数列的概念及简单表示方法

1、6.1 数列的概念及简单表示法 数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列的分类分类原则类型满足条件按项数分有穷数列项数有限类无穷数列项数无限按项与项递增数列an 1_an间的大小递减数列an 1_1 时， anSn Sn1anan 1.33ann 1an1 n 1ann 1a4 5 ， ， ，an1 n 1a3 3a3 4 a2 ， 3.a2 2 a1an n n 1以上 n 1 个式子的等号两端分别相乘，得到 ，a12又 a11，ann n 12.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 anan1m 时，

2、构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当 an出现 anan 1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解an1n 1(1)已知数列 an满足 a1 1，anan1(n2)，则 an n(2)已知数列an的前 n项和为 Sn，且Sn2an1(nN)，则 a5等于( )A 16 B16 C31 D 321答案 (1) (2)Bnn1解析 (1) an an1 (n2) ，n 21 an1an2， a2 a1.n 12以上 (n 1)个式子相乘得1223n 1 a1 1 n n n(2) 当 n1 时， S12a11，a11.当 n 2 时， Sn12an11， a

3、n 2an 2an1 ， an 2an 1.an是等比数列且 a11， q2，故 a5a1 q42416.典例： (12 分 )已知数列 an(1) 若 an n25n4，数列中有多少项是负数？n 为何值时， an 有最小值？并求出最小值(2)若 ann2kn4 且对于 nN ，都有 an1an.求实数 k 的取值范围思维启迪 (1)求使 an0 的 n 值；从二次函数看 an 的最小值 (2)数列是一类特殊函数，通 项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn 4.f(n)在 N 上单调递增，但自变量不连续从二次函数的对称轴研究单调性规范解答解 (1) 由 n25n40 ，解得 1 n an知

4、该数列是一个递增数列， 又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是12 分 N 上的二次函数，k3关于 n 的二次函数，考虑到 nN ，所以 2 3.温馨提醒 (1) 本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集k 的取值范围，使问题得到因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数解决(2) 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3) 易错分析：本题易错答案为k 2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数 .方法与技巧1 求数列通项或指定项通常用观察法 (对于交错数列一般用 (1)n 或(1)n1来区分奇偶 项的符号 )；已知数列中的递推

5、关系， 一般只要求写出数列的前几项， 若求通项可用归纳、 猜想和转化的方法S1n 12 强调 an与 Sn 的关系： an.SnSn1 n 23 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握一般有二种常见 思路：(1) 算出前几项，再归纳、猜想；(2) 利用累加或累乘法可求数列的通项公式失误与防范1 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数 列 anf(n)和函数 y f (x)的单调性是不同的2 数列的通项公式不一定唯一A 组 专项基础训练(时间： 40 分钟 )、选择题1 数列 0,1,0 ， 1,0,1,0 ， 1， 的一个通项公式是

6、an等于1 n 1 A.Bcosnn1C cos2D cosn22答案 D解析 令 n1,2,3 ，逐一验证四个选项，易得D 正确2 数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，则 a6 等于 (A344B3441答案A解析当 n1 时， an13Sn，则 an2 3Sn1，D451C45an2an13Sn13Sn3an1，即 an2 4an1， 该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列1 n 1 ， 又 a23S13a13， an34n2 n2 .当 n6 时， a63462344.3 若数列 an的通项公式是 an（1）n（3n2），则 a1a2a10等于 （）

7、A 15 B12 C 12 D 15 答案 A解析 由题意知， a1a2 a10 14710（1）10（3 102） （14）（710）（1）9（392）（1）10（310 2） 3 5 15.4已知数列 an 的通项公式为42an(9)n1(3)n1，则数列 anA 有最大项，没有最小项B有最小项，没有最大项C既有最大项又有最小项D既没有最大项也没有最小项答案 C42解析 数列 an的通项公式为 an（9）n1（3）n1，2令 t（ ）n1，t（0,1 ，t 是减函数，11则 ant2t （t2）24，由复合函数单调性知 an 先递增后递减故有最大项和最小项，选 C.n15 若 Sn 为数列

8、 an的前 n 项和，且 Sn，则 等于n 1a56B.5 A.6D 30C.30答案 D TOC o 1-5 h z nn 1解析当 n2 时， an SnSn1n 1n 所以 56 30.a5、填空题n2 已知数列 2 ，则 0.98 是它的第 项n21答案 7n249解析 n210.98 50，n7.7 数列 an中， a11，对于所有的 n2，nN，都有 a1a2a3ann2，则 a3a561 答案16解析 由题意知： a1a2a3an1（n1）2，nan（n1）2（n2）， TOC o 1-5 h z 3561 a3 a5 （ ）2 （ ）2 .4168 已知an是递增数列，且对于任

9、意的 nN，ann2n 恒成立，则实数 的取值范围是 答案 （3， ）解析 方法一 （ 定义法 ）因为 an是递增数列，所以对任意的 nN ，都有 an1 an，即 （n 1）2（n 1） n2n，整理，得2n10 ，即 (2n1)(*)因为 n1，所以 (2n1)3，要使不等式 (*)恒成立，只需 3.方法二 (函数法 )设 f ( n) an n2 n ，其图象的对称轴为直线 n 2，要使数列 an为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，故只需满足 f(1) 3.三、解答题9 数列 an的通项公式是 an n27n 6.(1) 这个数列的第 4 项是多少？(2)150 是不

10、是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3) 该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当 n4 时， a442476 6.(2)令 a n 150 ，即 n27n6150 ，解得 n16 或 n 9(舍去 )，即 150 是这个数列的第 16 项(3) 令 an n27n60 ，解得 n6 或 n1( 舍)故数列从第 7 项起各项都是正数9n n 110 已知数列 an的通项公式为 ann ，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项10 n最大，最大项是多少？若没有，说明理由an 1 an9n1 n2 9n n110 n110n9n 8 n10 n10当 n0 ，即 an1an；当 n

11、 8 时， an1an 0，即 an1an；当 n8 时， an1an0 ，即 an1an.则 a1a2a3 a10 a11，故数列 an 有最大项，为第 8 项和第 9 项，97 89且 a8a9 10 89910 811a12a222，a22，1a322，a42，故 a2n 2，1a2n122.B 组 专项能力提升（时间： 30 分钟 ）1 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1个格子，在格子中每次可向前跳 1格或 2格，那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 （ ）A 8 种 B13 种 C21 种 D 34 种答案 C解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n

12、个格子的方法有两类： 向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 an 1；向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 an2，则 anan1an2 ， 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.跳到第 8 个格子的方法种数是 21. 故选 C.12数列an满足 anan12 （nN），a22，Sn是数列an的前 n项和，则S21为（）1 1 7S21102a1522223 若数列 n(n 4)( )n中的最大项是第 k 项，则 k3答案 422k k4 3 k k 1 k5 3 k1 解析 由题意得22k k4 3 k k 1 k3 3 k1所以k210，由 kN 可得 k4. k22k904 已知数列 an满足前 n 项和 Snn21，数列 bn满足2bn，且前 n 项和为 Tn ，an1设 cn T2n1 Tn.(1)求数列 bn