数理金融初步教学资料

1、数理金融初步精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢 (1章)6从 52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是A的条件概率是多少？解：设第一次取出 A 的事件为 A1 ，第二次取出不同花色 A 的事件为 A2,则 p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)因为 p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13, 所以 p(A1A2)=1/1697若 A,B 独立，证明下列事件也独立： a)A和 Bc b)Ac 和 Bc证明： a)因为 p(B)+p(Bc)=1,p(B/A)+P(Bc/A)=1, 所以 p(BcA)=p(A)xp

2、(Bc/A)=p(A)1-p(B/A)=p(A)-p(A)p(B)=p(A)1-p(B)=p(A)p(Bc), 所以 A 和 Bc 独立 b)p(Ac)p(Bc)=p(Bc)p(Ac/Bc)=p(Bc)1-p(A/Bc)=p(Bc)- p(Bc)p(A/Bc)=p(Bc)-p(AcBc)=p(Bc)-p(A)P(Bc)=p(Bc)1-p(A)=p(Bc)p(Ac), 所以 Ac 和 Bc 独立。9 四辆公共汽车载着 152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘 39,33,46,34 位学生。如果从 152位学生中任意选取一位，记 X 为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆 公共汽车

3、的司机也随机选取一位，令 Y 为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。你认为 E(X)和 E(Y)哪一个大？ b)求出 E(X) 和 E(Y) 解：a)E(X)大。b)由题意知 X可取 39,33,46,34 。Y可取 39,33,46,34。所以 X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152, 同理 p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以 E(X) =39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/

4、152=38.697 E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810 两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相 等，且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。解：设 x为比赛的总局数，则 x可取 2,3，则 p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x2=4,9 , p(x2=4)=1/2,p(x2=9)=1/2,E(x2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以 var(x)=E(x2)-E(x)2=13/2-(5/2)2=

5、1/4.11.证明Var ( X ) EX 2 (EX)2证明：2 2 2 2 2 2 2 2Var(X) E(X EX)2 EX2 2XEX (E X)2 EX2 2( E X ) 2 (E X)2 EX2 (EX)212 一位律师要决定收取固定费用 5000美元，还是收取胜诉酬金 25000美元(输掉则一无 所获)。他估计打赢的概率为 0.3，求他收取的费用的均值和方差，如果 a)收取固定 费用 b)收取胜诉酬金费用。解： a)由题意知 x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000 x1=5000,E(x2)=50002x1=25000000,var(x)=E(x2)-E( x

6、)2=0,所以 s=0. b)由题意知 x=0,25000,则 p(x=0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+25000 x0.3=7500, E(x2)=0 x0.7+(25000)2x0.3=187500000,var(x)= E(x2)- E(x)2=131250000S=根号下 var(x)=11456.43914.证明： Cov( x, y) Exy ExEy证明： Cov(x,y) E(x E(x)(y E(y) Exy xE(y) yE(x) E(x)E(y)Exy ExEy ExEy ExEy Exy ExEy18 设任意给定的时间内，

7、某股票价格只能等概率的增加 1 或减少 1，且不同时期股票变化 是独立的。记 X为股票在第一时间段内增加 1或减少 1的数量， Y 为前三段时间内累计上 升的数量，求 X,Y 相关性。解：E(X)=0, E(X2)=1,var(x)=E(X2)-E(X)2=1E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1, (X,Y)Cov( X ,Y) 1Var ( x)Var ( y) 3 3E(Y)=0,E(Y2)=3,var(y)=E(Y2)-E(Y)2=3X,Y 呈正相关。(2章)4设x为正态随机变量，均值为 u，方差为&2,y=a+bx,如果 y和x服从相同的分 布，求 a和

8、 b的值( a不等于 0)，并求出 Cov(x,y).解：因为 E(X)=u,var(x)=&2,y=a+bx, 所以 E(Y)=a+bu,var(y)=b2u2, 又因为 x 和 y 服从相 同的分布，所以 a+bu=u, &2=b2&2, 因为 a不等于 0，所以 b=-1,a=2u,即 y=2u-x, Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&2.5 成年男子的血液收缩压服从均值为 127.7，标准差为 19.2 的正态分布，求： a)68%的成 年男子血液收缩压的取值范围。 b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。 c)99.9%成 年男子

9、血液收缩压的取值范围。解： a)设陈年男子血液收缩压为 X, E 为对应的正态随机变量，即 E=(X-127)/19.2 u=127.7,&=19.2,所以|&|=19=0.682,所以 -1=(E-127.7)/19.2=1,即 108.5=E,所以取值 范围为108.5,146.9由表可得 p|E|=2=0.9544, 即-2=(E-127.7)/19.2=2,89.3=E=166.1,所以取值范围 89.3,166.1p|E|=3=0.9974, 即-3=(E-127.7)/19.2=3,解得 70.1=E=185.3,所以取值范围 70.1,185.3.1若 10%的名义利率分别为：

10、a)半年计息一次的复利 b)每季度计息一次的复利 c)连续复 利其对应的有效利率分别是多少？解： a)reff=(1+r/2)2-1=10.25% b)reff=(1+r/4)4-1=10.38% c)er-1=10.52将钱存入银行，银行支付的名义利率为 10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱 是原来的两倍？解： pert=2p e10%t=2 t=6.93 需要 7 年才能变为原来的两倍如果利率为 5%, 每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4 倍？如果利率变为 4%又要多少年？解： p(1+r)n=4p 当 r=5%时，( 1+0.05)n=4,n=28.41。当然

11、 r=4%， (1+0.04)n=4,n=35.35如果利率为年复利利率 r, 请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。解：由 lim p(1+r/n)nt=pert pert=3p,ert=3 t=lin3/r假设年名义利率固定在 6%，每月计息一次。在未来 60 个月中，每月需要投资多少钱， 才能在 60 个月后得到 100000 美元？解：p(1+r/12)+(1+r/12)2+ +(1+r/12)60=100000 pX1+r/121-(1+r/12)60/1- (1+r/12)=100000pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000 p=100000/7

12、0.37=1421.46所, 以每月需要投资 1421.46 美 元。6 一个投资的年现金流： -1000， -1200,800,900,800.年利率为 6%。对于一个既可以借款也 可以存款的的人，这是否是一个值得的投资？解：现值 =-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)2+900/(1+60%)3+800/(1+60%)4 =-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.756000, r=5%时， 10000e-rt=10000e- 5%x10=6065.36000, r=10%时， 10000e-rt=10000e-10%x10=

13、3678.8600023考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在 i年后得到第 i 次支付： 100,140,131,和 90,160，120如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？解：设利率为 r，则 100/(1+r)+140/(1+r)2+131/(1+r)3- 90/(1+r)+160/(1+r)2+120/(1+r)3=11/(1+r)3-20/(1+r)2+10/(1+r), 令 t=1/(1+r),0t1,则原式 =t(11t2-20t+10)=f(t),=400-4x11x100即第一种更可取。24 a）一个初始成本为 100的投资，两年后收益 110，求该投资的年收益率

14、。 b）一个初始成 本为 100 的投资，两年后或收益 120，或收益 100，且两种结果是等可能的，求年收益 率的期望值。解 a）100（1+r）2=110,则 r=0.05 b）100（1+r1）2=120,r1=0.095,100（1+r2）2=100,r2=0,E（r）=1/2r1+1/2r2=0.0526 一个初始成本为 100 的投资，第一年末回报 40，第二年末回报 70，求该投资的收益 率，如果第一年末回报 70，第二年末回报 40，收益率又是多少？ 解：设第一种投资的收益率为 r1,第二种投资的收益率为 r2,则 40/（1+r1）+70/（1+r1）2=100,r1=0.0

15、6=6%70/（1+r2）+40/（1+r2）2=100,r2=0.75=75%.28一个初始成本为 100的投资，在第 i个周期末收到的回报为 Xi （i=1,2） ,其中 X1，X2 是相互独立的正态随机变量，均值为 60，方差为 25。该投资回报率大于 10%的概率是 多少？解： E（ X1+X2 ）=120，Var（X1+X2）=50,P（X1+X2110）=P（E（110-120）/5 ）=p（x1+x2- 10/5 ）=1-o（-10/5 ）=0.9207概, 率是 0.9207.5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在 t时刻以价格 K买入一个证券， S是这 个证券现在的价

16、格， r 是利率。请写出一个包含 C、S和Ke rt的不等式，并给出证明。证明： S-C Ke rt，在 0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C，是从银行存款，并将在 t时刻偿还。在 t时刻时， S（t）K，看涨期权将被执行， K-（S-C）0，所以 S-C Ke rt5.8令 P是一个执行价格为 K和现价为 S的证券的看跌期权的价格。试证明 PKe rt-S。 其中 t期权到期日， r 是利率。证明：在 0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S，在 t 时刻时，S（t）K 时，看跌期权毫无价值，则以 K 的价格卖出证券，当 S（t）K ，则执行

17、看跌期权，则（ P+S） Ke rt K，所以 P Ke rt -S5.10 请使用一价律证明看跌 -看涨期权平价公式。证明：构造两个投资组合，（ 1）0 时刻买入一份股票及一个看跌期权，成本 S+P。（ 2） 0 时刻买入一份看涨期权并加上金额为 Ke rt ，现金成本 C+Ke rt ，在时刻 t ，假定股票价 格为 S（t），当 S（t） K，对投资（ 1）来说价值 S（t），投资（ 2）价值以 Ke rt?ert =K买入一份股票，价值为 S（t），当S（t）K时，投资（1）价值为 K，综 上所述由一价律值： S+P=C+Ke rt 。5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在 t

18、时刻以价格 K买入一个证券， S是这 个证券现在的价格， r 是利率。请写出一个包含 C、S和Ke rt的不等式，并给出证明。证明： S-C Ke rt，在 0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入 S-C，是从银行存款并将在 t时刻偿还。在 t时刻时， S（t）K，看涨期权将被执行， k （s c）rt 0，所以 S-C Ke rt 。5.8令 P是一个执行价格为 K和现价为 S的证券的看跌期权的价格，试证明 PKe rt-S， 其中 t期权到期日， r 是利率。证明：在 0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期 权，从初始的投入为 P+S，在 t时刻里， S（t）K 时，看跌

19、期权毫无价值，则以 K的价格卖出证券，当 S(t)Ke rt ，那么以下的投资策略总可以得到正的收益：卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。证明：如果 S+P-CKe rt ，那么我们通 过在 0 时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个看跌期权，这个初始的 投入 S+P-C，在 t 时刻卖出如果 S(t)=k，那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫 使以 K卖出，由于 SK e rt。6.7假设在每一个时间段内，一个证券的价值或者上涨为原来的两倍或者下跌为原来的二 分之一(即 2,d 1/ 2 )。如果该证券的初始价格为 100，求一个看涨期权的无套利价格这个期权允许持有者在两个时间段结束时以每股150的价格购买股票解:设每一个时间段名义利率均为 r， x1 1的概率，ad1 2r1 32r (i1,2)，2r 2