复变内容lecture级数表示

1、第四讲：周期信号的傅立叶级数表示Spring, 2015By Y N Zhang1用“三角函数和” 来描述周期现象的概念可以追溯到古巴比伦时代。后经Euler，Bernolli这些伟大的名字，直至Joseph Fourier！Spring, 2015By Y N Zhang2Spring, 2015By Y N Zhang31822年，傅里叶最终出版了专著热的解析理论（Theorie analytique de la Chaleur, Didot, Paris, 1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命

2、名。Spring, 2015By Y N Zhang4傅里叶应用三角级数求解热传导方程，同时为了处理无穷区域的热传导问题又导出了现在所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，热的解析理论影响了整个19世纪分析严格化的进程。Spring, 2015By Y N Zhang51. LTI系统对复指数信号的响应基本信号集 一个好的基本信号集，自身简单明晰，又能构造出广泛实用的信号。对LTI系统而言，任意信号的输出响应都能由基本信号集的

3、输出响应线性组合而成。Spring, 2015By Y N Zhang6复指数信号对连续时间LTI系统而言，复指数信号集 是一个很重要的基本信号集。Spring, 2015By Y N Zhang7连续时间LTI系统的响应Spring, 2015By Y N Zhang8连续时间系统连续时间LTI系统的输出Spring, 2015By Y N Zhang9对连续时间LTI系统，定义Spring, 2015By Y N Zhang10对任意给定参数s，连续时间LTI系统的输入-输出关系为：这里 为一个常数。Spring, 2015By Y N Zhang11Spring, 2015By Y N

4、Zhang12连续时间系统特征函数与特征值给定系统，如果一个信号的输出为输入信号乘以某个常数。则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而与该特征函数对应的常数为系统的特征值（eigenvalue）。Spring, 2015By Y N Zhang13LTI系统的特征函数与特征值由前所述，复指数函数是LTI系统的特征函数（eigenfunction），而给定参数s，常数 为相应的特征值（eigenvalue）。Spring, 2015By Y N Zhang14Spring, 2015By Y N Zhang15连续时间系统如果任意信号能表示成复指数信号的 线性组合，那么LTI

5、系统的输出就很容易表示。2. 连续时间周期信号的傅立叶级数表示连续时间周期信号 给定连续时间周期信号 ，其基础周期为T，则 其基础频率 。Spring, 2015By Y N Zhang16谐波集 给定基础频率 ，定义复指数信号集为谐波集 k=0为常数，k=+1/-1为一次谐波分量， k=+N/-N为N次谐波分量。Spring, 2015By Y N Zhang17傅立叶级数（Fourier Series）展开 利用谐波集中信号的线性组合，有如下形式的表达式 如果一个周期信号能表示成上面的形式，则称为傅立叶级数展开。Spring, 2015By Y N Zhang18连续时间信号的傅立叶级数（

6、Fourier Series）展开 给定基础频率为 的周期信号 ，假设信号能展开为傅立叶级数形式： Spring, 2015By Y N Zhang19现在问题来了！ 如何确定连续时间周期信号的傅立叶级数展开式中的系数 ？ Spring, 2015By Y N Zhang20 Spring, 2015By Y N Zhang21 Spring, 2015By Y N Zhang22重要结论 上式本质上意味着谐波集 是正交信号集。而傅立叶级数展开是对连续时间周期信号的正交分解或正交展开。Spring, 2015By Y N Zhang23 Spring, 2015By Y N Zhang24在上

7、述积分中，由于信号及各次谐波都以T为周期，积分限0,T可以可以放宽为任意长度为T的区间。于是有如下结论： Spring, 2015By Y N Zhang25如果连续时间信号存在傅立叶级数（Fourier Series）展开，则有 Spring, 2015By Y N Zhang26 Spring, 2015By Y N Zhang27Analysis equationSynthesis equation3. 连续时间周期信号傅立叶级数的收敛性Spring, 2015By Y N Zhang28 Spring, 2015By Y N Zhang29Analysis equationSynthe

8、sis equationDirichlet条件 P. L. Dirichlet证明了，在满足一定条件下，信号与其傅立叶级数展开式之间几乎处处相等，仅在信号的孤立断点上，傅立叶级数展开收敛于断点两端取值的均值。Dirichlet条件具体描述如下： Spring, 2015By Y N Zhang30条件1： 在任意周期内，信号必须绝对可积，即 信号绝对可积也意味着 Spring, 2015By Y N Zhang31条件2： 在任意有限时间段内，信号的变化是有限的。即，在任意一个周期内，信号只有有限个极大值和极小值。 Spring, 2015By Y N Zhang32例，函数满足条件1，而不满

9、足条件2。其一个周期为 Spring, 2015By Y N Zhang33Spring, 2015By Y N Zhang34条件3： 在任意有限时间段内，信号只有有限个断点。而且，这些断点是有限的。 Spring, 2015By Y N Zhang35好消息： 通常情况下，我们面对的信号都满足Dirichlet条件。傅立叶级数的收敛问题将不会困扰我们！ Spring, 2015By Y N Zhang364. 傅立叶级数的性质Spring, 2015By Y N Zhang37连续时间周期信号 给定连续时间周期信号 ，其基础周期为T，基础频率 。其傅立叶级数表示为 。Spring, 201

10、5By Y N Zhang38线性性： 对基础周期T相同的两个信号，有 Spring, 2015By Y N Zhang39时移性： 假设 有 时移性意味着周期信号若发生时移，其傅立叶级数的幅度（magnitude）不变。 Spring, 2015By Y N Zhang40时间翻转： 假设 有 时间翻转特性意味着周期信号若发生时间翻转，其傅立叶级数也相应翻转。 Spring, 2015By Y N Zhang41时间尺度变换： 假设周期信号发生时间尺度变换，即 变换后的信号为不同基础周期和基础频率的信号。 按照定义，易知新信号的傅立叶级数数值上保持不变，但各次谐波的频率已经不同。（请自行证明！） Spring, 2015By Y N Zhang42共轭与共轭对称性： 假设 有 Spring, 2015By Y N Zhang43 假设信号为实信号，则进一步有 傅立叶级数的这种关系成为共轭对称（c