosPM，n|PMn|n|x0 x1，y0y1A，B|22AB|Ax0 x1By0y1|22AB|Ax0By0Ax1By1|A2B2.点P(x

18、1，y1)在直线l上，Ax1By1C0，Ax1By1C，d|Ax0By0C|A2B2.谈论同理应用直线的法向量能够证明平行直线l1：AxByC10与直线l2：AxByC20(A2B2|C2C1|0且C1C222.)的间隔为dAB证明过程以下：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)辩解为直线l1：AxByC10，直线l2：AxByC20上随意两点，取直线l1，l2的一个法向量x1，y2y1)在向量n上的投影的长n(A，B)，则P1P2(x2度，就是两平行线l1、l2的间隔.|P1P2，n|d|P1P2|cosP1P2，n|n|x2x1，y2y1A，B|A2B2|Ax2x1By2y1|A2B2|

19、Ax2By2Ax1By1|C2C1|2B22B2.AA向量法证明三点共线平面向量既拥有数目特点，又拥有图形特点，学习向量的应用，能够启迪同学们重新的视角去解析、解决问题，有利于培育改革本事.下边就一道习题的应用研究为例进行说明.典例已知OBOAOC，此中1.求证：A、B、C三点共线.思路经过向量共线(如ABkAC)得三点共线.证明如图，由1得1，则OBOAOC(1)OAOC.OBOA(OCOA)，ABAC，A、B、C三点共线.思虑1.本题提示了证明三点共线的又素来量形式，点O拥有灵巧性；2.反之也成立(证明略)：若A、B、C三点共线，则存在独一实数对、，满足OBOAOC，且1.提示了三点共线的

20、又一个性质；113.特别地，时，OB(OAOC)，点B为AC的中点，提示了OAC中线OB的一个22向量公式，应用遍布.应用举例例1如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN1BD.利用3向量法证明：M、N、C三点共线.思路解析选择点B，只须证明BNBMBC，且1.证明N在BD上，且1111由已知BDBABC，又点BNBD，得BNBD(BABC)33331BABC.3又点M是AB的中点，121BM2BA，即BA2BM.BN3BM3BC.而211.M、N、C三点共线.33谈论例2证明过程比证明如图，平行四边形MNmMC简洁.11OACB中，BDBC，OD与AB订交于E，求证

21、：BEBA.34思路解析能够借助向量知识，只需证明：1、，且1，使BEBA，而BABOBC，又O、D、E三点共线，存在独一实数对4BEBOBD，从而获得BE与BA的关系.证明由已知条件，B、E、A三点共线，可设BABOBC，又BEkBA，则BEkBOkBC，又O、E、D三点共线，则存在独一实数对、，使BEBOBD，且1.1又BD3BC，1，BEBO3BC1k，k4，依据得1解得1，k3，41，34.11BEBA，BEBA.44谈论借助向量知识，丰饶运用三点共线的向量性质解决问题，奇妙、简洁.平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特其他点，它们的向量表达形式拥有很多重要的性质，

22、在近来几年高考试题中，总会出现一些奇异离奇的问题，不仅观察了向量等知识点，还培育了考生解析问题、解决问题的本事.现就“四心”作以下介绍：1.中心三角形三条中线的交点叫中心，它到三角形极点间隔与该点到对边中心间隔之比为21.在向量表达形式中，设点G是ABC所在平面内的一点，则当点G是ABC的中心时，有GA1GBGC0或PG3(PAPBPC)(此中P为平面随意一点).反之，若GAGBGC0，则点G是ABC的中心.在向量的坐标表示中，若G，A，B，C辩解是三角形的中心和三个极点，且坐标辩解为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则有xx1x2x3，y3y1y2y33.例已知ABC内一点O满足关系0，试求