圆锥曲线解题技巧和方法综合

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、学问储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式；（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率ktan,0,By 02C 夹 角 公 式 ： 点 到 直 线 的 距 离dAx 02 ABtank 2k 11k k 2 1（3）弦长公式直线 yk2kxb 上两点A x 1,y 1,B x 2,y 2间的距离：AB1k2x 1x 21x 1x224x x2或AB11y 1y 2k2（4）两条直线的位置关系 1l2k k =-1 l 1/l2k 1k 2且b 1b 22、圆锥曲线方程及性质1、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

2、标准方程：x2y21m0,n0 且mn2amn距离式方程：xc 2y2xc2y2参数方程：xacos ,ybsin2、双曲线的方程的形式有两种标准方程：x2|y21m n20 xc2y2| 2amn距离式方程：xc2y3、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2 ba2；双曲线：2 b2；抛物线：2pa4、圆锥曲线的定义你记清晰了吗？如：已知F 、F 2是椭圆x2y21的两个焦点,平面内一个动点M 满43足MF 1MF22就动点 M 的轨迹是（）A、双曲线； B、双曲线的一支； C、两条射线； D、一条射线5、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时,SF PF 12b2 tan2ey 0P在双曲线上时,

3、SF PF 1 2b2 cot2（其中F PF 2,cos|PF 12 |PF 22 |4 c2,PF 1PF 2|PF 1|PF 2|cos）|PF 1| |PF 26、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x 轴上时为aex 0;焦点在 y轴上时为a,可简记为“ 左加右减,上加下减”；（2）双曲线焦点在x 轴上时为e x 0|a（3）抛物线焦点在x轴上时为|x 1|p,焦点在 y轴上时为|y 1|p226、椭圆和双曲线的基本量三角形你清晰吗？其次、方法储备 1、点差法（中点弦问题）设Ax 1, y1、Bx 2, y2,Ma ,b为椭圆x2y21的弦 AB 中点就有43x 12x 1y 1221,

4、x22y2211；两式相减得x 124x22y123y22043x43yAB=3ax 1y23y 1y2kx244b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？假如有两个参数怎么办？设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程, 使用判别式0,以及根与系数的关系, 代入弦长公式,设曲线上的两点A x y 1 1,B x 2,y 2,将这两点代入曲线方程得到 1 2 两个式子,然后 1 -2 ,整体消元,如有两个字母未知数, 就要找到它们的联系, 消去一个,比如直线过焦点,就可以利用三点A、B、F 共线解决之；如有向量的关系,就寻找坐标之间

5、的关系, 根与系数的关系结合消元处理；一旦设直线为 y kx b ,就意味着 k 存在；例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2 5 y 2 80 上,且点 A是椭圆短轴的一个端点（点A 在 y 轴正半轴上） . （1）如三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程 ; （2）如角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程 . 分析：第一问抓住“ 重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率,从而写出直线 BC 的方程；其次问抓住角 A 为 90 可得出 ABAC,从而得 x 1 x 2 y 1 y 2 14 y 1 y

6、2 16 0,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解 ：（ 1） 设 B（x , y ） ,C x , y 2 ,BC 中点为 x 0, y 0 ,F2,0就 有2 x 12 y 1,1x2 2y2 2101 20162016两式作差有x 1x2x 1x2y1y2y 1y20 x0y0k201654F2,0为三角形重心,所以由x 13x22,得x03,由y1y240得3y 02,代入（ 1）得k680,得5直线 BC 的方程为6x5y2802由 ABAC 得x 1x 2y 1y 214 y 1y2160（2）设直线BC方程为ykxb ,代入4x25 y245 k2x210 bkx

7、2 5 b800 x 1x2410kb,x 1x25 b2805 k245 k241, 即y 1y248k2,y 1y24 b280k2代入（ 2）式得5 k45k29 b2432 b2160,解得b4 舍或b45k9直 线 过 定 点 （ 0 ,4 , 设 9D （ x,y）, 就yx4yx99y29 x232y160所以所求点 D 的轨迹方程是x2y162202y4；994、设而不求法例 2、如图,已知梯形 ABCD 中AB2CD,点 E 分有向线段 AC 所时,成的比为,双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当2334求双曲线离心率e的取值范畴；分析：本小题主要考查坐标法、定比

8、分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算才能和综合运用数学学问解决问题的才能；建立直角坐标系 xOy ,如图,如设 C2 c , h,代入a x 22b y2 21,求得 h,进 而 求 得 x E , y E , 再 代 入a x 22 b y 22 1, 建 立 目 标 函 数f a b c 0,整理 f e , 0,此运算量可见是难上加难 .我们对 h可实行设而不求的解题策略 , 建立目标函数 f a b c 0,整理 f e , 0 ,化繁为简 . 解法一：如图,以 AB 为垂直平分线为 y轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy ,就 CD y轴由于双曲线经过点 C、D

9、,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知C、D 关于 y 轴对称依题意,记 A ,c 0,C c , h,E x 0, y 0,其中 c 1 AB | 为双2 2曲线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得cx 0 c2 2 c,y 0 h1 2 1 1设双曲线的方程为a x 22 b y2 21,就离心率 ea c由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e c 代入双曲线方a程得由式得e22h21,1h214b22e2411,b2h2 eb24将式代入式,整理得e24412,AE,AC 用E C 的横坐4故1e231由题设23得,212 e3233434解得7e10所以双曲

10、线的离心率的取值范畴为7,10分析：考虑AE,AC 为焦半径 ,可用焦半径公式 , 标表示,回避 h 的运算 , 达到设而不求的解题策略解法二：建系同解法一,AEaex E,ACaex ,e231,由题xEcc22c,又AE1,代入整理1211AC设23得,21e 232334347,10解得7e10所以双曲线的离心率的取值范畴为5、判别式法例 3已知双曲线 C : y x1,直线 l 过点 A 2 , 0,斜率为 k ,当 0 k 1 2 22 2时,双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标；分析 1：解析几何是用代数方法来讨论几何图形的

11、一门学科,因此,数形结合必定是讨论解析几何问题的重要手段 . 从“ 有且仅有”这个微观入手,对比草图,不难想到：过点B 作与 l 平行的直线,必与双曲线 C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0 . 由此动身,可设计如下解题思路：l:ykx20k120直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为l:ykx2 k把直线 l的方程代入双曲线方程,消去 2 2 2 ky,令判别式解得 k 的值解题过程略 . 分析 2：假如从代数推理的角度去摸索,就应当把距离用代数式表达,即所谓“ 有且仅有一点B 到直线 l 的距离为2 ” ,相当于化归的方程有唯独解 . 据此设计出如下解题思路：问题

12、关于 x 的方程kx2k2x212k20k1有唯独转化为一元二次方程根的问题求解简解 ：设点Mx ,2x2为双曲线 C 上支上任一点,就点M 到直线 l 的距离为：kx2k2x22k20k11于是,问题即可转化为如上关于x的方程 . 2k .由于0k1,所以2x2xkx,从而有kx2x22 kkx2x2于是关于 x 的方程kx2x22k2 k21 2k20的二根同2x222 k212 kkx 2,2k212kkx0k212 x2 k2 k21 2 kx2 k21 2 k220,2k21 2 kkx.0由0k1可知：方程k21x22 k2k212kx2 k212k正,故2k21 2kkx0恒成立

13、,于是等价于2220. k21x22 k2k21 2kx2 k21 由如上关于x 的方程有唯独解,得其判别式0 ,就可解得k255. 点评 ：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分表达了全局观念与整体思维的优越性 . 例 4 已知椭圆 C:x 2 2 y 2 8和点 P（4,1）,过 P 作直线交椭圆于A、B 两点,在线段 AB 上取点 Q,使AP PB在曲线的方程 . AQ QB,求动点 Q 的轨迹所分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,同学往 往不知从何入手；其实,应当想到轨迹问题可以通过参数法求解 . 因此,第一是选定参数,然后想方设法将点 达,最终通过消参可达到解题的

14、目的 . Q 的横、纵坐标用参数表由于点 Q x , y 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可挑选直线AB 的斜率 k 作为参数,如何将 x, y 与 k 联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件：APPB QB来转化 .由 A、B、AQP、Q 四点共线,不难得到 x 4 x A x B 2 x A x B,要建立 x 与 k 的关系,只需8 x A x B 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可 . 通过这样的分析,可以看出,虽然我们仍没有开头解题,但对于如何解决此题,已经做到心中有数 . AP AQx4PBQB2xAx BxAxB8x

15、Ax Bxf将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理k k利用点 Q 满意直线 AB 的方程： y = k x 4+1,消去参数点 Q 的轨迹方程在得到 x f k 之后,假如能够从整体上把握,熟悉到：所谓消参,目的不过是得到关于 x, 的方程（不含 k）,就可由 y k x 4 1 解得k y 1,直接代入 x f k 即可得到轨迹方程；从而简化消去参的过x 4程；简解 ：设 A x 1 , y 1 , B x 2,y 2 , Q x , y ,就由 AP AQ 可得：4 x 1 x x 1,PB QB x 2 4 x 2 x解之得：x 4 x 1 x 2 2 x 1 x 2（1）8 x

16、 1 x 2 设直线 AB 的方程为：y k x 4 1,代入椭圆 C 的方程,消去 y得出关于 x 的一元二次方程：2 k 21 x 24 k 1 4 k x 2 1 4 k 28 0（2）4 k 4 k 1x 1 x 22 k21 ,2x 1 x 2 2 1 42 k 8 .2 k 1代 入（1）,化 简 得：x 4 k 3.k 23 与yk x4 1联立,消去 k 得：2xy4x4 k0 .410,结合（3）在（2）中,由64k264k240,解得21024可求得16210 x16210.9940（16210 x16210）. 故知点 Q 的轨迹方程为：2xy99点评： 由方程组实施消元

17、 ,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到 . 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“ 引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 . 6、求根公式法2 例 5 设直线 l 过点 P（0,3）,和椭圆x 9y21顺次交于 A、B 两点,4试求AP PB的取值范畴 . PB=x ,但从今后却一 x B分析：此题中,绝大多数同学不难得到：筹莫展 , 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范畴,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ,这只需利用对应的思想实施；其二

18、就 是构造关于所求量的一个不等关系 . 分析 1:从第一条想法入手,AP PB= x 已经是一个关系式,但由于 x B有两个变量 x , Ax B,同时这两个变量的范畴不好掌握,所以自然想到利 用第 3 个变量直线 AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将 x , Ax B 转化 为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去 y 得 出关于 x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式xA= f（ k）, xB = g（k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量关于k

19、的函数关系式k 的取值范畴由判别式得出所求量的取值范畴y简解 1：当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得AP1; PB5当 l 与 x 轴不垂直时,设Ax 1,y 1,B x2,y 2,直线 l 的方程为：kx3,代入椭圆方程,消去y 得9 k24x254 kx450解之得x 1 ,227kk69k25.924由于椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑k0的情形. 当k0时,x 127 k69k225,x 227kk69k25,92185k2. 9k24924APx 1所以=1=9k29k5=19 k18 k2PBx 29k29k21529 k59由0, 解得k25,54k 2

20、1809 k249所以18,11综上295k2591AP PB1 5. 分析 2: 假如想构造关于所求量的不等式,就应当考虑到： 判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范畴,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来 . 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,缘由在于 AP x 1 不是关于 x 1, x 2 的对称关系式 . 缘由找到后,解决问题的PB x 2方法自然也就有了,即我们可以构造关于 x 1, x 2 的对称关系式 . 把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程, 消去 y得到关于 x 的一元二次方程韦达定理x

21、A+ xB = f（ k）,xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）构造所求量与k 的关系式k 的取值范畴由判别式得出关于所求量的不等式简解 2：设直线 l 的方程为：ykx3,代入椭圆方程,消去y 得9 k24x2254 kx450k25,（*）就x 1x2x29 k9k54k,24x 1454.324k2.2令x 1,就,1x245k220在（*）中,由判别式0 可得91从而有141324k236,所以41236,解得45k220555. 1得1 5. 1. 5结合05AP综上,PB点评 ：范畴问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数

22、的性质法,数形结合法等等 . 此题也可从数形结合的角度入手,给出又一美丽解法 . 解题如同打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的成功并不能说明问题,有时甚至会被局部所蛮缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里 . 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心； 以已知的真实数学命题, 即定义、公理、定理、性质等为依据,挑选恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程； 在推理过程中, 必需留意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等）理严密；通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,做到

23、摸索缜密、推 快速提高解题才能；且AF例 6 椭圆长轴端点为A,B, O为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点,FB1,OF1（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问：是否 存在直线 l ,使点 F 恰为 PQM 的垂心？如存在,求出直线 l 的方程 ; 如不存在,请说明理由；思维流程：（）由AFFB1,OF1ac ac1,c1a2,b1写出椭圆方程PQMF MPFQkPQ1由 F为PQM 的重心（）xy2x2m2消元3 x24mx2 m2202y两根之和,MPFQ0得出关于解出 m 两根之积m 的方程解题过程：（）如图建系,设椭圆方程为x2y21ab2

24、0,就c1a2b2又AFFB1即ac ac1a2c ,a2故椭圆方程为x2y212（）假设存在直线 l 交椭圆于P,Q两点,且 F 恰为PQM 的垂心,就设 P x y 1 1 , Q x 2 , y 2 ,M 0,1, F 1,0,故 k PQ 1,y x m于 是 设 直 线 l 为 y x m , 由 2 2 得 ,x 2 y 22 23 x 4 mx 2 m 2 0MP FQ 0 x x 2 1 y 2 y 1 1 又 y i x i m i 1,2得 x x 2 1 x 2 m x 1 m 1 0 即2 x x 2 x 1 x 2 m 1 m 2m 0 由韦达定理得22 2 m 2

25、4 m m 1 m 2m 03 3解得 m 4或 m 1（舍）经检验 m 4符合条件3 3点石成金： 垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过A 2,0、B2,0、C1,3三点2（）求椭圆 E 的方程：（）如点 D 为椭圆 E 上不同于 A、B 的任意一点,F 1,0,H1,0,当 DFH 内切圆的面积最大时,求 思维流程：DFH 内心的坐标；（）由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2ny21得 到m,n的 方 程解出m,n（）由DFH 内切圆面积最大转化为DFH 面积最大转化为点 D 的纵坐标的肯定值最大

26、最大D 为椭圆短轴端点DFH 面积最大值为0 ,33S DFH1周长r 内切圆r 内切圆332得出 D 点坐标为3解题过程：（）设椭圆方程为mx2ny21m,0 n0, 将A 2,0、B2,0、C3 1, 2代入椭圆 E 的方程,得x2y214 m1,1解得m1,n1.椭圆 E 的方程9 4nm4343（） |FH|2,设 DFH 边上的高为S DFH12hh2当点 D 在椭圆的上顶点时,设 DFH 的内切圆的半径为h 最大为3 ,所以SDFH的最大值为3 R,由于 DFH 的周长为定值6所以,S DFH1 R 26所以 R的最大值为 3所以内切圆圆心的坐标为 30,3 . 3 点石成金：S

27、的内切圆 1 的周长 r 的内切圆2例 8、已知定点 C 1, 及椭圆 x 23 y 25,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. （）如线段 AB 中点的横坐标是 12,求直线 AB 的方程；（）在 x轴上是否存在点 M ,使 MA MB 为常数？如存在, 求出点 M 的坐标；如不存在,请说明理由 . 思维流程：（）解：依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y k x 1,将 y k x 1 代入 x 23 y 25, 消去 y 整理得 3 k 21 x 26 k x 23 k 25 0.设 A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,4 2 236 k 43 k

28、13 k 5 0 1 就x 1 x 2 62 k 2. 23 k 12由线段 AB 中点的横坐标是 12,得 x 12 x 23 k 32 k1 12,解得k 3,符合题意；3所以直线 AB 的方程为 x 3 y 1 0,或 x 3 y 1 0 . （）解：假设在 x轴上存在点 M m ,0,使 MA MB 为常数 . 当 直 线 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 , 由 （ ） 知2 2x 1 x 2 62 k,x x 2 3 k2 5 . 33 k 1 3 k 1所以 MA MB x 1 m x 2 m y y 1 2 x 1 m x 2 m k 2 x 1 1 x 2 1 k 21 x

29、x 2 k 2m x 1 x 2 k 2 m 将 3 代入,整理得MA MB 6 m3 k 12 k1 25 m 2 2 m 13 33 kk 22 11 2 m 143 m 22 1 6 m 14m 2 m 2 .3 33 k 1留意到 MA MB 是与 k 无关的常数,从而有 6 m 14 0,m 7, 此时3MA MB 4 .9 当 直 线 AB 与 x 轴 垂 直 时 , 此 时 点 A,B 的 坐 标 分 别 为1,2、1,2,当 m 7 时, 亦有 MA MB 4.3 3 3 9综上,在 x轴上存在定点 M 7 0, ,使 MA MB 为常数 . 3点石成金：MA MB 6 m 1

30、2 k 25 m 2 2 m 13 3 k 22 1 2 m 143 m 23 k 1 3 k 12 1 6 m 14m 2 m 2 .3 33 k 1例 9、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M（2,1）,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m（m 0）, l 交椭圆于 A、B 两个不同点；（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范畴；（）求证直线MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解：（1）设椭圆方程为x a28y21 ab0 椭圆方程为x2y212b2就a2 b解得 1a241b2282a2b2（）直线 l 平行于 OM

31、 ,且在 y 轴上的截距为 m 解得又 K OM=1 2x22 mx2m24l的方程为：y1xm2由y1xm2x2y210两 个 不 同 点 ,82与 椭 圆 交 于A 、 B 直 线l4 0 ,2 m 24 2 m22m,2且m0（） 设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k 2=0即可设A x 1,y 1,B x2,y2,且x 1x 22 m ,x 1x 222 m41 x 12 就k 1y 11,k2y21x 12x 22由x 22 mx2 m240 可得x 1x 22 m ,x 1x22 m24而k 1k2y 11y21y 11x 22 xy 22 x 12x2

32、2x 12 2. 1x 1m1 x 22 1x2m1 x 12 22x 12 x22 x 1x 2 m2 x 1x24 m1x 12 x22 22 m4 m2 2 m 4 m1x 12 x 22 22 m42 2 m4 m4m40 x 12 x 22 k 1k20故直线 MA 、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形0 ,Bk 1bk20例 10、已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa ,22,0的直ab线到原点的距离是3.2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线ykx5 k0 交双曲线于不同的点C,D 且 C,D 都k 的值.

33、在以 B 为圆心的圆上,求思维流程：解 ： （ 1 ）c233,原 点 到 直 线AB ：xy1的 距 离aab3. daabb2ab2c2y , 整 理 得b1,a3.x2y21.故所求双曲线方程为3（ 2 ） 把ykx5代入x23y23中 消 去 13k2x230kx780. 的中点是Ex 0y0,就设Cx 1,y 1,Dx2,y2,CDx0 x12x2115k2y0kx0515k2,3k3kBEy0011.xk0,又k0,k27kx 0ky0k0 ,即115k215kk23k3故所求 k=7 . 点石成金 : C,D 都在以 B 为圆心的圆上BC=BDBECD; 例 11、已知椭圆 C

34、的中心在坐标原点,焦点在 点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1（）求椭圆 C 的标准方程；x 轴上,椭圆 C 上的（II ）如直线 l y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点（ A、B 不是左右顶点）,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 求证：直线 l 过定点,并求出该定点的坐标思维流程：解：（）由题意设椭圆的标准方程为x2y21 ab0,0a2b2由已知得：ac3,ac1,a2,c1,3椭圆的标准方程为x2y212 ba2c243（II ）设A x 1,y 1,B x 2,y 2ykxm,联立2 xy21.43得34k22 x8 mkx42 m30,就642 m k21634 k2m230,即34k2m20,x 1x 238mk2,4kx x 1 24m2k2 3 .34又y y2kx 1m kx 2m 2 k x x 2mk x 1x 2m2