偏微分(3)分离变量法课件

1、偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)9/3/20221分离变量法许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）9/3/20222波动方程有界弦的自由振动热传导方程椭圆方程一维情形高维情形有界弦的强迫

2、振动齐次方程非齐次方程周期性条件自然边界条件一维情形高维情形9/3/20223将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到即以及(1.6)(1.7)(1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有(1.8)(1.9)(1.10)9/3/20225(II)本征值问题(1.9)(1.10)情形（A） 情形（B）其通解为由(1.10)，可推出只有零解。其通解为由(1.10)，可推出只有零解。9/3/20226情形（C）方程的通解为由边界条件X(0) = 0推出再由知道为了使必须于是有这样就找到了一族非零解本征值本征函数(1.11)(1.12)9/3/202

3、27由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解代入(1.8)可得(1.13)其通解为9/3/20228因此，应分别是在0, L区间上正弦展开的Fourier级数的系数，即(1.17)(1.18) 这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。9/3/202210分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令适合方程和边界条件，从而定出所适合的常微分方程齐次边值问题，以及适合的常微分方程。本征值问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的 的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起

4、来，并利用初始条件定出所有待定系数。9/3/202212 对任意一点这表示在任意一点处都作简谐振动。节点固有频率9/3/202214例令是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有9/3/202215故有其中9/3/2022169/3/2022172. 有界弦的强迫振动(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)方法一方法二齐次化原理分离变量法9/3/202218令混合问题（2.5）就化为(2.7)由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得其中(2.8)(2.9)9/3/202220根据齐次化原理，(2.10)其中9/3/202221(2.12)，(2.13)，(2.14)9/3/20222

5、3非齐次边界条件的定解问题我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的，为此作函数变换边界齐次化9/3/2022243. 有界细杆的热传导方程9/3/202226 首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解。令(I)3.1 齐次方程情形代入方程和边界条件得到即以及9/3/202227(II)本征值问题本征值本征函数9/3/2022283.2 非齐次方程情形方法一方法二齐次化原理分离变量法9/3/2022304. 矩形薄板的热传导方程利用分离变量法（4.1）（4.2）（4.3）9/3/202231（4.6）（4.5）（4.4）再设（4.7）（4.8）（4.9）9/3/20

6、2232由边界条件9/3/202233从而有且代入（4.4）可得9/3/202234于是特解的叠加9/3/202235系数的确定 （二重Fourier级数展开式）若则9/3/2022365. 椭圆方程 以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。（5.1）9/3/202237作自变量变换9/3/202238演算过程9/3/2022399/3/202240原定解问题转化为（5.2）下面采用分离变量法来求解。为此，令代入，即得分离变量（5.3）9/3/202241（5.4）（5.

7、5）（5.6）（5.7）周期性条件自然边界条件9/3/202242现在求解本征值问题（5.4）-（5.5）其通解为这不是周期函数其通解为这不是周期函数是周期函数其通解为为了满足（5.5），必须9/3/202243本征值为本征函数为代入（5.6）欧拉方程9/3/202244特解叠加系数确定正交列9/3/2022459/3/202246的解为圆的Poisson积分9/3/2022476. 柱域上的分离变量法和Bessel函数柱坐标系9/3/202248令改记Bessel 方程9/3/2022497. 球域中的分离变量法、 Legendre多项式球坐标系9/3/202250在第二式中令改记伴随Legendre方程当Legendre方程9/3/2022518. 本征值理论 利用分离变量法求解定解问题必然导致本征值问题，即在一定的齐次边界条件下，求一个含参数的齐次常微分方程的非零解的问题。 另外，在分离变量的过程中，主要涉及关于本征值和本征