力学的变分原理

1、力学的变分原理力学的变分原理第1页而变分原理则不一样。它提供一个准则，依据这种准则，能够把力学系统真实运动与相同条件下约束所允许一切可能运动区分开来，从而确定系统真实运动。假如准则是对某一瞬时状态而言，则该原理称为微分变分原理（如虚位移原理，它提供了区分非自由质点系真实平衡位置和约束所允许邻近可能平衡位置准则。动力学普遍方程也是微分变分原理）。假如准则是对一有限时间过程而言，则该原理称为积分变分原理（哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理）哈密顿原理是分析力学基础原理。它潜藏着经典力学全部内容并把这门学科全部命题统一起来。也就是说，由它出发，也可得到经典力学整个框架。变分原理思想，不但在力学中，而

2、且在物理学科其它领域中，都含有主要意义和应用价值。力学变分原理是变分法在力学中应用。先介绍泛函和变分法基础知识。力学的变分原理第2页变分法介绍1.泛函概念（1）函数概念设 和 是两个变量， 是一个给定数集。假如对 中每一个数 ，变量 按确定关系总有一个确定数值与之对应，则称 是 函数，记作 ， 称为自变量， 称为 因变量。对于多元函数，记作 。（2）泛函概念 给定一个由任何对象组成集合 ，这里所说任何对象能够是数、数组、几何图形，也能够是函数或某系统运动状态等。设集合 中元素用 表示，假如对于集合中每一个元素 对应一个数 ，则称 是 泛函，记作 。有时泛函能够看做函数，函数也能够看做泛函。函数

3、表示是数与数一一对应关系，而泛函表示是函数与数一一对应关系。函数概念可作为泛函概念特殊情况。 力学的变分原理第3页2.变分法介绍（1）变分法研究对象变分法是研究求泛函极值方法。凡相关求泛函极值问题都称作变分问题。oxyAB力学的变分原理第4页oxyAB力学的变分原理第5页（2）变分概念变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。咱们这里主要介绍等时变分。或:力学的变分原理第6页假如自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小改变，则得另一条曲线 ，如图中虚线所表示，显然这种曲线有没有数条。令式中 是一个参数，为无穷小量。假如 ，即得函数 ；假如取其它值，即得一些与 非常相近函数。

4、所以上式表示是一族依赖于参数 函数 ，对应是一族非常靠近曲线。式中， 是t连续可微函数。在瞬时t，由函数本身形式微小改变而得微小增量主部 称为函数变分：因为是在瞬时t，不考虑时间t改变，这种变分称为等时变分。图中 和 表示了函数变分与微分区分。 力学的变分原理第7页变分与微分区分变分：自变量不变，仅因为函数本身形式 微小改变而得到函数改变；微分：因为自变量 微增量而引发 函数微增 量。 力学的变分原理第8页变分运算法则： 因为函数取等时变分时，自变量t保持不变，变分运算与时间无关，则任一连续函数 q=q(t)变分与微分能够交换：即(b) 在积分上、下限不变条件下，函数对自变量积分变分，等于该函

5、数变分对该自变量积分。 总之，变分导数等于导数变分；变分积分等于积分变分。 力学的变分原理第9页（3）变分法力学的变分原理第10页力学的变分原理第11页力学的变分原理第12页力学的变分原理第13页力学的变分原理第14页力学的变分原理第15页哈密顿Hamilton原理 提出了质点系真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许可能运动区分准则。力学的变分原理第16页力学的变分原理第17页力学的变分原理第18页力学的变分原理第19页上式仅仅适合用于保守系统，将L=T-V 代入该式则得： 对于非保守系统：式中还应包含作用于体系上非保守力( 包含阻尼力及任一外荷)所作功，即： ( 为由非保守力决定广义力) 力学的变分原理第20页 (1-4)式中：T体系总动能； V体系位能，包含应变能及任 何保守外力势能； Wnc作用于体系上非保守力(包含阻尼 力及任一外荷)所作功； 在指定时间区间内所取变分 非保守系统哈密顿原理数学表示式为：应用该原理能够直接导出任何给定体系运动方程。力学的变分原理第21页该方法与虚功方法(不一样)区分 应用哈密顿原理推导体系运动方程， 不显著使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能变分项所代替。 优点：它只与纯粹标量能量相关 虚功法中：功本身是标量，但计算功 力和位移都是矢量。 力学的变分原理第22页Hamilton原理在静力学