理论力学版本第7的合成运动

1、TheoreticalMechanics理论力学第二部分4牵连运动为转动时点的加速度合成定理小球在圆盘的槽内以相对于Mvvrrvveevvaaaaa盘的匀速度 v 运动，同时圆盘以rrr匀角速度 e绕O轴转动。以小球为动点，动系与圆盘固结。aeeaaaaaCC画速度图。O小球的速度大小为：va = ve + vr = e r + vr = 常量r2vr rea2ae又：rre( r v)2v 22v r 2 va2errarrraraeer?得：aeaear aCVector Product Expres Acceleration of the Pos of the Velocity ands

2、 of a Rigid Bodyz刚体内任一点的速度可用矢量积表示，在轴线上任选一点O为原点，动点M的矢径为r，则RanOvMar r vddta M点的加速度即dda ( r ) r dtd ,vdtdt得： a r vv r加速度定理的理论推导zAzd1、求kjdttyrA设动坐标系为Oxy 绕定坐标系Oxy的 z 轴以角速度e转动。先分析 k对 t 的导数，以矢端A点为对象OeirOxOxy ddk k) vv(r(AOOdttdtvA e rA e又：(rOe kk )vO(2)式(1)(2)得：di dk dt i ; je同理， kedtdte定理的理论推导（续1）加速度2、求：d

3、 vrdx ik)rt ( ddt2 xi yjzkxjkt2t2t2ttttttx kja(eeedttdt(djk )redtdtdtvra re即：dvr a vdtrer定理的理论推导（续2）加速度3、求：zzv eMdkejy设M点为动点，其矢径为r当动系绕 z 轴以角速度 e转动时，牵连速度（动系上与动点重合的那一点的速度）为：rrOeirOxOv ryxeedded式中：deeeetttdt r 是动点 M 的矢径， va vevrdtv eder(vv r vveertdeeeera得：edv e a vdteer定理的理论推导（续3）4、 证明将速度dvaaa定理dveaea

4、r2erva = ve + vr 等式两边对时间 t 求导dvrdtdtd分别代入第1部分和第2部分的结果，便得：其中，aC 2e vr 科氏加速度上式表明：当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。aa aearaC科氏加速度的若干说明（1）可以证明上式对牵连运动为任意运动时皆成立，它是加速度定理的普遍形式。当牵连运动为平动时， e = 0， 导致aC = 0，一般式退化到平动时的特殊式。矢aC 垂直与 e 和 v r 组成的平面，指向按右手法则。aC 的大小为： aC = 2e vr sin其中 为 e 与 v r 两矢量间的最小

5、夹角。evraCaC 2e vaa aearaC若干说明（2）科氏加速度的两种特殊情况：aC = 01、下列情况导致a ) 前面提到的= 0，如刚体平动情形。evrb )v r = 0，如图示机构在图示瞬时。 (取销为动点，动系与摇杆OA固结。)Azv eevav rc)e/ v raC如图示绕 z 轴转动的球体，其上一动点沿经向运动到0度纬线瞬时。v rOC e v科氏加速度的若干说明（3）2.evr这是工程中常见的情形，也就是动点在垂直于转轴的平面内运动，此情况下 aC = 2 e v r ，显然， aC 也在动点的运动平面内。其方向的确定采用“将相对速度 vr 顺着牵连运动的转向旋转90

6、便是aC 的方向”。aC 方向的确定：“将相对速度 vr 顺着牵连运动的转向旋转 90便是aC 的方向”。选杆上的 A 点为动点，动系与凸轮(Cam)固结。BBvaaCaCvrveAAveevavreOO科氏加速度的若干说明（4）科氏加速度是1832年由 速度在自然界有所表现。例如，在北半球，奥利（Coriolis）发现的。科氏加e河水时，河水的科vr氏加速度 aC 指向左侧。aC由动力学知，河水必受到右岸对水 的向左的压力。根据作用力与反作 用力定律，河水对右岸有反作用力。北半球的江河的右岸都受有较明显的冲刷。m vrrr奥利，G. G.例11如图，L 形杆以匀角速度绕O轴转动，带动沿固定直

7、杆AB运动。若选为动点，动系与 L 形杆固结。试分别画出速度矢量图和加速度矢量图。arABvBvraCaeOOENDaMAMvraa图示M为一小圆环，套在杆OA和固定的大圆环上，已知杆OA的角速度为。欲求M沿大环滑动的速度。veMvrva试回答下列问题：AM 为动点。（a） 选C动系固结在OA杆上。牵连运动是 OA杆的定轴转动 ； 相对运动是 沿OA杆的直线运动；绝对运动是 沿大圆环的圆周运动；画出速度平行四边形。O（e） 画出加速度图。画加速度图atvevaaraAManevraCanaCaCOCO 图示偏心轮以角速度绕O轴转动，求从动杆O1M的角速度。O1Mve试回答下列问题：vavrO1

8、M杆上M（a） 选为动点。CO（b）动系固结在 偏心轮 上。e（c） 牵连运动是 偏心轮的定轴转动；相对运动是 沿偏心轮轮廓的曲线运动 ；绝对运动是以O1M为半径的圆周运动；（d） 画出速度平行四边形。（e） 画出加速度图画加速度图aCMO1vevaOvrCO1aeananaraneCOe例12图示机构，半径为R的轮A在水平直线上纯滚，轮心 A的速度为 v（常量），固结于轮心的 A 销可在 OB 杆的槽内滑动，选 A 销为动点，动系固结于OB杆上，试在虚线图上画出 =30瞬时点 A 的速度图和加速度矢量图，并且求杆 OB 的角速度、A 点的相对速度、牵连速度、科氏加速度、牵连加速度和相对加速度

9、。BAvO已知速度 v(常量)， = 30, 求OB、vr、 ve 、aC 、 ae 、 ar。B解：先进行速度分析。选A销为动点，OB杆为动系，则va = vAv由 va = ve + vr ,得O= v sin avr= va cos vaA杆OB的角速度：ve v sin 30OA2ROBv4Rvev2vr v2veBvr再进行加速度分析。由加速度定理aAOBOaa式中aaveeCe OaatR3 v2;2 vaCer4R投影分别向 aeaeaarr将aaaraCaaeeaaaaaaanaAernanaee0aeCENDaa3 veC4RaaCCv2a 8Rnv2eOAOB8Rv已求得

10、v r2在图示机构中，设凸轮以匀角速度 转动，图示例13瞬时OA = r ，凸轮轮廓线在 A点的法线An与OA的加夹角为，曲率半径为 。求此瞬时顶杆平动的速度及加速度。解：以杆AB上的A点为动点，动系与凸轮固结。1、求速度B由 va = ve + vrvvvvvaaarr= r vAevv ee recosvrcosOn（注意：尽管 为常量，dvr / dt 0）但，va = r tan 2、求加速度由ra a*)aeC式中aC2B2va r2ereaaaavaaCCrr 222vnAar r cos2 arrraaanneeerrn将(*)式向法线An方向投影，得Oaoso anaaeCaa

11、n得 aarCcos即aeENDrCrnaet22a (cos2 cos3 )r已求得 v rco解：1. 先求摇杆O1B的角速度1vEeB选销 A点为动点，动系与摇杆O1B固结。vEa由vvEErAaAeArvvvAa vAa s n 式中 vAa= r， vAe2lvArvAe3v1Aa cos vAr 1 AeO1 AAOl选销 E 点为动点，动系与摇杆O1B固结。1 vEevEavEr由O1式中 vEe= O1B 1=4r sin2 =r，vEe3 r r3v vtaEaErEecos3已知曲柄OA= r ， ， = 30。求摇杆O1B的角加速度 1 和刨枕的加速度aE 。2. 求摇杆

12、O1B的角加速度 1选销 A 点为动点，动系与摇杆O1B固结。BE由(*)aer2eCR2 O A式中an2arAaaCe118322aC1ArO4aaeae将(*)式向方向投影，得O13 r2a cos a aeaCe41e(方向与图示相反)负号说明ae杆O B的角加速度1O A1328 已求得 1 v3 rv3 r1Ar2Er3aaaearEB3.求刨枕的加速度aE选销 E 点为动点，杆O1B固结。动系与anaeC(*)由aee O E CA2r2an式中Oe4 321 O1a O E 2re111 3 ra2vC1Er6a c s a将(*)式向方向投影，得aeC23解得 a2即刨枕的加

13、速度aEnd2 2E31332已求得 1vEr 318 例14绕轴O转动的圆盘及直杆OA均有一导槽，两导槽间有一活动销子C，b = 0.1m。已知圆盘以匀角速度 1 =10 rad/s，直杆OA以匀角速度2=4 rad/s分别绕 O轴转动。求 = 30时，销子 C 相对圆盘和相对直杆的速度；销子C 的加速度。A2CbO1通过运动分析，帮助理解将杆与轮分开但同时研究。1、求速度已知： = 30 ，b=0.1m， 1= 10 rad/s ， 2 = 4rad/s选销 C 为动点，分别将动系固结在杆上和轮上。有(1)(2)vr 2vCve2合并式(1)、式(2)得v ve2ve1vr 2(3)1，1

14、CvvCvrr22r1bvee22vee1OO分别将式(3)向y轴和轴投影2b 2b 1 123(v; v)y :ve1e22ee222ve1233ve2225( )4b12333 :vvve1re222(ve1 ve2 )4b (458b1330.8m s)vr10.4(m s)vr 2 = 302yCCr 2ebe 2OOx2、求加速度4 ;52 ;52b 20 ;2622vvaar1r 2e11e2233353 16a 2 v 16; 2 vaC11r1C225与求速度同理，下式ae1 + ar1 + aC1 = ae2 + ar2 + aC221CeraaCC112aar 2aar 2

15、aaCC22Crr11yCvvaee22 vvrr22aaee11rr11bOOx = 3020 ;a3a C1 = 16 ；a=16/5。C2将 ae1 + ar1 + aC1 = ae2 + ar2 + aC2向轴投影：483 a1 a2266得 a （aC 2 2 aC1 ) ) 2arC1C 2r122333为了求销C的加速度，选轮与销为研究对象销C的加速度可以分解成x、y向的两矢量， aa = aax + aay则将 aax +aay= ae1 + ar1 + aC1分别向 x 轴和 y 轴投影aC12a1r 2aar1C 2CyCae 2ae1bOOx48202a ax :aax r1e1253 362353 a0 6y :aaa y C1e1242704a2a236ax a y7575END6 004(/s2 )aaC12aCr1yCae1bOOxa20 ;a C1 = 16a483r15本章小结1、点的绝对运动是点的牵连运动和相对运动的结果。动点相对与定参考系的运动为绝对运动；动点相对与动参考系的运动为相对运动；动参考系相对与定参考系的运动为牵连运动2、点的速度va = ve + vr定理va动点在绝对运动中的速度（绝对速度） vr