向量在立体几何中的应用毕业论文

1、 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESISPAGE PAGE 22编号 学士学位论文向量在立体几何中的应用 学 士 学 位 论 文 BACHELOR S THESIS摘要在本论文中主要介绍几种用向量法来解决立体几何问题的方法。并说明这中方法在解决问题中的应用和重要性。当所涉及的线，面在一些特殊的几何模型中（如以正方体，长方体，正四面体为背景），往往容易建立空间直角坐标系，仿射坐标系。关键词：线线；线面；面面 . 目录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc294035334 摘要 PAGEREF _Toc294035334 h 1 HYPERLINK

2、 l _Toc294035335 引言 PAGEREF _Toc294035335 h 3 HYPERLINK l _Toc294035336 1.线线问题的解法 PAGEREF _Toc294035336 h 3 HYPERLINK l _Toc294035337 1.1利用向量法证明线线垂直问题 PAGEREF _Toc294035337 h 3 HYPERLINK l _Toc294035338 1.2线线角的计算 PAGEREF _Toc294035338 h 4 HYPERLINK l _Toc294035339 1.3线线距的计算 PAGEREF _Toc294035339 h 5

3、 HYPERLINK l _Toc294035340 2.线面问题的解法 PAGEREF _Toc294035340 h 8 HYPERLINK l _Toc294035341 2.1利用向量证明线面平行问题 PAGEREF _Toc294035341 h 8 HYPERLINK l _Toc294035342 2.2利用向量证明线面垂直问题 PAGEREF _Toc294035342 h 10 HYPERLINK l _Toc294035343 2.3线面角的计算 PAGEREF _Toc294035343 h 11 HYPERLINK l _Toc294035344 2.4线面距的计算 P

4、AGEREF _Toc294035344 h 14 HYPERLINK l _Toc294035345 3.面面问题的解法 PAGEREF _Toc294035345 h 15 HYPERLINK l _Toc294035346 3.1利用向量证明面面平行问题 PAGEREF _Toc294035346 h 15 HYPERLINK l _Toc294035347 3.2利用向量证明面面垂直 PAGEREF _Toc294035347 h 17 HYPERLINK l _Toc294035348 3.3面面角的计算 PAGEREF _Toc294035348 h 19 HYPERLINK l

5、_Toc294035349 参考文献 PAGEREF _Toc294035349 h 21 HYPERLINK l _Toc294035350 致谢 PAGEREF _Toc294035350 h 22引言向量在数学，力学，物理学和工程技术中应用很广泛的一个概念。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解题步骤，大多数学，物理问题用向量来解决往往解法简单明快，尤其是用向量法解决比较难解的空间角，距离，面面垂直，面面平行，线面垂直，线面平行等问题比较方便。总之，许多几何证明问题用向量法来解决简单，思路清晰。线线问题的解法1.1利用向量法证明线线垂直问题设分别为直线的一个方向向量，那么；或，则.或，

6、则 .例1 如图（1-1-1）在三棱锥中，是边长为4的正三角形，分别为的中点 .求证 ;解 本题就属于证明空间异面直线垂直的问题，取，连接因为所以且因为，所以所以，如图所示建立空间直角坐标系，则所以,因为 所以.1.2线线角的计算 空间角是立体几何题中考查的重点，其中两异面直线所成的角是考查的重中之重。若用向量的数量积来处理这类问题，则思路简单，操作起来更为方便.求异面直线所成的角：利用直线的方向向量求异面直线所成的角，设异面直线的方向向量分别为，为异面直线所成角，则 .例2 如图（1-2-1）在长方体中，已知,分别是线段上的点，且.求 求直线与所成的角；解 以为原点，分别为轴，轴，轴的正向建

7、空间直角坐标系，则有,于是 ，, ,设与所成角为 ,则 =即异面直线与所成角为 或 .1.3线线距的计算两异面直线的距离是数学中的一个难点，如果用向量的数量积来处理这类问题，则思路简单，解法固定 .要求两异面直线与之间的距离最终也要转化为线两点面距.用两种方法计算：(1) 两异面直线间的距离等于它们公垂线的长.如图（1-3-1），设两异面直线与它们的公垂线的交点分别为,而与分别为直线上的任意点，于是公垂线的长= 或 . (2)可先设、的公垂线段（、），再由垂直向量性质得，从而得到、的坐标，最后算出所求.例3 如图（1-3-2），在单位正方体中，在一个平面的对角线上取点,使;在另一对角线上取点，

8、使.求证 是和的公垂线，并求的长 ;证明 建立空间直角坐标系 如图（5-23），则=，=，从而,因为= ,从而是,的公垂线，而且 所以异面直线与的距离为 . 例4 如图（1-3-3）四面体 中，两两垂直， .求 两斜棱间距离 ，即与间的距离 ;解 如图所示建立直角坐标系 ，则 ， 设，且，则得即从而和间的距离为=同理可得和间的距离为= . 2.线面问题的解法2.1利用向量证明线面平行问题直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题。如（2-1-1）即，求出平面，已知,如果，则可判定面.例5 如图（2-1-2）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且

9、,是线段的中点 .求证 平面 ； 证明 建立 如图所示的空直角坐标系，设与相交与，连结，,的坐标分别为,有,又点的坐标分别为，,有,所以 ,又因为平面，平面,所以平面.例6 如图(2-1-3)，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 .求证 直线；证明 作于点P,如图(2-1-3)分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系则,设平面的法向量为，则,即 取,解得=0平面.2.2利用向量证明线面垂直问题如图（2-2-1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么；或欲证直线和平面垂直，只须求出平面的法向量，然后定是否等于，它们是否共线，如果共线的话，则可说明平面.例7 如图

10、(2-2-2)，正三棱柱-的所有棱长都为2，D为中点. 求证 面;证明 取中点，连结为正三角形，xzABCDOFy取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则， ,. ，,，平面 2.3线面角的计算 直线与平面所成的角求法很多，下面主要讲两部分：(1)求直线与平面所成的角：已知平面，直线与平面相交，设平面的法向量为，直线的方向向量为平面所成的角为，则所求的角 .(2) 平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到.yzABCC1A1B1GDEEE例8 如图（2-3-4

11、）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心.求 直线与平面所成角正弦值.解 题中显然所求的角为，但在中没有求解的条件.由题中条件，可轻易建立坐标系（如图），由直三棱柱只知高度为，所以设底面直角边，从而算得立体中各点的坐标， 如、，由得，得向量、 ，由数量积得与平面所成的角为.例9 如图如图(2-3-5),四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，AB2，BC =2，SASB.求 直线SD与平面SAB所成角的大小;解 作于E点，则 =又BC=2,即E点是BC的中点. 又,即SE是BC的中垂线.以E为原点,分别

12、以向量的正方向为x轴、y轴、z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图(2-3-5)所示，容易求得SE=1, 于是A(,0,0),B(0,0),C(0,-,0),D(,-2,0),S(0,0,1),E(0,0,0). 设平面SAB的法向量, , 令,得.又设直线SD与平面SAB所成的角为,则， .2.4线面距的计算关于线面距的问题也是数学中的一个难点，如果用向量的数量积来处理这类问题，则思路简单，解法固定 .点面距与线面距总是可以互转化的，首先求斜线平面 的法向量，设线面角为,则 = ; 然后如图（2-4-1）求直线 到平面的距离，也就是求点到平面的距离，即,例10 如图(2-4-2)，在四面体

13、ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，,求 点E到平面ACD的距离 解 连结， 在中，由已知可得 而，, 即 从而 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则设平面ACD的法向量为则 ，令得是平面ACD的一个法向量又点E到平面ACD的距离3.面面问题的解法3.1利用向量证明面面平行问题如图（3-1-1）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。即，要证平面平面，求出两平面的法向量若，则。或者把向量在平面平行定理中应用可以解决的。比如，“若果两平面都垂直于同一直线，那么两平面平行”.例11 在平行六面体中.求证 平面与平面平行 ; 证明 如图（3-1-2）设 ， ， =又，所以= ,这说明平面

14、垂直于同一直线，所以平面/平面平行 .例12 如图（3-1-3），在正方体中，M、N分别是棱、的中点，E、F分别是棱、的中点.求证 平面AMN平面BDFE;证明 以D为原点，DC、DA、所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图(3-1-3)所示空间直角坐标系.设正方体棱长为 1，则A(1,0,0), (1, ,1),N(,0,1), E(,1,1), F(0, ,1)FEMzyADCBA11B11C11D11xN1, 且,即E、F、B、D四点共面.设是平面BDFE的一个法向量，则 可取 是平面BDFE的一个法向量.易验证， .即也是平面AMN的一个法向量，平面AMN平面BDFE3.2利用向量证明

15、面面垂直如图（3-2-1）要证平面平面，求出两平面法向量，若，（即）则平面平面.例13 如图（3-2-2），在正方体中分别是上的点.求明 ；证明 建立空间直角坐标系，则并设则，如，,又设平面,的法向量分别为=， =， 即 平面平面 .3.3面面角的计算求二面角的平面角：已知二面角，设平面的法向量分别为，为二面角的平面角，则 . 例14 如图（3-3-4）在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形平面底面.求 面与面所成的二面角的大小；解 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则,.容易可知，平面的法向量平面的法向量，,，故 ， 所以面与面所成的二面角 . 总结在本文中主要讨论了

16、利用向量法来解决线线，面面，线面等立体几何问题，还有利用向量的数量积，向量积，等性质来证明及计算立体几何问题。 由这些方法表明了向量在证明立体几何问题中的优越性，操作性，稳定性。这些问题用向量来解决时很容易，很方便 .所以掌握好向量概念，应用这些概念处理问题是不错之选 .参考文献黄懋得，邬玉鑫，马国强.向量代数在几何中的应用（第一版）,河南大学出版社，1987年12日 . 吕林跟，许子到 .解析几何（第四版） 数学教学研究.“一道立体几何题的三种解法及其比较”，2005年第8期,34页 . 数学通报.“例谈利用向量法求解高考立几综合题” ，2005年第44卷第3期，39页 . 数学教学研究 .“深探教材习题功能，搞好数学常规教学 ”，2008年10月第27卷 第10期 ，30页 . 数学教学研究 .“利用向量求解空间角” ,2005 年， 第8期 ，27页 . 数学通报 .“用空间向量解立体几何题” ，20