《拓扑学》教学大纲

1、拓扑学Topology一、课程基本情况课程类别：专业任选课课程学分： 3 学分课程总学时：48 学时，其中讲课： 48 学时，实验（含上机）： 0 学时，课外 0 学时课程性质：选修开课学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、实变函数适用专业：数学与应用数学、统计学、信息与计算科学 教 材：点集拓扑讲义，人民教育出版社 熊金城编 1981。开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务拓扑学是数学系本科生的一门基础课。通过该课程的学习，学生应对点集拓扑学的基本理论和方法有比较系统的了解，尤其对拓扑空间和拓扑不变性质能够有比较清晰的认识，对可数性公理及分离公理有较深刻的

2、理解。教师授课时应对比度量空间讲授拓扑空间的定义及重要性质，尤其要讲清楚二者之间的关系，使学生对拓扑空间有较直观的认识。教学主要内容包括拓扑空间的定义，拓扑空间上的映射，拓扑不变性质，可数性公理，分离公理，紧性等。重点讲授拓扑空间的定义及其拓扑不变性质、连续映射，这部分内容应结合度量空间讲深讲透。对于可数性公理、分离公理、紧性等内容应要求学生加深对概念的理解以及重要定理的掌握，几类公理之间的关系应有清晰的认识。三、教学内容和要求第1章集合论初步（5学时）1.1集合的基本概念（0.5学时）了解集合与幂集的概念；理解元素与集合的关系，集合与集合的关系；掌握集合的表示方法。重点：元素与集合的关系，集

3、合与集合的关系。难点：元素与集合是属于关系，集合与集合之间是包含关系。1.2集合的基本运算（0.5学时）（1）了解集合的交、并、差、补概念；（2）理解集合的运算；（3）掌握集合的分配率与De Morgan 公式。重点：集合的运算。难点：De Morgan公式。 1.3 关系（1学时）（1）了解笛卡尔集；（2）理解关系的及其逆的概念，关系的复合；（3）掌握关系的运算规律。重点：关系及其逆的概念。难点：关系及其逆的概念。 1.4 等价关系（1学时）（1）了解恒同关系，自反关系，对称关系，传递关系；（2）理解等价类和商集的概念；（3）掌握等价关系的概念。重点：等价关系与等价类。难点：商集的概念。 1

4、.5 映射（1学时）（1）了解单射、满射、一一映射、投射、自然投射、限制、扩张的概念；（2）理解映射及复合映射的概念；（3）掌握映射及其复合的运算规律。重点：映射、复合映射的概念，映射的运算规律。难点：映射与复合映射的概念。1.6集族及其运算（0.5学时）（1）了解指标集概念；（2）理解集族的交、并、补定义；（3）掌握集族的运算。重点：集族的运算。难点：集族的运算。1.7可数集、不可数集、基数（0.5学时）（1）了解基数的概念；（2）理解可数集、不可数集的定义；（3）掌握可数集的判定方法。重点：可数集的定义及其判定方法。难点：可数集的判定方法。第2章拓扑空间与连续映射（10学时）2.1度量空间

5、与连续映射（1学时）（1）了解球形邻域、邻域的概念；（2）理解开集、度量空间、连续映射的概念；（3）掌握度量空间开集的性质。重点：度量空间中开集的性质、连续映射的概念。难点：度量的验证。 2.2 拓扑空间与连续映射（2学时）（1）了解度量空间与诱导拓扑；（2）理解平庸空间，离散空间，有限补空间，同胚映射，拓扑不变性质；（3）掌握拓扑空间与连续映射。重点：拓扑空间与连续映射。难点：拓扑空间与连续映射。 2.3 邻域与邻域系（1学时）（1）了解利用邻域系定义拓扑的方法；（2）理解邻域的概念，映射在一点处连续的定义；（3）掌握邻域的性质。重点：邻域的概念，映射在一点处连续。难点：邻域蕴含的拓扑。 2

6、.4 导集、闭集、闭包（1学时）（1）了解Cantor集，闭包运算；（2）理解凝聚点与孤立点的概念；（3）掌握离散空间、平庸空间导集。重点：凝聚点与导集的概念。难点：求具体拓扑空间的凝聚点。2.5内部、边界（1学时）（1）了解内部与边界；（2）理解内点与边界点的概念；（3）掌握内部与边界的运算。重点：内点与边界点。难点：内部与边界的运算。2.6基与子基（2学时）（1）了解基数的概念；（2）理解基、子基、邻域子基的概念；（3）掌握基与子基的判定方法，利用基和子基判定映射的连续性。重点：基、子基、邻域子基的概念，基与子基的判定方法。难点：基与子基的判定方法2.7拓扑空间中的序列（2学时）（1）了解

7、度量空间中序列收敛的定义；（2）理解序列的极限；（3）掌握凝聚点与序列收敛的关系，映射连续性与序列收敛的关系。重点：凝聚点与序列收敛的关系，映射连续性与序列收敛的关系。难点：凝聚点与序列收敛的关系，映射连续性与序列收敛的关系。第3章子空间、（有限）积空间、商空间（6学时）3.1子空间（2学时）（1）了解度量子空间的概念，嵌入的概念；（2）理解拓扑子空间的概念；（3）掌握拓扑空间及其子空间拓扑的关系。重点：拓扑子空间的概念，拓扑空间及其子空间拓扑的关系。难点：拓扑空间及其子空间拓扑的关系。 3.2 拓扑空间与连续映射（2学时）（1）了解度量空间积空间的概念；（2）理解拓扑积空间的定义，拓扑空间与

8、其子空间拓扑、基、子基间的关系；（3）掌握利用投射验证映射的连续性。重点：拓扑积空间的定义，拓扑空间与其子空间拓扑、基、子基间的关系。难点：拓扑空间与其子空间拓扑、基、子基间的关系。 3.3 商空间（2学时）（1）了解开映射与闭映射；（2）理解商拓扑、商映射、商空间；（3）掌握求具体商空间的方法。重点：商拓扑、商映射、商空间。难点：求具体商空间的方法。第4章连通性（9学时）4.1连通空间（2学时）（1）了解连续映射下保持不变的性质，可积性质，可商性质；（2）理解隔离的概念，连通空间、连通子集的概念；（3）掌握连通空间的性质。重点：隔离、连通空间的概念，连通空间的性质。难点：连通空间的性质。 4

9、.2 连通性的某些简单应用（2学时）（1）了解高维不动点定理，Borsuk-Ulam定理；（2）理解介值定理、不动点定理、Borsuk-Ulam定理；（3）掌握利用连通性证明介值定理、不动点定理、Borsuk-Ulam定理的方法。重点：连通性的应用。难点：连通性的应用。 4.3 连通分支（1学时）（1）了解两点连通的定义；（2）理解连通分支的定义和性质；（3）掌握连通分支与连通子集的关系。重点：连通分支的定义和性质。难点：连通分支的定义和性质。 4.4 局部连通空间（2学时）（1）了解正弦曲线；（2）理解局部连通的定义和性质；（3）掌握局部连通与连通的关系。重点：局部连通的定义和性质，局部连通

10、与连通的关系。难点：局部连通与连通的关系。 4.5 道路连通空间（2学时）（1）了解道路和黏结引理；（2）理解道路连通空间的定义和性质，道路连通分支的定义和性质；（3）掌握连通、局部连通与道路连通的关系。重点：道路连通空间、道路连通分支的定义和性质，连通、局部连通与道路连通的关系。难点：连通、局部连通与道路连通的关系。第五章有关可数性的公理（6学时） 5.1 第一与第二可数公理（2学时）（1）了解第一可数公理空间与第二可数公理空间的例子；（2）理解满足第一可数公理空间与第二可数公理空间，两者之间关系；（3）掌握满足第一可数公理与第二可数公理空间的性质，满足第一可数公理空间的凝聚点、映射与序列收

11、敛的关系。重点：满足第一可数公理与第二可数公理空间的性质，满足第一可数公理空间的凝聚点、映射与序列收敛的关系。难点：满足第一可数公理空间的凝聚点、映射与序列收敛的关系。 5.2 可分空间（2学时）（1）了解度量空间的可分性；（2）理解稠密子集、可分空间；（3）掌握可分空间与第一、第二可数公理空间关系。重点：稠密子集、可分空间的定义，可分空间与第一、第二可数公理空间关系。难点：可分空间与第一、第二可数公理空间关系。 5.3 Lindeloff空间（2学时）（1）了解Lindeloff空间与度量空间的关系；（2）理解可数覆盖、有限覆盖、子覆盖、开覆盖，Lindeloff空间；（3）掌握Lindel

12、off空间的性质，Lindeloff空间与第一、第二可数空间、可分空间的关系。重点：Lindeloff空间的定义、性质，Lindeloff空间与第一、第二可数空间、可分空间的关系。难点：Lindeloff空间与第一、第二可数空间、可分空间的关系。第六章分离性公理 (12学时) 6.1 To,T1,Hausdorff空间（2学时）（1）了解非To,T1,Hausdorff空间的例子；（2）理解To,T1,Hausdorff空间的定义；（3）掌握To,T1,Hausdorff空间的性质。重点：To,T1,Hausdorff空间的定义和性质，To,T1,Hausdorff空间的关系。难点：To,T1

13、,Hausdorff空间的关系。 6.2 正则、正规、T3、T4空间（2学时）（1）了解度量空间与正则、正规、T3、T4空间的关系；（2）理解正则、正规、T3、T4空间的概念；（3）掌握正则、正规、T3、T4空间的关系。重点：正则、正规、T3、T4空间的概念及它们之间的关系。难点：正则、正规、T3、T4空间的关系。 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理（2学时）（1）了解Urysohn引理的应用；（2）理解 Urysohn引理的内容与证明思路；（3）掌握Tietze扩张定理的内容与证明思路。重点：Urysohn引理和Tietze扩张定理的内容与证明思路。难点：Urysohn引理和T

14、ietze扩张定理的证明思路。 6.4 完全正则空间，Tychonoff空间（2学时）（1）了解完全正则空间、Tychonoff空间的例子；（2）理解完全正则空间，Tychonoff空间；（3）掌握几类空间的关系。重点：完全正则空间，Tychonoff空间，几类空间的关系。难点：几类空间的关系。 6.5 分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间（2学时）（1）了解所有分离公理都不是可商性质；（2）理解所有分离公理；（3）掌握所有分离公理都是拓扑不变性质、也是可遗传性质、有限可积性质。重点：所有分离公理都是拓扑不变性质、也是可遗传性质、有限可积性质。难点：所有分离公理都是拓扑不变性质、也是可遗传性质、有限可积性质。 6.6 可度量化空间（2学时）（1）了解Urysohn嵌入定理的证明；（2）理解Urysohn嵌入定理；（3）掌握可度量空间的等价刻画。重点：Urysohn嵌入定理，可度量空间的等价刻画。难点：可度量空间的等价