直线方程与简单线性规划

1、高三讲座第十六讲直线方程与简单的线性规划授课教师：王燕谋学过什么？3二元一次不等式表示平面区域；2直线方程的五种形式；1直线的倾斜角和直线的斜率；4线性规划的基本知识： 1线性约束条件；2目标函数；3线性目标函数；4可行解；5可行域；6最优解。学过什么？高考要求1理解直线的倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公 式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根 据条件熟练地求出直线方程。2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和 点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直 线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。4了解线性规划的意义，并会简单的应用。5了解解析几何的基本思

2、想，了解坐标法。考过什么？B1（04全国 8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距 离为 1，且与点 B（ 3，1）的距离为 2 的直线共有 （ ） A1 条B2 条C3 条D4 条 分 析考过什么？ 解析几何问题要注意利用图形语言，作图可知，距A（1，2）距离为 1 的点的轨迹为一个圆；距B（3，2）距离为 2 的点的轨迹为一个圆。满足两个条件的直线应为两个圆的外公切线 考过什么？102312xyL1L2A(1,2)B(3,1) 有两条，选B考过什么？2（04全国文8）已知点A（1，2），B（3，1）， 则线段AB的垂直平分线的方程为 （ ） A4x + 2y = 5B4x - 2y = 5C

3、x + 2y = 5 Dx - 2y = 5 B考过什么？ 确定一条直线需要两个条件：点、斜率。由 AB 的中点 M 坐标为 ，所求直线的斜率为k，那么 ，那么线段 AB 中垂线的方程为： ，分 析 4x - 2y = 5。选B 考过什么？A3（04全国 理 3）过点（1，3）且垂直于直线 x2y + 3 = 0 的直线方程为 （ ）A2x + y 1 = 0B2x + y 5 = 0Cx + 2y 5 = 0Dx 2y + 7 = 0考过什么？分 析注意两直线垂直，其斜率 ，设所求直线斜率为 k。 那么 ，又过点1，3。 所求直线方程为 y 3 = 2 ( x + 1) 2x + y 1 =

4、 0， 选A考过什么？4（ 04广东10）变量 x、y 满足下列条件： 则使得z = 3x + 2y 的值最小的（ x，y ）是（ ） A（4.5，3）B（3，6）C（9，2）D（6，4） B考过什么？此题考查线性规划的基本内容，根据约束条件画出可行域。(如图)分 析0(0,8)(0,12)(6,0)(12,0)(18,0)M3x+2y=0z=3x+2yM点的坐标可求出为3，6故直线平移到M点，有最小值。选B。 最小的（x,y）为（3，6） 考过什么？5（04上海文7）当 x，y 满足不等式组 时，目标函数 的最大值为 _。 考过什么？分 析由线性约束条件画出可行域： 20482xy8L1L2

5、y=3A考过什么？直线C为所求直线，A点坐标为2，6欲求 的最大值。即求与 平行且经过可行域的直线的截距的最大值。 ：则 的最大值为 6 。 1正确理解斜率概念，掌握过两点的直线的 斜率公式是复习好本章内容的关键。2斜率指的是直线对 x 轴的倾斜程度，用 k 表 示，它的值等于倾角的正切值。1任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条 直线都有斜率。 = 90时，斜率不存在复习时应注意的几个问题3要掌握求直线斜率的三种基本方法：a （90）（为倾角）；b ， 为直线上两个不同点；c若L： ，则 ；4当直线与 x 轴平行时，规定 = 0 因此倾角的取值范围是 。 复习时应注意的几个问题2复习直线的方

6、程时要渗透理解方程的直线与直 线的方程的思想，通过最简单的曲线直线 来了解曲线与方程的意义。3要熟练掌握根据所给条件求直线方程的方法， 但要注意直线的点斜式，斜截式等方程存在的 前提是斜率 k 存在，只有 k 存在，各种形式才 能转换，当 k 不存在时，依据条件只能写成 x = a 的形式。 复习时应注意的几个问题 研究直线方程时常将点线方程化为一般形式 Ax + By + C = 0 ，注意把一般式也可转化为 斜截式形式： ，其中 直线的斜率， 为直线在 y 轴上的截 距，当B = 0时，表示 与 y 轴平行的 直线或 y 轴（C = 0）。4复习时应注意的几个问题6线性规划的重点是把约束条

7、件的二元一次不等式 组表示成可行域，难点是把目标函数与可行域结 合寻找最优解，所以用图解法解决线性规划问题 时，分析题目的条件找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类，列出表格， 理清头绪，然后列出不等式组方程组寻找约 束条件，就题目所述找到目标函数。5解题时要充分利用图形给出的语言，因此，画图 时尽量标准，不可乱画。复习时应注意的几个问题7在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型： 一是给出一定数量的人力、物力资源，问怎样运 用这些资源能使完成的任务量最大，收到效益最 大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使 完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小。8当表示线性目标函数的直线与

8、可行域的某条边平 行 k = ki 时 ，其最优解可能有无数多个。复习时应注意的几个问题例题解析例 1 ABC中，A（4，1），B，C 的平分线 方程分别为 x y 1 = 0 和 x 1 = 0，求 BC 边 所在直线的方程。 0 xyA(4,-1)CB例题解析分 析 求直线方程应确定直线上的点和斜率，此题都未给出，因此可利用ABC的图形及角平分线的性质，知 A 点关于B 的平分线的对称点 A 应在直线 BC上，同样 A 点关于C 的平分线的对称点 A 也应在直线BC上，根据A，A的坐标即可确定直线BC的方程。 例题解析解：作出直线 x y 1 = 0 和 x 1 = 0 及点A4,1,0

9、xyA(0,3)A(-2,-1)A(4,-1)C例题解析由于 x y 1 = 0 是B 的平分线， 与 关于 x y 1 = 0 对称，A 点4,1关于 x y 1 = 0 的对称点 A 应在 上，从图形中可知 A0，3。又 x = 1，是C的平分线 A4, 1关于 x = 1 的对称点A2,1也在 上，据两点式得 : 2x y + 3 = 0。考过什么？ 确定直线的两个条件，一个是点，一个是斜率，当两个条件都未直接给出时要注意利用条件结合图形进行分析，这是解好题的重要途径。 解后思考考过什么？例 2 求过 M2，1点且与 x 轴，y 轴正方向交于A、 B点的直线，当OAB面积最小时直线的方程

10、。 此题已给直线上的点M2，1，因此，只要求出斜率 k 即可，此时的 k 应使OAB的面积最小，所以可用待定系数法，找出OAB的面积与 k 的函数式，求之。 分 析考过什么？0 xyBM(2,1)A2k - 1A,0(0,1-2k(解：设所求直线 的方程为 y 1 = k ( x 2 ) 。 令 y = 0 ，得 1 = kx2k， 令 x = 0 ，得 y 1 = 2k，y = 1 2k B0，1-2k 考过什么？由于k0。 因此，所求直线的方程为当且仅当 、 、 ，（k 0）。即 x + 2y 4 = 0考过什么？解后思考 尽管题目中给出所求直线上的点，但 k 都与三角形面积的最值有关，这

11、就需要列出含有 k 的面积表达式，使直线方程与函数的最值结合起来，增加了问题的综合度与难度，注意极值问题中均值定理的使用特点,注意斜率 k 本身为负值的条件。 考过什么？例3 一直线被两条平行直线 ， 所截，线段中点在直线 x y 1 = 0 上，并且过直线与两平行直线 的交角为 45，求此直线方程。 考过什么？分 析 设 AB 为所求直线，被平行线所截的线段 AB 的中点为 G，那么 G 点在 x y 1 = 0 上，G 也为 x y 1 = 0 被平行线所截线段的中点。G 点也应在与两平行线 ， 平行且等距的直线上，抓住这些隐含的条件，此题就易于求解了。 考过什么？解：设 为被 ， 所截线

12、段的中点，由于 在 y 轴上的截 距为 。 在 y 轴上的截距为 。 过G点且与 ， 平行的直线在 y 轴上的截距为 1。故此直线应为 。 解 ， 得G点坐标为 。考过什么？又 所求直线与两平行线成45角，故由夹角公式，得解出 k = 3 和 。即 9x + 3y 13 = 0 和 3x 9y 1 = 0。则所求直线方程为 和考过什么？ 求直线方程的关键即为找点和斜率，分析问题时，注意抓住几何条件，扣住图形，如此题找G 点坐标，就是通过对条件的分析而求得解法，再利用待定系数法求斜率 k ，使问题得解。 解后思考考过什么？例 4 设 x、y 满足约束条件： ，则 z = 3x + 2y 的最大值

13、为_。 考过什么？ 此题虽然为一填空题，但考查了线性规划的基本理论，解此题通常使用图解法，其步骤一般如下：1先画出由约束条件确定的可行域平面区域2利用线性目标函数直线求出最优解；3假设实际问题需要整数解时应适调整确定最优解。分 析考过什么？0(0,8)A(1,1)123y=x-1yx解：先画出可行域，如图 考过什么？由 z = 3x + 2y 得 ，求 z 的最大值即求 在 y 轴截距的最大值 当直线 平移过A（1，1）点时截距最大，其 ，考过什么？ 解决问题的关键是（1）准确作出可行域；（2）弄清目标函数的几何意义，如本题中的 z 相当于 ，在 y 轴上截距的 2 倍，求 z 的最大值相当于

14、求截距的最大值。 解后思考考过什么？例 5 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少 于 15 t，生产甲产品 1 t 需煤 9 t，电力4 kw， 劳力 3 个按工作日计算；生产乙产品 1t，需 煤 4 t，电力 5 kw，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价12万元 ，但每天用煤量不得 超过 300 t，电力不得超过 200 kw，劳力只有300 个 ，问：每天各生产甲、乙两种产品各多少 t 才 能保证完成生产任务，又能过国家创造最多的财 富。 考过什么？ 先设出每天生产甲、乙两种产品的产量分别为 x t 和 y t，建立起约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题。 分

15、析0yxy =15x =157x+12y=03x+10y=3004x+5y=2009x+4y=300A考过什么？解：设每天生产甲产品 x t，乙产品 y t，总产量为 S t， 依题意约束条件为： 目标函数为 S = 7x + 12y考过什么？从 z = 7x + 2y 可知 。 求 z 的最大值就是求直线 在 y 轴上的最大截距 ，再求 z 的最大值，此时 应过区域边界上的 A 点。 约束条件表示可行域是五条直线所围成的区域内的点加上它的边线上的点如图阴影部分。 考过什么？解方程组 ，得A（20，24）。 故当 x = 20，y = 24 时， （万元）。答：每天生产甲产品 20 吨，乙产品

16、 24 吨，这样既保证 完成任务，又能为国家创造最多的财富 428 万元。考过什么？解后思考 把实际问题转化成线性规划问题，首先要注意建模，建模是解决线性规划问题的极为重要的环节与技术，要根据问题中的条件找出约束条件和目标函数，首先要读懂题，再从数学角度有条理地表达出来，另外注意寻找整点的最优解，可用平移法求解和调整优值法求解，前者主要依照作图，后者主要依照推理，但一般都应充分利用整点最优解及最优值。 课后练习1直线 bx + ay = ab ( a 0 , b 0 ) 的倾斜角是（ ） A BC D C课后练习2已知点 M 是直线 L：2x y 4 = 0 与 x 轴的交点，把 直线 L 绕

17、点M逆时针方向旋转45，得到的直线方程 是 （ ） A3x + y 6 = 0 B3x y + 6 = 0Cx + y 3 = 0 Dx 3y 2 = 0 A课后练习3直线L过点M (-1, 2) 且与以 P( -2, -3) ，Q ( 4, 0) 为端点 的线段恒相交，则 L 的斜率的范围是 （ ） A BC D C课后练习4ABC中，A、B、C所对的边长分别为 a、b、c， 且 sinA， sinB， sinC 或等差数列，那么直 线 与直线 的位置关系是 （ ） A B 与 重合C D 与 相交但不重合 B课后练习5曲线 f ( x , y ) = 0 关于直线 x y 2 = 0 对称

18、的曲线 方程是 （ ） Af ( y + 2 , x ) = 0 Bf ( x 2 , y ) = 0Cf ( y + 2 , x 2 ) = 0 Df ( y 2 , x + 2 ) = 0C6若两点O（0, 0），A（4, 1）到直线 的距离相等，则 m = _。4、6、2提 示：若表示直线，则m， 不能同时为0。 m 0， 解出m=0，m=4或m= 2，m=6；故m=4，m=6或m= 2。 又 A ( 4, 1 )，O ( 0, 0 ) 到直线距离相等课后练习7已知C ( a，b ) 是定点 ( ab0 )，过C点作两条互相垂直 的直线 与 ，其中 交 x 轴于A， 交 y 轴于B。 （

19、1）求线段AB中点M的轨迹方程 （2）求|MC|的最小值。 课后练习（1）当L不垂直于 x 轴时， 设 ， 解:可得 ， ，设M ( x, y ) ，则消去 k ，得 课后练习当L垂直于 x 轴时，A ( a, 0 )，B ( 0, b ) 的中点也适合 线段AB中点M的轨迹方程为 。2|MC|的最小值，即为C到直线的距离。 课后练习8一条光线从M ( 5, 3 ) 点射出后，被直线 L：x + y = 1 反射， 射光线到 L 的角为 ，且 tan = 2，求 射 光线和反射光线所在的直线的方程。 解:设 ，由乙 课后练习 射线方程为 3x y 12 = 0，又设M关于直线 x + y 1 = 0 的对称点为 M ( x , y )，那么 综上所述：光线的 射线方程为 3x y 12 = 0 光线的反射线方程为