高中数学一轮复习课件：利用导数研究函数的零点

1、利用导数研究函数的零点题型判断、证明或讨论零点的个数判断函数f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明.解f(x)在(0，)内有且只有两个零点.证明如下：使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，当x(m，)时，有g(x)g(m)0，即f(x)0，从而f(x)在(m，)内单调递减.又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点.利用导数求函数的零点常用方法(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在

2、某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)单调递增.故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.(2)证明：f(x)只有一个零点.综上，f(x)只有一个零点.题型根据零点情况求参数范围解当a2时，f(x)2ln xx22x，例2 已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；解g(x)f(x)axm2ln xx2m，由g(x)0，得x1.当1xe时，g(x)0，函数g(x)单调递减，故当x1时，函数g(x)取得极大值g(1)m1，1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图

3、象的几何直观求解.2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.感悟提升解当a0时，f(x)exex，则f(x)exe，f(1)0，当x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，且极小值为f(1)0，无极大值.训练2 已知函数f(x)ex(ae)xax2.(1)当a0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.解由题意得f(x)ex2axae，设g(x)ex2axae，则g(x)

4、ex2a.若a0，由(1)知f(x)的极小值f(1)0，故f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)1ae0，所以存在x0(0，1)，使g(x0)0.故当x(0，x0)时，f(x)0，f(x)单调递增.因为f(0)1，f(1)0，所以当a0，由(1)得当x(0，1)时，exex.则f(x)ex(ae)xax2ex(ae)xax2a(xx2)0，此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(，0).题型与函数零点相关的综合问题当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；例3 设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x

5、)的导函数f(x)零点的个数；所以f(x)在(0，)上单调递增.故当a0时，f(x)存在唯一零点.(讨论a1或a1来检验，证明由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).感悟提升解f(x)3x2b.f(x)与f(x)的情况为：(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f

6、(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.解f(x)的定义域为R，f(x)exa.当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)单调增区间为(，)，无单调减区间.当a0时，令f(x)0，得x0，得xln

7、a，所以f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，).例 设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值.解由题设可得(xk)(ex1)x10，由(1)的结论可知，函数h(x)exx2(x0)是增函数.又因为h(1)0，所以函数h(x)的唯一零点(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x(0，)时，g(x)0，又h()e20，所以e2且(1，2)，则g(x)ming()1(2，3)，所以k的最大值为2.极限思想在解决零点问题中的应用解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与x轴的交点问

8、题，故需判断函数图象的变化趋势，极限的思想方法是解决问题的有力工具.令g(x)0，解得0 xe，则g(x)在(0，e)上单调递增；例 (1)已知函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.解令f(x)axx20，可得axx2.当x0时，函数yax与yx2的图象有一个交点；当x0时，两边同时取自然对数得xln a2ln x，当x时，g(x)0且g(x)0；解g(x)f(x)3exmex(x2)m，函数g(x)ex(x2)m有两个零点，相当于函数u(x)ex(x2)的图象与直线ym有两个交点，u(x)ex(x2)exex(x1)，当x(，1)时，u(x)0，u(x)在(，1)上单调递减；当x(1，)时