高中数学必修二 第八章 8.1 第2课时

1、第2课时圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体的结构特征知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1圆柱的定义、图形及表示2圆锥的定义、图形及表示3圆台的定义、图形及表示知识点二球的结构特征知识点三简单组合体1概念：由eq o(,sup4(01)简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体和球等几何结构特征的物体组成的2基本形式：一种是由简单几何体eq o(,sup4(02)拼接而成的简单组合体；另一种是由简单几何体eq o(,sup4(03)截去或eq o(,sup4(04)挖去一部分而成的简单组合体1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥的补体

2、思想3处理组合体问题常采用分割思想4空间几何体的轴截面(1)圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形的一条边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，经过旋转而成的曲面所围成的几何体(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题时，一般要画出轴截面(3)画出轴截面图形，将立体几何的空间问题转化为平面问题来计算，这种把有关立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想方法是我们解决立体几何问题的重要思想方法1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)到定点的距离等于定长的点的集合是球()(2)用平面去截圆锥

3、、圆柱和圆台，得到的截面都是圆()(3)用平面截球，无论怎么截，截面都是圆面()答案(1)(2)(3)2做一做(1)圆锥的母线有()A1条 B2条C3条 D无数条(2)图中的几何体叫做_，O叫它的_，OA叫它的_，AB叫它的_(3)图的组合体是由_和_构成(4)图中的几何体有_个面答案(1)D(2)球球心半径直径(3)圆柱圆锥(4)3题型一 旋转体的概念例1下列命题： (1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；(4)用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0 B1

4、C2 D3解析根据圆柱、圆锥、圆台的概念不难做出判断(1)以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转才可以得到圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；(4)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和一个圆台故4个均不正确答案A条件探究若本例中(2)改为“以直角梯形的各边为轴旋转”，得到的几何体是由哪些简单几何体组成的？解以垂直于底边的腰为轴旋转得到圆台；以较长的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱加上一个圆锥；以较短的底为轴旋转得到的几何体为一圆柱挖去一个同底圆锥；以斜腰为轴旋转得到的几何体为圆锥加上一个圆台挖去一个小圆锥平面图形旋转形成的几何

5、体的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体一个有30角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180得到什么几何体？旋转360又得到什么几何体？解如图(1)和(2)所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图(3)所示，绕其斜边所在直线旋转一周围成的几何体是两个同底相对的圆锥如图(4)所示，绕其斜边上的高所在直线旋转180围成的几何体是两个半

6、圆锥，旋转360围成的几何体是一个圆锥题型二 简单组合体的结构特征例2描述下图几何体的结构特征解图(1)中的几何体是由一个四棱柱和一个四棱锥拼接而成的组合体图(2)中的几何体是在一个圆台中挖去一个圆锥后得到的组合体图(3)中的几何体是在一个圆柱中挖去一个三棱柱后得到的组合体图(4)中的几何体是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体简单组合体的两种构成方法(1)简单组合体的构成一般有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成(2)识别或运用几何体的结构特征，要从几何体的概念入手，掌握画图或识图的方法，并善于运用身边的特殊几何体进行判断、比较、分析观察下列几何

7、体，并分析它们是由哪些基本几何体组成的解图(1)是由一个圆柱中挖去一个圆台形成的图(2)是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成的.题型三 旋转体的计算问题例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长解(1)如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半径O1A2 cm，下底面半径OB5 cm，又腰长AB12 cm，所以圆台的高为AMeq r(122522)3eq r(15)(cm)(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO可得eq f(l12,l)eq f(2,5)，所以l20(cm)

8、故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.旋转体中的计算问题及截面性质(1)圆柱、圆锥和圆台中的计算问题，一要结合它们的形成过程，分辨清轴、母线及底面半径与旋转前平面图形量的关系；二要切实体现轴截面的作用解题时，可把轴截面从旋转体中分离出来，以平面图形的计算解决立体问题(2)球中的计算应注意一个重要的直角三角形，设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2d2r2.(3)用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解圆台的两底面面

9、积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比解将圆台还原为圆锥，如图所示O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2h，O2O1h1，O1Oh2，设上底面的面积为S1，半径为r1，则S1req oal(2,1)1，下底面的面积为S2，半径为r2，则S2req oal(2,2)49，截面的面积为Seq f(S1S2,2)25，半径为r3，则Sreq oal(2,3).由三角形相似得eq blcrc (avs4alco1(f(hh1,h)f(r(f(491,2),r(1)，,f(hh1h2,h)f(r(49),r(

10、1)，)所以eq blcrc (avs4alco1(h14h，,h22h，)即h1h221.题型四 圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用例4如图所示，已知圆柱的高为80 cm，底面半径为10 cm，轴截面上有P，Q两点，且PA40 cm，B1Q30 cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点间最短距离都要转化到侧面展开图中，“化曲为直”是求几何体表面上两点间最短距离的好方法国庆节期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语，经测量得圆锥的母线长为3米，高为2eq r(2)米，如图所示为了美观需要，在底面

11、圆周上找一点M拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处M，则彩绸最短要多少米？解把圆锥的侧面沿过点M的母线剪开，并铺平得扇形MOM1，如图所示这样把空间问题转化为平面问题，易知彩绸的最短长度即为线段MM1的长度，由母线长为3米，高为2eq r(2)米，得底面半径为1米，所以扇形的圆心角为120，所以MM13eq r(3)米，即彩绸最短要3eq r(3)米.1下列几何体中不是旋转体的是()答案D解析正方体不可能是旋转体2一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360形成的曲面所围成的几何体是()A球体B圆柱C圆台D两个共底面的圆锥的组合体答案D解析过等腰三角形的顶点向底边作垂线，得到两个有一条公共边的全等直角三角形，而直角三角形以一条直角边为轴旋转得到的几何体是圆锥故选D.3下列几何体中是旋转体的是()圆柱；六棱锥；正方体；球体；四面体A和 B C和 D和答案D解析根据旋转体的概念知正确4指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的解分割图形，使它的每一部分都是简单几何体图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体5圆台的两底面圆的半径分别为2 cm