讲义三一元二次方程根的判别式的应用

1、新 起 点 学 校新起点伴你飞得更高！ 第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 联系电话：2270456义三 一元二次方程根的判别式的应用1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。定理1ax2+bx+c=0(a0)中，0方程有两个不等实数根.定理2ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根.定理3ax2+bx+c=0(a0)中，0方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根0.定理ax2+bx+c=0(a0)中，方程有

2、两个相等实数根0.定理6ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.一、不解一元二次方程，判断根的情况例1不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a0).二、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围例2k的何

3、值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.三、证明字母系数方程有实数根或无实数根例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：（1）计算（2）用配方法将恒等变形（3）判断的符号（4）结论.其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。四、应用根的判别式判断三角形的形状例4已知：a、b、c为ABC的三边，当m0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x

4、2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。五、判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（） （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;根与系数的关系根与系数的关系是指:如果是一元二次方程 (0)的两个实数根,则有,它在一元二次方程的解题中有着重要的作用.现就09年中考试题精选几例析解如下,供同学们参考: 一、求参数的值 例1已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（ ）A8BC6D5二、求代数式的值例2关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的

5、值是（ ）A1B12C13D25三、求最值例3已知m、n是关于x的一元二次方程的两实根，那么的最小值是。四、确定参数的存在性例4关于的方程有两个不相等的实数根.(1)求的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由一、填空1.一元二次方程的两根为，则 2.方程的整数解是_.3.试写出满足下列要求的一元二次方程各一个.（1）两个根是0，-2的方程是 ，（2）一个根是正数，另一个根大于2而小于1的方程是 4若关于x的一元二次方程有实根，则a的范围是 5.若是关于x,y的完全平方式，则a= 二、选择题1.方程的根为 （）A.B.C.D.2.

6、关于方程的根的情况是 （）A有两个不等实根B有两个相等实根C没有实根D无法判断3.若方程的根的情况是 （）A.有两个不等的有理数根B.有两个相等的有理数根C.有两个不等的无理数根D.有两个相等的无理数根4.若方程的两次根中只有一个根为0，那么（）A.B. C. D.三、解下列方程 。 。 四、解答题.1.已知，求的值.2.已知关于x的一元二次方程的一个解是0，求m的值。3.已知关于方程的两个实根分别为0，求及k的值.4.已知c为常数，并且方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根和c的值。5.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。6设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式=1，求p,q的值。7是否存在实数，使关于的方程9x2(47)x62=0的两个实根x1,x2，满足 EQ F(x1, x2) EQ F(3,2) ，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。8.已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设