高等流体力学-万占鸿08第8讲-流体波动

1、紫金港海洋大楼414：邮箱：wanzh高等流体力学第8讲流体力学与波万占鸿浙江大学海洋学院Ocean College,Universitywanzh1万占鸿,UOnCiv,ersity流体力学与波流体中波的种类波的原理水波空气中的波?2万占鸿,OUnCiv,ersity波(动)？ 现代科学对物理量的两类变化有很好的理解，一类是线性变化，“一份努力，一份成功”，另一类是波动变化，“三十年河东，三十年河西”，“物极必反”。相对而言，“一帆风顺”是很少的，“终极完美”是不可能的，起起伏伏才是常态。涡旋、湍流现象均反映了这一哲理。 “波动”作为科学术语，通常有两方面的含义：一是某种物理讯号在空间的；二

2、是它常和振动或周期性过程相联系。概言之，即物理量在空间和时间上具有周期性特点，就称为波。3万占鸿,OUnCiv,ersity 波动现象广泛地存在于流体之中，水波和声波在周围几乎无所不在，而有些在特殊情况下才会出现，比如超声速流中的激波和长水渠中的孤波。 波的形式各异，种类繁多。有些是眼睛直接看不到的，比如空气中的声波；有些却很容易观察到，比波。4万占鸿,OUnCiv,ersity 潮波(tidal bore)5 千尺丝纶直下垂，一波才动万波随 唐船子和尚颂钓者 涟波(ripple wave)6万占鸿,OUnCiv,ersity 风乍起，吹皱一池五代谒金门7万占鸿,OUnCiv,ersity 毛

3、细波(capillary wave)8万占鸿,OUnCiv,ersity 惊天骇浪：画家笔下的波 流体力学大师笔下的“波”9万占鸿,OUnCiv,ersity 波的定义(Definition of waves) 从经典观点看，波被认为是一种通过介质向外性运动。 Surface wave around an oscillating sphere的周期10万占鸿,OUnCiv,ersity 从现代观点看，波是存在于介质中相对于介质的一种可以识别的讯号；身也可以发生畸变 Ship wave时，讯号的速度可以改变，讯号本11万占鸿,OUnCiv,ersity,OUnCiv,ersity万占鸿 Soli

4、tary wave12,OUnCiv,ersity万占鸿 Shock wave13 2) 波的分类(Category of waves) 基于不同的出发点，可以对波进行不同冠名和分类。比如 横波和纵波14万占鸿,OUnCiv,ersity依据波动与振动的关系，对波动进行划分：纵波：流体质点振动方向与的方向一致。如声波。波动横波：振动方向与方向垂直(垂直和水平横波)。垂直横波：垂直方向振动，水平方向，如重力波。水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向（东西），例如大气长波。15万占鸿,OUnCiv,ersity,OUnCiv,ersity万占鸿 表面波和16,OUnCiv,ersity万占鸿

5、 线性线性波17色散色散波重力波和电磁波等重点介绍：双曲波(Hyperbolic wave)和色散波(Disperwave)双曲波的定义源于控制方程的双曲特性，典型例子是声波。色散波的定义源于波的色散特性，典型例子是重力波。18万占鸿,OUnCiv,ersity流体中波的种类流体中的波：声波、激波、深/浅水波、大气和海洋磁流体波等；的波、物理机制：由于受到某种扰动，而后又在某种力（恢复力）的作用下，使运动具有恢复平衡的倾向；流体惯性和恢复力是发生波动的关键，恢复力性质的不同，如体积弹性力如声波和激波、重力如表面波和了不同类型的波动;、张力如毛细波、电磁力等，就形成重力波、激波、孤立水波。19万

6、占鸿,OUnCiv,ersity,OUnCiv,ersity万占鸿20描述波的基本概念 波幅A、相位q、波数k和波长l、频率w和周期T、波速c（相速）、； 波峰、波谷、波群(包、组)、波节； 频散关系w = w(k)； 群速cg=dw/dk； 非线性(大振幅)波。21万占鸿,OUnCiv,ersity波的原理不同物理现象（介质微振动、热、压力等的的各种参数变化均可波动，波动的控制方程也多种多样，但其基本处在于总量的守恒、不同作用的竞争、制衡（除了时变项外至少还有两项）、以及耗散之微弱。22万占鸿,OUnCiv,ersity流体力学波涉及的力不考虑粘性，主要是理想流体问题；涉及的力：万有引力(潮

7、汐力、重力)、 表面张力、科氏力、浮力、压动力等。重力、浮力、压动力较为显而易见，下面介绍其它几种力。23万占鸿,OUnCiv,ersity表面张力（涟）波表面张力在T/g1/2的时候作用可与重力相当，称为表面重力（涟）波（色散后期基本为单色波），在两端分别称为重力波和毛细波（短波波速大）；空气/水系统中最小波速c=0.235m/s，对应波长为l=1.78cm；水的流速必须大于最小波速才能形成波纹，物体在水流中移动，相对速度必须大于最小波速时才能有上游水波。 w2dTg = 0 lmin= 2pdlk2r24万占鸿,OUnCiv,ersity表面张力=TR-p ds +p ds +Tdq =0

8、 p-p1212水是极性分子，分子间有很强的吸引力，在常压和室温20度 其 表 面 张 力 为72.75 mN/m，正己烷的表面张力只有18.4 mN/m，水银在室温下具有最高的表面张力485mN/m，在高温时，熔态金属的表面张力也很高，如1100摄 氏 度 的 铜 ， 879 mN/m。2h2h1=-R-T= p -px2122x25万占鸿,OUnCiv,ersity涟波(Ripple)在重力波的研究中，没有考虑表面张力。在波长较长的情况下，水面的曲率半径较大，表面张力与重力相比可以忽略不计。当波长小到几个厘米时，表面张力的作用就开始重要起来，当远大于重力的作用时，形成毛细波(表面张力波)，

9、介乎毛细波和重力波之间的称为涟波。涟波的色散关系26万占鸿,OUnCiv,ersity 考虑二维面上的单色波表面张力T (表面张力系数)沿，竖直分量是面切向长 x 的线元上所受表面张力的竖直分量是长线元表面张力竖直分量为27万占鸿,OUnCiv,ersity静水压力为：涟波的压力由静水压力加扰动组成：考虑表面张力的面压力边界条件为：面压力扰动为：重力波引起的压力扰动为：考虑表面张力后，相当于重力加速度变为：与重力波相比，唯一的差别是面条件中增加了表面张力，从而修正了重力加速度，以此取代重力波色散关系中的重力加速度得到28万占鸿,OUnCiv,ersity以深水重力波色散关系为例即深水涟波的色散

10、关系，由此求出群速度和相速度两个深水重力波(负色散)深水毛细波(散)涟波的相速度随波数的变化不是单调的，用dc / dk = 0求出极值点29万占鸿,OUnCiv,ersity可以证明，在该极值点的群速度和相速度正好相等0.23 m/s是深水中涟波可能出现的最低波速，这时的波长是0.017 m，该极值是重力和表面张力相互制约的结果。波长小于该极值呈现毛细波的特性，大于该极值呈现重力波的特性，速度均大于0 23 m/s30万占鸿,OUnCiv,ersity若考虑三维面上的单色波三维面上动力学边界条件31万占鸿,OUnCiv,ersity是无量纲数Bound数重力项和表面张力Bound数很大时为重

11、力波、很小时为毛细波、介乎两者间为涟波若考虑粘性，会出现Ohnes数e在毛细现象并存时会出现Weber数在研究液滴从毛细管中下落时，需要同时考虑这三个无量纲参数32万占鸿,OUnCiv,ersity水波的描述（自己推）u + v= 0 xyw(x +iy,t) = f(x,y,t) +iy(x,y,t)uuu r + u+ vpw = u(x,y,t) +iv (x,y,t)y = - x txzvv vpr t+ u+ v= -+ rgxy yu = f = y , v = y =-fxyxy是水平位移是垂直位移po是大气压力u = x ,v = htt大气扰动(风暴潮）、船波、海底运动（海

12、啸）、日月引 力（天文潮）等p - p= r f - gh tio33万占鸿,OUnCiv,ersity水波问题的基本方程和定解条件基本假定：理想流体不可压 运动无旋 Kelvin condition重力场不计表面张力基本方程zz = (x,y,t)aoxv h(x,y)tp1 V gz f (t)22压力场34万占鸿,OC , Zhejiang University 2 ( x , y , z , t ) 0边界条件及其线性化zz = (x,y,t)aoh(x,y)xx (uid ) 0y )n h(1底面不可zFx,)yx) y)（底面水平）z( h ,02面运动学条件z( , xy)FF

13、,t0)DFFz v0 tDt3面动力学条件p pconst0)p0p012v 2gt求解35万占鸿ejiang University,OC , Zh(x ,y ,t)p1 1 ,( z g t2 ( z t x x ,yy 0 ,z (hz h h ,z ( h ( x ,x x yy0 zy,2 z,t,) 0i,n(fl 机制：面扰动流体柱高差异因重力作用形成水平气压梯度力驱动流体运动质量守恒导致表面升高如此往复，形成波动；面两侧流体的密度不相等，表面的扰动，使得表面一侧的流体穿过平衡分界面而进入另一侧，从而在原先平衡面的位置上就有两种流体存在，处在这种位置上的液体的重力和浮力显然不可能

14、达到平衡，这就产生了恢复力，从而为面附近的流体发生波动提供条件，同时，面的变形也引起流体同一水平面上出现压强波动，它不仅诱面以体的运动，而且也会将波动从扰动源传到远方，即形成表面重力波。36万占鸿,OUnCiv,ersity表面重力波 （无限）深水时流体运动轨迹为圆，长波的波速快；w2 =gk 有限水深（平底）时流体运动轨迹为椭圆，对h时不存在色散现象（波速与波长无关）。u = -Akekzsin (kx - wt)u = -Akch k (z + h )sin (kx - wt)w2= gkth (kh ) ghk 237万占鸿,OUnCiv,ersity水底深度 h对波浪运动的影响浅水波（

15、shallow water wave ）：无限深水波(deep water wave )： h h 1,a 1hag sin(kx t)ekz gk 2 g 2g2gk c 1.25 22g 0.838万占鸿非色散波色散波,OC , Zhejiang University波越长，则跑得越快，周期越长海洋中的潮汐波与河流中的水跃（水库泻水）均属于长波，这时流体质点运动的垂向速度与水平速度相比是个小量。kh 2 h 0 2 gk 2hc gh无限深、有限深和浅水波的比较、 为无限和有限深水波的波长。记 c、c、cs 为三种波的波速， th 2 h2 hth 2 hcccsccc 1当 时时当 c

16、c 2 c cs 3当 h const时h 1c 0.9984当时2ch1 无限深水波,21h 1有限深水波220h 1浅水波（长波）2039万占鸿,OC , Zhejiang University1.251.000.750.500.25 2h 0.000.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 从表面重力波的色散关系，可以得到 假设由于某种扰动而产生了表面重力波，初始时刻的波都集中在扰动源的附近，一般是含有各种单色分量的复杂波系。性理论框架下，各单色分量将按照对应波长单色波的速度行进，它们之间不发生能量的相互传递。由于不同波长的单色波速度不同，随着时间推移，原先在一起的单色波就会

17、逐渐分散开来，这种现象叫色散。因此，经过一段时间的，在沿着波方向的不同位置上，就会出现波长不同的波。于是，在任何局部水域来看，水波总接近于单色的正弦波。也就是，单色波不仅是波的一个分量，而且也是实际存在的水波形态。 另外，如果忽略水波的粘性耗散，水波的总能量将保持不变。但是，初期的水波是集中在扰动源附近的一个小区域，因而，波的能量密度高，波幅也较大。由于色散，水波的后期要散步到一个大面积区域上，波能密度也就大大降低，以致波幅变得很小，所以，小振幅波是波一种状态，具有重要的实际意义。后期的40万占鸿,OUnCiv,ersity波群和群速度E A2振幅表示了波动强度（能量）。 m0 单个简谐波，振

18、幅A是常量。 m 多个简谐波叠加可以表达实际的波动m 振幅是时空的函数波群概念考虑“线性波动”时，使用单个简谐波解考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加称群波或波群或波列或波包。41万占鸿,OUnCiv,ersity Aeik1x1t Aeik2 x2t 1多个简谐波迭加至少是2个。二个振幅相同，频率与波数相近的简谐波迭加的结果。S2k k k& k2112 波数相近 & 2112 频率相近42万占鸿,OUnCiv,ersity Aeik1x1t Aeik2 x2t 1 2 k k1212xit Ae 22kkkk12x1221x21itit e e 2222 eiei cos i sin

19、cos i sin 2 cos43万占鸿,OUnCiv,ersity且令：k k1 k2 , 1 2;22k k2 k1, 2则： 1kti kxx 2 A coste2244万占鸿,OC , Zhejiang Universitykti kx 2 A cosx te22 由上式可见，波群中包含两个波动的乘积。 其中：eikxt 称为高频载波，其波数k和圆频率都分别接近各个单波的波数和圆频率。即, 1 2k k1 k2 k k121222载波的波速也接近于各个单波的波速，即c 1 2kk1k245万占鸿,OC , Zhejiang Universityk而令：Ax, t 2 A cosx t2

20、2称为低频包络，它是载波的包络线，或称波包，因k0， 0，因而波包的波长和周期远大于单波的波长和周期，即波包相对于载波随时空变化是相当缓慢的。波包是载波最大振幅点的连线，波包的移速为： 2 dCkgkdk246万占鸿,OUnCiv,ersity A x, t eikxt 总之，波数为k ，圆频率为，振幅为A x, t 动的波kAx, t 2 A cosx t这里22可见，振幅随时空也是周期变化，且的。波振幅（波能量）的速度称为群速度。 dxCgkkdtA* 常量47万占鸿,OUnCiv,ersityk, 由于k所以振幅的变化要比位相的变化缓慢， 慢变波包48万占鸿,OUnCiv,ersity

21、相近波长两波相干的图画：每一波包就像一列车厢装载着一群行波，这些载波相对于波包运动，其相对速度为c/2；同时，波包本身也以群速度U=C/2向前。因此，波包也称为一个波群。波群中的载波在时，不断地改变其波幅：从左节点开始，载波的波幅先是增长，后来减小，直到在右节点。因此，波群中的波峰和波谷只是一种状态，而不是实体，它们可生可灭。只有波群才是实体。一定波长的波总是依附于波包而存在，并被波包携带前进。49万占鸿,OUnCiv,ersity 波群有两种速度，一是相速度，一是群速度，二者是不同的，相速度是载波的移动速度，是位相速度，而群速度是波包的移动速度，是振幅的速度。 波在三中，波的群速度是一个矢量

22、50万占鸿,OUnCiv,ersity空间非均匀波列的群速度 三中的一般波系，可以分解为具有不同波长并沿各种不同方向的平面单色波的叠加。一个沿空间某一方向的平面单色波，可借助量进行数学描述。量是这样一个矢量，它的大小 2k k 是长度上位相角的变化，或称位相密度，k的方向就是波的方向。 空间平面单色波的数学表达式是 r, t Aeikr t 其中r是场点的矢径，A可以是一个复数振幅，此时取右边的实数部分。任何具有连续谱分布的空间波系可以写成积分式 r, t f k eikr t dk dk是空间中的微元体积51万占鸿,OUnCiv,ersity 空间波系色散关系的一般形式是 k1 , k2 ,

23、 k3 由于色散效应，在每一小局部域上，只着在量k0附近的某狭窄，局部的波系就可以谱域中的平面单色波。将该狭小谱域记成ep表示为 r, t f k eikrtdk 作变量置换k k k0 再将色散函数w(k)在k=k0处展开，有 k k k k2 0k52万占鸿,OUnCiv,ersity 于是，波动速度势可写成ik r t r, t eik 其中，t f k et r i k r kdk = gr te0000kik r t f k f k + k0 ,0 k0 ,g r t f k ekdkk 对比，可以看出，g就是对应于两列单色波的波包函数，它是空间波系的波包函数。波包的运动速度为 U

24、dr dt kg 这就是空间波系群速度的一般表达式，是平面波的推广形式。 对于空间波系，群速度是一个矢量。一般而言，群速度不仅在大小上可以不同于相速度，它的方向也可以不同于量的方向。53万占鸿,OUnCiv,ersity重力（推） 前提条件：重力场中密度随高度递减的连续分层流体； 机制：分层流体中的流团受上下的扰动浮力流块振动振动的形成重力。重力是海洋和大气中流体运动的一种重要现象。海水密度的不均匀主要是由于含盐量的浓度不同，大气的分层则主要由于上下层受热不均。注： 是扰动量，q=0w，w是垂向速度分量。2q 2q N 2 2qd2zg dr22 +2+ = 0 - 0z =02 tz t x

25、2y2gdt2rdz0是各向异性三维横波，ik N 2()k 2 w2z w2g2x2- k+ k= 0不沿重力方向 N为上限。，频率以y-g dr0N =r0 dz54万占鸿,OUnCiv,ersity,OUnCiv,ersity万占鸿55海啸海啸是由于大规模海水水下而产生的一系列巨大的波浪。海啸不是单一的巨大波浪，而是一批具有很长波长和周期的海浪。这些海浪通过能量的释放而向外排水。在能源附近，范围通常不大，但海啸的波浪可长于500公里并可持续一小时之久。通常，波长和周期的增加与海水的深度成正比。周期是两个海浪之间的时间。由于海浪的长度很长，海啸形成海浪，提示海水的深度与海浪长度之间的比率是

26、很小的。在深海里，海啸能高速行进。海啸的波速是重力加速度乘以海水的深度。海啸在太平洋能够快速推进达每小时750公里，超过声速的一半。当海浪靠近岸边时，深度逐渐地减少，海啸。，由于能量的，海浪仍可高达930米之间。由于摩擦和湍流会损失一些能量，但是海浪还是具有极大的能量能够冲上岸边许多英尺。56万占鸿,OUnCiv,ersity非线性(大振幅)波-孤大振幅、非线性；Stokes波、非线性浅水波（uu3u+ ux+x 3= 0孤孤）等；的物理条件：色散和tu = 2 (g (z + h) -gh )非线性；特征：能量有限、碰撞后不变形；例子：水波、光孤子、晶体 3z0 z (x,t) = z0 s

27、ec h(-Ut)2x 4h3位错的等。Uz0 = 2h c- 1,c0 =gh057万占鸿,OUnCiv,ersity有限振幅波较大时，海浪常表现为波峰变尖，波谷变平，并有波峰破碎，水质点有净位移。 不能用线性波进行解释。 根据有限振幅波理论，主要有四种波：波，摆线波，椭圆余弦波和孤。 有限振幅波的波面形状不是简单的正弦曲线，而是波峰较陡，波谷较坦的非对称曲线，这是由于非线性作用所致。波陡H/L,相对强。H/D,相对波长L/D越大，非线性作用越58万占鸿,OUnCiv,ersityStokes波 1847年（Stokes）提出，将波动的速度势函数用一个级数表示，然后展开使其满足非线性边界条件

28、，得到了有限水深条件下2阶近似解和无限深水的3阶近似解。 控制方程和边界条件如小振幅波一样。 对于波陡较小的弱非线性问题，采用了摄动法求解。假设速度势函数和波面曲线都是某一微小参数的幂级数，即59万占鸿,OUnCiv,ersity n 2 . n .n12nn1 n 2 . n .n12nn1是摄动参数，是一个波动特征比值的函数 频散关系波速与振幅有关。 水质点运动轨迹60万占鸿,OUnCiv,ersity2 gk 1 k 2 2 a 1 9 k 2a2 8摆线波 去掉小振幅假定，并认为水质点运动轨迹是椭圆。 根据日式方程，求解得：波剖面为一摆线；运动有旋。 在海洋工程中应用较广。61万占鸿,

29、OUnCiv,ersity椭圆余弦波 去掉小振幅假定。利用幂级数展开，求解得：式中含有椭圆函数，因此得名。波峰高度为Hc，波谷高度为- Ht 。 椭圆余弦波是浅水波，波形在过程中保持不变，当波长趋于无穷时，为孤。62万占鸿,OUnCiv,ersity H (H H )cn2 x ct , k ttc孤于1834年发现河流中的孤现象。即有一个孤 Ru立的波峰保持波形，向前。 至今，孤仍是一个研究热点。其原因是，孤体现了强非线性的影响。63万占鸿,OUnCiv,ersity早在上一个世纪（Aug1834），拉塞耳（John Scott Ru）就观察到了孤当时，他正在苏格兰的运河中以高速船做实验，发

30、现船首出现了长约10m，0.30.5m，速度约1314km/h孤他追踪了约23km现在知道这是一种浅水孤，满足非线性方程：uu3u+6u+=0txx3由于第二项即非线性项的存在，这一方程的解不满足叠加原理容易证明下列函数是该方程的解：x -ctu(x -ct) =Asech2等人（FermiPastaUlam）研B究了两端固定的一维原子链， 在50年代，回复力是F =-k (x +ax2)他们发现最低能量的振动模式并不热化，而是可以一直保持下去。特殊形状的孤可以很远而不变形，具有很好的稳定性，其原因是色散使脉冲变宽，而非线性使它变窄，两种作用可以相互平衡在现今的通讯中，特制的光纤可以无畸变地传

31、送孤信号达数千公里。64万占鸿,OUnCiv,ersity 其求解可以从椭圆余弦波开始，当波长趋于无穷时，得到：波谷高度为0，只有波峰。65万占鸿,OUnCiv,ersity H sec h2 3Hc x ct c4d 3孤与非线性科学 非线性科学贯穿数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，是当代科学研究重要的前沿领域。孤与孤立是推动非线性科学发展的重要概念之一。孤立子于孤，它已在非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用。（John Scott Rul 1808-1882，为）是苏格兰一位优秀的造船工程师。1834年8月在爱丁堡格哥运河中进

32、行船舶全尺寸实验时，发现一个孤立的水波，在浅水河道中长久地保持着自己的形状和波速持续前进。66万占鸿,OUnCiv,ersity “我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，以致我将首先详细描述它所来的外貌。当我正在观察一只高速运动的船舶，让停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了注意。在船身长度的中部附近，许多水在一起，一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一，并以相当高的速度开始向前运动， 到船头后，继续保持它的形状不变，在流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行，直到河道的转弯处才开始掉。”“我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，但发现它运动得很快，我即刻骑上马，在几分