数学与艺术论文

1、第 页数学与艺术数学与艺术摘要：数学与艺术，在许人眼里，是毫不相干的。然而，本文要研究的就是其相关性。其 实，数学作为一门科学，在一定程度上同样是一门艺术。本文讲述了数学与艺术的关系， 通过分别举数学与音乐、绘画、建筑和文学的例子，论证了数学与艺术的相关性。从此也 认识到，数学与艺术之间紧密不可分割。关键词：数学；艺术；关系。1、数学与艺术的关系数学“学问的基础”是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念 的一门科学。它给人智慧，使人严谨。它内容抽象，逻辑严密，应用广泛，号 称“所有科学中的皇后”。而艺术是人类以感情和想象作为特性的把握世界的 一种特殊方式，即通过审美创造活动再现现实和表现情感

2、理想，在想象中实现 审美主体和审美客体的互相对象化。具体说，他们是人们现实生活和精神世界 的形象反映，也是艺术家知觉、情感、理想、意念综合心理活动的有机产物。 音乐、绘画、雕塑、建筑、文学、戏剧、影视等均属于艺术的范畴。形象性、 主体性和审美性构建了艺术的支架。表面看来，要把数学与艺术联系在一起却实是天方夜谭，也的确迎合了不少人 的观点。不少人认为：数学是通过人的右脑工作，而艺术是通过人的左脑工 作。数学家理性而严谨，艺术家感性而浪漫。他们是两个完全不同类型的人 群，数学思维与艺术思维截然不同，毫无共同性可言。但是根据唯物辩证法来 看，世界上的一切事物都处于相互影响、相互作用、相互制约之中。所

3、以，数 学与艺术也必然存在着联系。数学与艺术都在追求美的极限。英国著名哲学 家、数学家罗素曾经这样描述：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而 且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我 们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到 崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境 地。”数学美表现为对称、和谐、简洁和奇异 , 是一种理性的美。艺术美是艺术 的核心，它来源于现实美，又高于现实美，是现实美的凝炼化，集中化。冈察 洛夫说过：“美是艺术的目的和推动力。” 数学理论和艺术形象的形成都是选 择、提炼、集中、概括、典型化、

4、理想化的过程 , 这也证实了数学和艺术都在恰 到好处近似地描绘世界。正如著名数学家波莱尔所说：“数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导，据以评价的2、数学与艺术形式 数学对艺术的影响由来已久，在文艺复兴时期艺术家利用透视原理创作出不朽 的名作，在 20 世纪荷兰艺术家埃舍尔对无限拼图的探索给人以启迪，萨尔瓦 多达利利用四维立方体的展开图画出了使人震撼的作品。艺术家们从斐波那 契数列，最小曲面、麦比乌斯带中得到启发。数学家们利用雕塑来宣扬数学的 成就。数学与音乐 音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的 产物。两者看似是风马牛不相及的事物之间

5、有联系吗？答案是肯定的。 古希腊的毕达哥拉斯曾说过：“宇宙是由声音与数字组成的。”可见数学与音 乐之间的关系源远流长。数学与音乐阐释了形象与抽象之间的联系，可以说， 音乐是形象化的数学，数学是抽象化的音乐。其实，数学与音乐结缘自古已然。这最早可以追溯到公元前六世纪 , 古希腊的毕 达哥拉斯学派用比率将数学与音乐联系起来。他们不仅认识到所拨琴弦产生的 声音与琴弦的长度有着密切的关系，从而发现了和声与整数之间的关系，而且 还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的。于是，毕达哥拉斯音阶 和调音理论诞生了，而且在方音乐界占据了统治地位。虽然托勒密对毕达哥拉 斯音阶的缺点进行了改造 , 得出了较为

6、理想的纯律音阶及相应的调音理论，但是 毕达哥拉斯音阶和调音理论的这种统治地位直到十二平均律音阶及相应的调音 理论出现才被彻底动摇。在中国，亦是如此。历律相系，黄钟起度。所谓“历律相系”，“历”，是指 “历法”，而天文历法又与数学紧密联系。在汉书、后汉书和隋 书等古代史书里都有“历律志”，说的是天文历法和音乐方面的内容。最早 产生的完备的律学理论是三分损益律，时间大约在春秋中期。管子地员 篇和吕氏春秋音律篇中分别有述。明代朱载埔 (1536 1610)在其音乐 著作律学新说对十二平均律的计算方法作了概述，在律吕精义内篇 中对十二平均律理论作了论述，并把十二平均律计算的十分精确，与当今的十 二平均

7、律完全相同，这在世界上属于首次。由此可见，在古代，音乐的发展就 与数学紧密地联系在了一起。从那时起到现在，随着数学和音乐的不断发展， 人们对它们之间关系的理解和认识也在不断地加深。现代音乐与数学更是有着 密不可分的关系，从音乐理论到具体的简谱书写，从音乐创作到音乐演奏，数 学都扮演了不可或缺的角色。数学方法的应用给音乐的发展提供了强劲的动 力，并将不断促进音乐的进步。数学与绘画西洋绘画与中国绘画的比较 中西方文化存在着非常大的差异。所以艺术的表现也有很大的区别。在绘画 上，中国画注重神韵，偏于主观；西洋画注重形似，偏于客观。对于中国绘画 与西洋绘画来说，丰子恺在中国画与西洋画中对两者做了比较，

8、有下列的 五个异点：1. 中国画盛用线条，西洋画线条都不显著。2. 中国画不注重透视法，西洋画极注重透视法。东洋人物画不讲解剖学，西洋人物画很重解剖学。中国画不重背景，西洋画很重背景。东洋画题材以自然为主，西洋画题材以人物为主。数学与西洋绘画 针对于西洋绘画注重的透视法和解剖学来说，都应用了数学。在艺术创作领域 公认的有两次最大的创新，一次是文艺复兴，另一次是 20 世纪初兴起的现代艺 术。两次大的变革都与几何学的变革有关。前者与三维透视几何有关，后者与 N维几何和非欧几何有关。其中的代表人物就是达芬奇和康定斯基。 文艺复兴时期，意大利巨匠达芬奇曾说过：“能欣赏我的作品的人，没有一个 不是数学

9、家。”以他为首的大批科学家、艺术家在文艺复兴时期共同探索数学 与艺术的关键，论述了透视的重要性，并将“黄金矩形”运用到了绘画创作 中。将数学与绘画的结合，科学严谨与美的体验相容，为艺术创作开辟了新的 时代。他创立了一整套全新的数学透视理论体系，把这种透视理论体系中的数 学精神注入绘画艺术之中，创立了全新的绘画风格。几何上的对线段所作的 0618 分割也被达芬奇称之为“黄金分割”（图 1）。“最后的晚餐”（图 2）、“雅典学院”（图 3）等名画不仅是艺术杰作，同时也是运用数学透视理 论的典范。而且，艺术家们的工作促进了数学的发展，这孕育了后来诞生的新 的数学分支射影几何学。它以德萨格定理、帕斯卡

10、定理为基础，以焦点透 视系统为前提，推导出一系列关于投射、截面的影响几何原理，其精神在绘画 艺术中得到充分体现。此后，德国画家丢勒把几何学运用到艺术中来，（其代 表作是忧伤图 4）使这一门科学获得理论上的发展。 18 世纪末，法国工程 师蒙许创立的直角投影画法，完成了正确描绘任何物体及其空间位置的作图方 法，即线性透视。达芬奇还通过实例研究，创造了科学的空气透视和隐形透 视，这些成果总称透视学。现代艺术的理论家之一康定斯基认为一种伟大的、几乎无限的自由是现代艺术 的特征，而作为现代数学基础的集合论的创始人康托尔则认为自由性乃数学的 本质。康定斯基把“结构”引入绘画，这又与著名的当代数学流派布尔

11、巴基的 “结构主义”不期而遇。康定斯基在 1923 年发表的点线面一书中对几 何基本对象的艺术表现作了深入的分析，更是直接将数学与艺术联系起来。数学与中国绘画 在中国的绘画艺术中，同样也运用了“黄金分割”以及“透视”等数学技巧。2图1其中，以张大千为代表。对于这位 2O世纪中国画坛最具传奇色彩的国画大师， 数学在他的画里得到了良好的发挥与应用。也正因为如此 ，使得大千画作有了 更为深刻的意境和艺术价值。张大千的 临 印 度 画 仕 女 （图 5）, 融人了一 些印度色彩。该画线条 弧度 十分自然，事物位置安排都达到一种和谐的绘画视觉效果和艺术效果。 该画宽 45.7mm, 高 117mm,画面

12、人物腰部到画顶、画底距离分别为 42mm、68mm, 仕女 眼高 65mm仕, 女脚底到孔雀中心距离为 40mm, 其比例均满足黄金分割比 例关系, 绘画中横竖两条黄金分割线相近于人物中心 , 图画聚焦于竖线的黄金分 割水平 位置 , 人物服饰的弧线焦点都在第二次黄金分割点上。人物重心在以 人视线与孔雀重心之间视线为一边构成的等腰三角形的重心上，绘画这样的位 置安排使得绘画呈现出更稳定的状态，这也是利用了数学中三角形的稳定性 , 我 们发现在这幅印度仕女图中，人物画像的各种比例数据达到了惊人的 0.618 ， 也就是所谓的黄金分割比例，人体美 学的评判标准之一也就是身体各部位之间 的黄金比例，

13、这也是最重要的一点。 同时，在大千画中，充分利用了透视学 , 在平面上再现 了空间感、立体感，使画显得更真实，身临其境一般。他的黄 山九龙瀑 （图 6）, 为展现出瀑布飞流直下三千尺的动态，以山岩为其背景， 用山岩的陡、直来衬托瀑布，由图中容易发现：山岩和瀑布的线条刚好汇聚与 瀑布的低端，也是近松 的顶端，这也是整幅绘画的聚焦点，充分利用了数学中 多条直线汇于一点 , 形成较强的视觉感受 , 绘画以巨松为近景 ,山岩上的松树和 远处的瀑布为远 景 , 由大 而小，从近及远，突显空间的距离感，增强景物的 立体实感，利用透视学的原理大千用侧笔直皴或斧劈法，突显了山石削立陡峭 和峻螬坚挺的质感，使得

14、绘画达到跟为逼真的效果。 综上不难看出，数学与艺术关系源远流长。图5图6数学与建筑几千年来，建筑与数学“和谐发展”数学为建筑服务，建筑也离不开数 学。数学早已渗透到建筑的各个领域。数学的许多技巧再见建筑中都有体现。 比如“黄金分割”、对称性以及几何学等等。黄金分割建筑师们对数字 0.618 特别偏爱，无论是古埃及的金字塔（图 7），还是巴黎的 圣母院（图 8），或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔（图 9），都与 0.618 有关。 还有，在古希腊神庙的设计中也用到了黄金分割。在古代建筑艺术的杰作中，用得尤为巧妙的当属位于希腊雅典卫城最高处，用 来雅典的护身雅典的古代希腊的帕特农神庙（图10）。如图可

15、以看出，帕特农神庙的各部分尺寸比例中，有很多是符合黄金比的。正因为如此，使帕特农神 庙显得比例匀称，美丽庄严。由于黄金比在建筑中展示了和谐、独特的美，因 此他在数学里也受到了充分重视。这些均表明：自古以来，数学与建筑就有着 密切的联系。图 7图 8图 9图 10对称性对称一种结构，使得物体可以被分割成形状和大小相同的几部分，或者是 物体关于边界和中心的类似重复。对称，给人一种和谐的美感。我要举的第一 个例子，是我们最熟悉的天坛（图 11）。这座沿着道路中轴对称的建筑展现了 令人折服的庄严与肃穆，这是反射对称。图 11另外还有许多，如泰姬陵（图12）、故宫建筑（图 13）、石塔（图14）等等，比

16、比皆是。由此可见，建筑与数学的联系密不可分数学与文学我们都知道，数学属理，文学属文。两者看似没有任何关系。但细细品来，数 学与文学又有一定的统一性。文学是“以美启真”，数学是“以真启美”。文 学是提高人类的素质，数学是建设和谐的世界。虽然方向不同，实质则统一。 雨果说：“数学学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、概率、对数、微积 分中，想像成了计算的系数，于是数学也成了诗。”福楼拜也说过：“越往前 走，艺术越要科学化，同时，科学也要艺术化，两者从山麓分手，又在山顶汇 合。”其实，数学和文学是相通的，学习数学的人要注重文学修养。古今中外诸多数 学家，都有文人的素质与修养，令人称赞。中国香港著名数

17、学家、哈佛大学教 授、菲尔茨奖获得者丘成桐，自幼喜欢史记，且得益匪浅。他说过：“数 学之为学，有其独特之处。它本身是寻求自然界的一门科学，但数学家也如文 学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可谓是人文科学与自然科学的桥 梁。”杨振宁，李政道也是如此，他们都是将数学与文学联系紧密的人。2.4.1 数学与诗歌 如杜甫的“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万 里船”，脍炙人口，数字深化了时空意境。还有他的“霜皮溜雨四十围，黛色 参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”等，表现出强烈的夸张 和爱憎。又如柳宗元的“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江 雪”，数字起

18、了尖锐的对比和衬托作用。他的“一身去国六千里，万死报荒十 二年”和韩愈的“一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千”一样，抒发迁客的失意 之情，异曲同工，惊心动魄。岳飞的“三十功名尘与土，八千里路云和月”， 陆游的“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”，同样壮怀激烈。数字的运用渲 染了诗歌的意境，使表达更为生动贴切。数学与小说 金庸的三部代表作射雕英雄传、天龙八部、鹿鼎记中都蕴含了不 少数学元素。在射雕英雄传中，写了不少不可思议的中国古代术数怪题。 例如“九宫土”、“五图”、“百子图”以及“鬼谷算”、“立方招兵”等五 花八门的难题。着实令数学爱好者们动心，恨不得立即拿来研究一番。其中的 九阴真经又穿插着韩信点兵、大衍求一术，以及天元、地元，人元、物元（实 际上是四元一次联立方程组）等相当过硬的古算内容，让人击节称赞，为之叹 服。总之，数学有其鲜明的特点，在文学中闪烁着光辉。与文学糅合一起，相辅相 成，交相辉映。数学与文学的关系，使我们更加了解数学的奥秘与趣味。数学 能使文学更加充满活力。3、结论 我们已能认识到数学与艺术的关系源远流长。数学是艺术的抽象表达，艺术则 是