单辉祖材力第四章扭转

1、单辉祖材力第四章扭转第1页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二4-1 扭转的概念第2页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：Me Me 工程中注意承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。第3页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二4-2 扭力偶矩计算 扭矩及扭矩图、传动轴的外力偶矩传动轴的转速n ；某一轮上所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：求：一分

2、钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮第4页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之间的关系：(P 马力)(P kW)或第5页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x第6页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。 仿照轴力图的做法，可作扭

3、矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。TTTTT (+)T (-)第7页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图+第8页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。 第9页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD第1

4、0页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二分别计算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x第11页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在CA段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)第12页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二表面变形特点及分析：gjABDC一、圆轴扭转试验与假设4-3 圆轴扭转横截面上的应力第13页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二（1）、相邻圆周线绕杆的轴线相

5、对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；（2）、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。平面假设：变形后横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，而且，半径仍为直线。概言之，圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。第14页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二表面正方格子倾斜的角度直角的改变量切应变gjABDCgABC D B1A1D1 C1 DD1C1C横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。第15页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二gMe Me djgDGGETTO1O2ababdx

6、DAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd二、横截面上的应力公式1、几何关系第16页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二即相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd第17页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应变成正比。2、物理方面Od？横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即剪应力沿截面的半径呈线性分布。第18页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二3、静力学方面称为横截面的极惯性矩trdA t

7、rdA rrrO令得T第19页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二Od圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：rtmaxtrtmaxT1、T为横截面上的扭矩2、Ip为截面参数，取决于截面形状与尺寸3、为所求点距圆心距离。第20页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二发生在横截面周边上各点处。称为抗扭截面系数最大切应力tmaxtmax令即OdrtrT三、最大扭转切应力第21页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二同样适用于空心圆截面杆受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr第22页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二圆截面的极惯性矩I

8、p和扭转截面系数Wp实心圆截面：几何性质Odrrd第23页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二空心圆截面：DdrrOd第24页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二注意：对于空心圆截面DdrrOd第25页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二四、薄壁圆截面轴的扭转切应力式中： 代表圆管的平均半径， 代表壁厚。第26页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二等直圆轴材料的许用切应力4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计第27页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例1 实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截面上距

9、轴线40mm处的点的剪应力。(2) 若已知=40MPa，试校核轴的强度。解：内力分析由扭矩图得知T2危险横截面在AC段，Tmax应力计算第28页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二 强度计算第29页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。解： 1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACB第30页，共54页，2022年，5月2

10、0日，3点26分，星期二BC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）第31页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例实心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的重量比。(a) Me Me d1lMe (b) Me lD2d2第32页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二解：已知得第33页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二两轴的重量比可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。讨论

11、：为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？第34页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a d 。 试推导弹簧的应力计算公式。第35页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二解：1、 求簧杆横截面上的内力分离体的平衡2、求簧杆横截面上的应力a) 与剪力相应的切应力b)与扭矩相应的最大扭转切应力max扭矩第36页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二最大切应力发生在簧丝截面内侧，其值为: 当D d 时, 略去剪力的影响和簧圈曲率的影响: 当D / d 10 时, 或计算精度要求较高时,须考虑剪力和簧圈曲率的影响:第

12、37页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二4-5 等直圆轴扭转时的变形刚度条件、扭转时的变形两个横截面的相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为gMe Me jdjgDTTO1O2ababdxDA第38页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时称为等直圆杆的扭转刚度相距l 的两横截面间相对扭转角为gMe Me j(单位：rad)第39页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d

13、=70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：BA段AC段M1M3 BACM2 dlABlAC第40页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二2、 各段两端相对扭转角：jCAjABM1M3 BACM2 dlABlAC第41页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二3、 横截面C相对于B的扭转角：jABjCAM1M3 BACM2 dlABlAC第42页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二、刚度条件等直圆杆在扭转时的刚度条件：对于精密机器的轴对于

14、一般的传动轴常用单位：/m第43页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5。已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角 =0.3 /m 。试选择轴的直径。解：1、按强度条件确定外直径D第44页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二2、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径第45页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二 扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要

15、难点仍是由变形协调条件建立补充方程。例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试求杆两端的支反力偶矩。 解： 一次超静定 设想固定端B为多余约束，解除后加上相应的多余未知力偶矩MB，得基本静定系。MeABablCIIIMeMACABIIIxBM4-6 简单静不定轴第46页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二 变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为 平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB 按叠加原理：BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。线弹性

16、时，物理关系(胡克定理)为代入上式可解得 MA可平衡方程求得 。第47页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。 解：画出受力及变形简图 写出独立平衡方程 一次超静定问题。 ABljaMbMMeABMeeMrbarl第48页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在

17、一起，故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为 代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。 并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），可见在两杆交界处的切应力是不同的。dDT1T1ttt2min1max2max21第49页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二4-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形横向线变成曲线平面假设不再成立，可能产生附加正应力横截面发生翘曲不再保持为平面、等直非圆形截面杆扭转时的变形特点第50页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二非圆杆两种类型的扭转自由扭转(纯扭转)此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加正应力产生此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有附加正应力产生1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束不能自由翘曲时约束扭转第51页，共54页，2022年，5月20日，3点26分，星期二、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形一般矩形截面等直杆ttp时1、 tmax发生在横截面的长边中点处；2、横截面周边各点的切应力必定与周边相切，沿周边形成与扭