考研数学高等数学下分阶精讲精练讲义

1、数学网络课堂系列高等数学高等数学（下）分阶精讲精练讲义主讲：名师，博士，著名数学辅导，教育部“国家精品课程建设骨干教师”，畅销书高等数学 18 讲、数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育入学数学参考书（大纲）编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀（15 分钟主旨）。首创“题源教学法”，对数学的知识结构和体系有全新的解读，对数学题与复习思路有极强的把握和能力，让学生轻松高效夺取高分。欢迎使用目录多元函数微分学1二重积分7无穷级数10多元函数积分学的预备知识19三重积分27第一型曲线积分31第五章第六章第七章第八章第九章第十章第十一章 第一型曲面积分34第十二章 第二型曲线积

2、分36第十三章 第二型曲面积分38数学网络课堂系列高等数学【注】老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的。老师没讲的内容相对简单，需要同学们独立完成，而讲义中没有的内容需要自己做笔记.第五章多元函数微分学5.1基本概念1、多元函数的定义 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每一个点 P(x, y) D ，变量 z 按照一定的法则总有一个确定的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f (x, y)或 z f (P) .点集 D 称为该函数的定义域， x, y 称为自变量，数集z z f (x, y),(x,

3、y) D 称为该函数的值域.类似地，可以定义三元函数u f (x, y, z) 以及三元以上函数.2、二元函数的极限定义 设二元函数 f (x y)定义在区域 D 上，点 P0(x0 y0)在 D 内或者在 D 的边界上，如果存在常数 A 对于的正数，总存在正数 只要点 P(x, y) D 满足(x x )2 ( y y ，恒有| f(x y)A| 成立 则称 A 为函数 f(x y)当(x)20PP000y)(x0 y0)时的极限 记为 lim f (x, y) A ，此极限称为二重极限xx0 y y0【注】（1）如果 P(x, y) 以不同方式趋于 P(x0 , y0 ) 时，函数趋于不同

4、的值，则可以判定该函数在(x , y ) 点的极限值不存在，即 limf p 不存在，这是由“极限若存在，必唯一”决定的，00pp0在中是重点.（2）能够区分累次极限 lim lim f x, y, lim lim f (x, y) 与二重极限 lim f x, y. 前两个xx0 y y00事实上是两次求一元函数的极限，称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，称为求二重极限。(x2 y2 ) sinxy】已知 f (x, y) x2 y2，求lim f (x, y) .【注例 1x0 y00,xy,x2 y2 0 x2 y2 0】已知 f (x, y) x y22，求lim f (x,

5、 y) .【注例 2x0 y00,1数学网络课堂系列高等数学【注例 3】 lim lim f (x, y) ， lim lim f (x, y) ， lim f (x, y)xx0 yy0yy0 xx0 xx0 y y0如 f x, y x sin 1 y sin.1yx3. 二元函数的连续性如果 lim f (x, y) f (x0 , y0 )，则称 f(x y)在点(x0 y0)处连续.如果 f(x y)在区域 D 上每一点xx0 y y0都连续，则称 f(x y)在区域 D 上连续.【注】验证二元函数 f(x y)在某一点(x0 y0)是否连续是的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不

6、间断点的分类的.4. 二元函数的偏导数（1）定义 设函数 z f (x y)在点(x0 y0)的某邻域内有定义 若极限f (x0 x, y0) f (x0, y0)xlimx0存在 则称此极限为函数 z f (x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作f 或 f (x , y ) zx0000000y y0f (x0 于是， f (x , y ) limx00 x0f (x0 ,f (x , y ) limy00y0f (x, y)f (x, y)【例 1】在全平面上， 0 ， 0 ，若 f (x , y ) f (x , y ) ，则（ ）xy1122（A） x1 x2 , y1 y

7、2（C） x1 x2 , y1 y2（B） x1 x2 , y1 y2（D） x1 x2 , y1 y22 6【例 2】设 f (x, y) e x y ，求 f (0, 0) ， f (0, 0) .xy（2）高阶偏导数 如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx (x, y) 、 fy (x, y) 仍具有偏导数 则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：2 z z) 2 zzf (x, y) fxy (x, y)xyy (x )xx2 z z2 zz f yx (x, y) y2y (y )fyy (x, y) yxx (

8、y )2数学网络课堂系列高等数学其中 fxy (x, y) 、 f yx (x, y) 称为二阶混合偏导数 同样数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数5. 可微（1）定义 如果函数 z f (x y)在点(x y)的全增量 z f(xx yy)f(x y) 可表示为三阶、四阶、以及 n 阶偏导z Ax By o()(其中 A、B 不依赖于 x、y 而仅与 x、y 有关 则称函数 zf(x y)在点(x y)可微 而称AxBy 为函数 zf(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即 dzAxBy（2）可微的必要条件 如果函数 z f (x y)在点(x y)处可微，则该函数在点(x y

9、)处的两个偏导数都存在，且 A z ， B z .xy【注】由于对于自变量 x、y，有x dx, y dy ，则全微分 dz z dx z dyxyzz（3）可微的充分条件 如果函数 z f (x y)的两个偏导数x ， y 在点(x y)处连续，则该函数在点(x y)处可微.【注】判别函数 z f (x, y) 在点(x, y) 处是否可微的程序：（1）写出全增量z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) ；（2）写出线性增量 Ax By ，其中 A fx (x0 , y0 ), B f y (x0 , y0 ) ；z ( Ax By)（3）作极限 limx0y0(x)2 (

10、y)2若该极限等于 0，则 z f (x, y) 在(x0 , y0 ) 点可微，否则，就不可微.f (x, y) 2x y 2 0 ，求f (0,1) ， f (0,1) .【例】设连续函数 z f (x, y) 满足limxyx0 y1x2 ( y 1)26. 偏导数的连续性对于 z f (x, y) ，其在某特殊点(x0 , y0 )（比如二元分段函数的分段点）处偏导数是否连续，是的重点，其步骤为：（1）用定义法求 fx (x0 , y0 )， f y (x0 , y0 )（2）用公式法求 fx (x, y) ， f y (x, y)(x, y) ， lim f y (x, y)，看x

11、(x0 , y0 ) 与（3）计算xx0 y y0y y0y y03数学网络课堂系列高等数学lim fy (x, y) f y (x0 , y0 ) 是否成立，若上述两等式都成立，则称 z f (x, y) 在点(x0 , y0 )xx0 y y0处的偏导数是连续的.偏导连续必可微；可微必可偏导；可微必连续.5.2 计算1、显函数（具体、抽象），复合函数求偏导2、隐函数由方程（组）确定的隐函数求偏导3、偏微分方程变换4、全微分计算5、偏导的逆运算三个关键：（1）链式求导法则a)自变量的个数等于中间变量个数z z u z vz z u z vz f u, v，u x, y，v x, y；xu x

12、v xyu yv yb)只有一个自变量z f u, v， u x， v x， dz z du z dv ，dxu dxv dxc)自变量的个数多于中间变量的个数w f u, v， u x, y, z， v x, y, z， w w u w vxu xv xd)只有一个中间变量w f u， u x, y, z， w d w u ， w d w uxd u xyd u ye)复合函数中含有既是中间变量又是自变量的变量z f x, u, v， u x, y， v x, y， z f 1 f f uvxxuxvx无论 z 对谁求导，也无论 z 已经求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数完全相同的复

13、合结构.注意书写规范.2 z【例 1】设 z f (e cos y, x y ) ，其中 f 有二阶连续偏导数，求xy .x22【例 2】已知函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数， f (1,1) 2 ， f1(1,1) 0 ， f2(1,1) 0 ，2 zz f (x y, f (x, y) ，求 xy.(1,1)u x 2 y2 z【例 3】设变换可把方程62 z 2 z 2 zuv 0 ，求a .v x ay0 简化为x2xyy24数学网络课堂系列高等数学【例 4】设 y f (x,z ) ，其中 z 是由 F (x, y, z) 0 所确定的 x, y 的函数，且 f 与 F 的

14、一阶 F 0 时，有 dy x zzx .偏导数连续，试证：当 zzydxzz y【例 5】设 z arctan x y ，求dz .x y【例 6】设 z f (x, y) 二阶可偏导且 f2 2， f (x, 0) 1 ， f (x, 0) x ，求 f (x, y) .yy25.3应用极值与最值（多元）1、极值与最值的概念极值 设函数 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x0, y0 ) 的点(x, y) ，都有f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0 , y0 ) )则称函数 z f (x, y

15、) 在点(x0 , y0 ) 处取得极大值(或极小值) f (x0 , y0 ) ，极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点最值 设函数 z f (x, y) 在某区域 D 上有定义，如果对于该区域 D 上任何异于(x0, y0 ) 的点(x, y) ，都有f (x, y) f (x0 , y0 ) (或 f (x, y) f (x0 , y0 ) )则称函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 处取得最大值(或最小值) f (x0 , y0 ) ，最大值、最小值统称为最值 使函数取得最值的点称为最值点2、多元函数极值与最值问题（1）二元函数取极值的必要条件) 一阶偏

16、导数存在，则 f(x , y ) 0, f (x , y) 0 .设 z f (x, y) 在点(x , yx00y0000取极值【注】 该必要条件同样适用于三元及以上函数. 上述条件并不充分，也就是说，使 fx (x0 , y0 ) 0, f y (x0 , y0 ) 0 的点并不一定是该函数的极值点，例如函数 z xy 在点(0, 0) 并无极值，但它的两个偏导数z y, z xxy在点(0, 0) 处却都等于零. 如果把满足两个偏导数都等于零的点叫做驻点，则可微函数的极值点就必是它的驻点。尽管这里只给出了必要条件，但是该条件对于具体求解极值问题常是可以找出函数 z 的全部驻点，然后只要从

17、这不多的几个驻点中很重要的，因为通过它，找极值点5数学网络课堂系列高等数学 如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点，但也可能是极值点。例如，函数 z x2 y2 在点(0, 0) 处的偏导数不存在，但该函数在点(0, 0) 处却取得了极小值，因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.（2）二元函数取极值的充分条件（ 判别法） A 0 极值 A f(x , y ) Axx00记 f (x , y ) B ，则 B AC 0 非极值2xy00 f 0 方法失效(x , y ) Cyy00【注】 该充分条件不适用于三元及以上函数

18、. 0 时，只能说明该判别方法失效，而不能确定该点是否为极值点，说得明确一点，考生不可据此说该点无法判断. 如果出现此情形，请从极值定义出发去问题.f (x, y) kx2 2kxy y2 在点(0, 0) 处取得极小值，求k 的取值范围.【例 1】设（3）条件极值与日乘数法(x, y, z) 0求目标函数u f (x, y, z) 在条件下的极值，则 (x, y, z) 0 构造辅助函数F (x, y, z, ,u) f (x, y, z) ( 求偏导数，建立方程组 ux 0FF f u 0yyyyFz fz z uz 0F (x, y, z) 0Fu (x, y, z) 0 解上述方程组得

19、(x0, y0, z0 ) 根据实际问题，必存在最值，所得即所求.z x2 y2【例 2】求u x2 y2 z2 在约束条件下的最大值与最小值.x y z 4【例 3】求u xy 2yz 在约束条件 x2 y2 z2 10 下的最大值与最小值.6数学网络课堂系列高等数学第六章二重积分6.1概念与性质1、二重积分的概念设二元函数 f (x, y) 定义在有界闭区域 D 上，则二重积分概念nf (x, y)d lim f (i ,i )iD 0 i1， 为所有i 的直径的最大值，强调该极限与对区域（1）将 D 无限分割的注D 的分割方式无关；（2）其几何背景是以 f (x, y) 为V、有界闭区域

20、 D 为底的柱体的体积： f (x, y)dD（3）（数学一二要求）其物理背景是以f (x, y) 为面密度的平面区域 D 的质量：f (x, y)d MD（4）要了解二重积分的存在性，也称为二元函数的可积性. 设平面有界闭区域 D 由一条或者几条逐段光滑闭曲线所围成，当 f (x y)在 D 上连续时 或者当 f (x y)在 D 上有界 且在 D 上除了有限个点和有限条光滑曲线外都是连续的，则它在 D 上可积也就是二重积分存在2、二重积分的性质积 d A其中 A 为 D 的面积性质 1求区域D可积函数必有界 当 f (x y)在有界闭区域 D 上可积时则 f (x y)在 D 上必有界积分

21、的线性性质 设 k1、k2 为常数 则k1 f (x, y) k2 g(x, y)d k1 f (x, y)d k2 g(x, y)d性质 2性质 3DDD积分的可加性 当 f (x y)在有界闭区域 D 上可积时 D1D2 D, D1D2 ，则性质 4D(y d (y d ( , y)dD1D2积分的保号性 当f (x y)、g(x y)在有界闭区域 D 上可积时若在D 上 f(x y)g(x y) 则性质 5有Df (x y D(x y d特殊地有, y)d | |( , y)|dDD性质 6 估值定理 设 M、m 分别是 f(x y)在有界闭区域 D 上的最大值和最小值 为 D 的面7面

22、i 0数学网络课堂系列高等数学积 则有mA f (x, y)d MAD性质 7 中值定理 设函数 f(x y)在有界闭区域 D 上连续 为 D 的面积 则在 D 上至少存在一点( )使得Df (x, y)d f ( ,) A3、普通对称性与轮换对称性（1）普通对称性设区域 D 关于 y 轴对称，则2f (xDf (x, y)dxdy D10,【例】设 D 由 y x3 ， y 1， x 1 围成，则 I (xy cos x sin y)d （ ）D（A）0（B）2 xyd（C）2 cos x sin yd（D）2 (xy cos x sin y)dD1D1D1其中， D1 为 D 在第一象限的

23、部分.（2）轮换对称性若把 x 与 y 对调后，区域 D 不变（或称区域 D 关于 y x 对称），则 f (x, y)d f ( y, x)dDD这就是轮换对称性.【例】设 D (x, y) 1 ，常数 0 ，计算 I (ex e y )d .x yD例：求 af (x) bf ( y) d，其中 D (x, y) x2 y2 1, x 0, y .f (x) f ( y)D【自练】计算 I sin(x3 y3)d ，其中 D (x, y)D 1 .x y6.2计算1、直角坐标系下的计算法b2(x)D dx1(x)y2(x)f (x, y)df (x, y)dy其中 D 为 X 型区域axb

24、;（1）a (x)1 2( y)d（2） f (x, y)d c dyf (x, y)dx 其中 D 为 Y 型区域 1(y)x2(y) cyd. (y)1D这里的下限必须小于等于上限.8数学网络课堂系列高等数学2、极坐标系下的计算法（1） f x, ydDf r co（极点 O 在区域 D 外部）r 1（2） f x, ydDf r cos（极点 O 在区域 D 边界上）0（3） f x, ydf r co（极点 O 在区域 D）00D3、极坐标系与直角坐标系选择的一般原则yx（1）先看被积函数是否为 f (x y ) ， f ( ) ， f ( ) 等形式；22xy（2）再看积分区域是否为

25、圆或者圆的一部分.若两者兼是，那么优先选用极坐标系. 否则，就优先考虑直角坐标系（. 这只是一般原则，是大方向，请大家一定不要教条化.）4、极坐标系与直角坐标系的互相转化x r cos把握两个桥梁就可以，一是用好这个公式，二是画好区域 D 的图形，确定y r sin好上下限的转化.二重积分的交换积分次序题1 y0【例 1】交换累次积分的积分次序：dyf (x, y)dx12【例 2】设 D 由曲线 y sin x 与 x 轴上介于 x 0 ， x 2 之间的线段围成， f 连续，则后积 y 先积 x 的表达式 f (x, y)d .D形心公式的逆用对于平面薄片，面密度 (x, y) 连续， D

26、 是薄片所占的平面区域，则计算重心 x ， y 的公式为 x(x, y)d y(x, yx D , y D (x, y)d (x, y)DD【注】第一，在的范畴内，重心就是质心；第二，当密度 (x, y) 为常数时，重心就是形心. 以后的三重积分和线面积分（仅为数学一那里不再重复说明.【例】（数三）内容）的应用中，也是这样的说法，到9数学网络课堂系列高等数学计算 I (x y)d ，其中 D (x, y) x2 y2 x y 1 .D6.3综合应用 arctan x arctan x【例 1】求0dx .x【例 2】求 I r sincos 2 drd ，其中 D (r, ) 0 4 , 0

27、21 r2.D2 x【例 3】（）计算edx ；02（）当 x 1 时，求与x dt 等价的无穷大量.t0第七章无穷级数引言一、概念1、级数的定义 给定一个数列 u1 u2 u3 un 则称 u1 u2 u3 un 为(常数项)无穷级数 简称(常数项)级数 记为 un n1即un u1 u2 u3 un n1n2、级数的部分和 称 Sn ui u1 u2 u3 un 为级数un 的部分和n1i13、级数的敛散性 若lim Sn S（存在） 则称级数un 收敛 极限 S 叫做该级数的和并nn1写成 S un n1若lim Sn 不存在 则称级数un 发散nn1二、基本性质即un S kun kS

28、 性质 1设 k 为常数，若 un 收敛n1则 kun 也收敛n1n1n1性质 2 若un S ， vn T 则(un vn ) S T n1n1n1性质 3去掉级数的前有限项，不会改变级数的收敛性性质 4收敛级数任意加括号后所成的新级数仍然收敛 且其和不变【注】推论 如果加括号后所得的级数发散 则去掉括号后所得的级数也发散10数学网络课堂系列高等数学性质 5如果un 收敛 则lim un 0 nn1【注】逆否命题：若 im un ,则un 一定发散.nn1、级数分类（ nu (u 0)正项级数n n1 常）数项级数(1)un (un 0)交错级数n1 n1级数 nu un符号)任意项级数 n

29、1n函数项级数幂级数ax nn0级数(仅数学一)7.1数项级数及其判敛问题一、正项级数(un , un 0) 的敛散性判别法n1如无特殊说明，下面的一般项un 均是非负的.1、收敛原则 正项级数un 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列Sn有界即：n1un收敛 Sn有上界n1【例】设an 0 (n 1, 2,) ， Sn a1 a2 an ，则数列Sn 有界是数列an 收敛的条件.v 收敛u 收敛nn2、比较判别法 设u 和v，则 n1都是正项级数 且0 u vn1nn nnn1n1un发散 vn发散 n1n13、比较判别法的极限形式设un 和vn 都是正项级数 则n1n111三数学网络课堂系

30、列高等数学lim un = 0 v 是高nn vn A 0 u 与vnn判别法）设un 为正项级数n14、比值判别法（则 1 1(或lim un1unn 1判别法）设un 为正项级数n15、根值判别法（则 1lim n un 1(或n 12n n!【例 1】判别n1的敛散性.nn11【例 2】判别( ln(1) 的敛散性.nnn11nxn12 dx 的敛散性.【例 3】判别1 x0二、交错级数(1)n1u , u 0) 的敛散性判别法nnn1判别法 若交错级数(1)n1un 满足条件：n1(1)lim un 0 ；un un1(n = 1, 2, 3, )；(2)n12数学网络课堂系列高等数学

31、则级数收敛.【注】给定一个级数，如果它满足上述的（1）、（2）两个条件，则一定是收敛的，但是，如果级数不满足上述的（2），则级数并非一定发散，这是结. 当然，如果级数不满足上述的（1），则级数必发散.中的一个难点，提醒考生注意总1n 比如，请判别级数ln 1 的敛散性.公式. 由这是交错级数，但不满足（2），因此不能使nn2用判别法，本题可考虑公式，1n 1n1 1 ln 1 2nnnn1n 1 1 1 1 12，表明级数 发散；而级数 由于lim n 是（条件） 2n n n1 2n n nnn1收敛的，故原级数发散.(1)n【例】判别n2的敛散性.n (1)n、任意项级数(un , un符

32、号n1) 的敛散性判别法定义（1）设un 为任意项级数,n1若 unn1收敛,就称un 绝对收敛；n1（2）设un 为任意项级数,n1若un 收敛,但 un发散,就称un 条件收敛.n1n1n1定理 若任意项级数un 绝对收敛,则un 收敛.n1n1【注】对于任意项级数，思一般都是先把一般项un 加上绝对值，变成正项级数后再去问题，即un un. 于是，判别正项级数敛散性的种种方法均可能派上用场.n1n1(1)na 0) （ ）2n 【例】若a 收敛，则(nn1n 2n1（D）敛散性与 有关（A）发散（B）条件收敛7.2（C）绝对收敛幂级数的收敛域一、有关概念设函数序列un (x) 定义在区间

33、称u1 x u2 x u3 x un x I 上函数项级数13三数学网络课堂系列高等数学I 上的函数项级数 记为 当 x 取 x0 时， 为定义在区间成为常数项级数nnn1n1.n 0n1幂级数 若的一般项un (x) 是幂函数，则称为幂级数 它是一种特殊且常用nnn1n1的函数项级数，其一般形式为ann0； nxn a a x a x2 a xn ；其中a 为幂级数的系数其标准形式为a n0012nn若给定 x0 I ，有 收敛 则称点 x0 为级数 收敛点与发散点的收敛点；若n 0nn1n1给定 x0 I ，有发散 则称点 x0 为级数的发散点.n 0nn1n1收敛域 函数项级数 的所有收

34、敛点的集合称为它的收敛域.nn1幂级数 a xn 的首要任务是判别敛散性，因为只有收敛了才有继续它的意义，具nn0代入级数a xn ，判别此数项级数是否收敛，体说来，将某个 x的目标当然是：0n 0n0找到所有收敛点的集合，即收敛域.二定理定理 当幂级数 a xn 在 0) 处收敛时的一切 x ，幂xx对于满足n11n0级数绝对收敛；当幂级数 a xn 在 0) 处收敛时xx的一切 x ，对于满足n22n0幂级数发散.求收敛域的程序1、对级数加绝对值变为正项级数；2、用正项级数的判别法（比值法、根值法）计算；3、单独级数在端点处的敛散性.综合 2、3 得出收敛域.14三数学网络课堂系列高等数学

35、(x 2)n【例】求n1的收敛域.n 3n7.3幂级数的展开与求和1、 f (x) 的级数如果函数 f (x) 在 0 处存在任意阶导数，则称(!2( n )f (x 0 2n0 )000n!(n) )n ，其中“ ”叫做“可级数，记作 f为函数 f (x) 在 x 处的00n0展开为”n0称 f 0 f x 的麦克特别当 x 0 ，则n 为函数01!f n 0h0 xn .f (x)级数，记作n!2、 f (x) 的级数收敛于函数 f (x) 本身的充要条件(n) (n) )n ，而不是 f)n 呢？为什么写 f00n0n0事实上，设 f (x) 在区间(x0 R, x0 R) 内具有任意阶

36、导数,则(n) )n 的充要条件是：对一切满足不等式x x R 的 x ,有f00n0(n1)n1 0,lim R (n0n其中 介于 x 与 x0 之间， R x 是 f (x) 在 x0 处的公式余项n3、幂级数展开式的求法f n x x 0 ，并逐个计算a0方法 1直接法：验证lim R，并代入nnn!n(!2( n )f (xx0 0 .2n0 )00n!15数学网络课堂系列高等数学直接方法麻烦了，一般不用.2间接法：利用已知的幂级数展开式，通过变量代换四则运算，逐项求导逐项积分待定系数等方法及到函数的展开式，这是常用方法，也是重点.1 2展开成(x 3) 的幂级数，并求 f (n)

37、(3) . (n 1, 2,)【例 1】将 f1【例 2】将 f (x) 展开成(x 3) 的幂级数.(x 1)2n )n1n1 n注：该题应为 )n0 x (1,.2n14、幂级数的运算性质（1）幂级数 n 的和函数 S(x)在其收敛域 I 上连续，且如果幂级数在收敛区间端点 xRnn0(或 xR)收敛 则和函数 S(x)在(R, R(或R, R)上连续（2）幂级数 n 的和函数 S(x)在其收敛域 I 上可积并且有逐项积分公式nn0an n x dx 0 0n 0n1nx(xI )n 1n0n0n0逐项积分后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径，收敛域可能扩大（3）幂级数 n 的和函数

38、S(x)在其收敛区间(R R)内可导 并且有逐项求导公式nn0S(x) (a (a na xn1nnx )x )(|x|R)nnnn0n0n1逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径，收敛域可能缩小5、需要熟稔于心的几个重要式子第一组，是几个重要函数的展开式n（1） ex n0 x ,n!2!n!11 1（2）11 1（3）n（4）ln 1,(1 x 1)nn116数学网络课堂系列高等数学2n1 x （5）sin1! n n02n x （6） cos2n!n0 1 n 1 xn （7） 2 n!这里，（1）至（6）右端 x 的取值范围是指收敛域，而对于（7），问题比较复杂，其收敛区间的

39、端点是否收敛与 的取值有关，可以证明(这里不证)：当 1 时,收敛域为时,收敛域为 ,1 ；当 0 时,收敛域为 ,1) ；当 ,1 .第二组，是几个重要级数的和函数cxk(1)cxnk n1 x 1, k Z ).( xnn1nxn xn1 1). n1n 1).2(4)nxn1 x2n1 1).nn1(5)n(n 1)n2 1). n0 xn1(6) 0 0 0 1 t dt ln(1 x)(1 x 1).n n1n1n1【例 1】求 S (x) n xn ， 1xn1【注】求lim( 1 2 ( )2 3( )1113 n ( ) )n2222nxnn【例 2】求 S(x) n1 1.x

40、，7.4级数（数一）17数学网络课堂系列高等数学一、雷(Dirichlet)收敛定理设)(是以2l 为周期的可积函数，如果在l,l 上)(满足：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点；则)(的级数处处收敛，记其和函数为 S (x) ，则n xn x a nS(x) a cosbn sin 02n1 ll f (x)x为连续点 f (x 0) f (x 0)且S (x) x为第一类间断点2f (l 0) f (l 0)x为端点2x 0,的周期为 2 的x 1,1级数为S (x) ，则在 x 1 ，2【例】设 f 1x 0 ，x 1 ，x 3 处，S (x) 分别收敛于，.2二、周期为2

41、l 的周期函数的级数设周期为2l 的周期函数)(满足雷收敛定理的条件，则它的级数为n xn x af (x)S(x) a cos bn sin 0 n2n1 ll其中系数an 和bn 分别为a 1ll dx(n 21, )(conlll1l bndxn ,2,3,)() sinll的实际考题分为以下三种情况：1、将普通周期函数)(在l,l 上展开为级数a 1llf (x)dx0ln x1llf (x) cosdx(n 1, 2,3,a)展开系数为nlf (x)sin n xdx(n 1, 2,3,l b 1ll)nll2、将奇偶周期函数)(在l,l 上展开为级数18数学网络课堂系列高等数学a0

42、 0a 0当)(为奇函数时，展开系数为nf (x) sin n xdx(n 1, 2,3, 2bl)nll0此时的展开式由于只含正弦函数表达式，故也称为正弦级数。a 2lf (x)dx0l0f (x) cos n xdx(n 1, 2,3,)(为偶函数时，展开系数为a 2当l)nllb 00n此时的展开式由于只含余弦函数表达式，故也称为余弦级数。3、将非对称区间0,l 上的函数)(展开为正弦级数或者余弦级数得到若要求展开成正弦级数l,l上的奇函数f (x)0,l上的f (x) 需作奇延拓得到若要求展开成余弦级数l,l上的偶函数f (x)需作偶延拓a0 0a 0当)(为奇函数时，展开系数为nf

43、(x) sin n xdx(n 1, 2,3,b 2l)nll0此时的展开式由于只含正弦函数表达式，即展开为了正弦级数。a 2lf (x)dx0l0f (x) cos n xdx(n 1, 2,3,当)(为偶函数时，展开系数为a 2l)nllb 00n此时的展开式由于只含余弦函数表达式，即展开为了余弦级数。中，以考查上述的第 3 种情况为主。(1)n1 ) 展开成余弦级数，并求n1【例】将 f (.n2第八章多元函数积分学的预备知识8.1向量代数的基础知识1、向量代数的基本概念、性质与公式既有大小又有方向的量，称为向量.（1）向量的相等 对于两个向量，只要它们的大小相等，方向相同，则它们就是相

44、等的向量，而与它们在空间中的位置无关（这也称为向量的性）；19数学网络课堂系列高等数学向量的表达形式a (ax , ay , az ) ax i ay j az k向量的运算及其应用对于a (ax , ay , az ),b (bx , by , bz ), c (cx , cy , cz ) 数量积（内积，点积）及其应用() a b (ax , ay , az ) (bx , by , bz ) axbx ayby azbz ；axbx ayby azbza b （）a b b cos cos ，其中 为a, b aa 2 a 2 a 2 b 2 b 2 b 2xyzxyz的夹角；a a b

45、 axbx ayby azbz称为a 在b 上的投影量；（） Prjbb 2 b 2 b 2bxyz a b b cos 0 a（）2 向量积（外积，叉积）及其应用i axbxj aybyk azbz() a b b sin ，用右手螺旋定则确定方向（转向角，其中， a ba不超过 ）， 为a, b 的夹角；iajk 0 b sin a b 0 aaa（）xyzbbbxyz 混合积及其应用ax bxcxayby cyaz bzcz() a, b, c a b c ；axayby cyaz bzcz 0 三向量共面.（） bxcx8.2平面与直线的基础知识1、平面与直线的基本概念、性质与公式（1

46、）平面方程（以下假设平面的法线向量n A, B, C ）；20a bax ay azbxbybzaxbx ayby azbz 0a bab数学网络课堂系列高等数学A x B yC zD0一般式A( x0 x ) yy yy 0 y) C( z 0 z) 0B(点法式x x x x azz zx1 x2 x31y 2y 3y1 z2z=0 （平面过不共线的三点 Pi (xi , yi , zi )， i 1, 2, 3 ）3z三点式y zc1 （平面过(a, 0,0), (0, b, 0), (0, 0, c) 三点）截距式b1D 2 CzA1 x B1 yC1 z2A x 2 By20 D平面

47、束方程不包含 A2 x B2 y C2 z D2 0，如果所求平面通过已知直线（一般式），则用平面束方程会比较简便，但必须验证 A2 x B2 y C2 z D2 0是否满足所求结论，以免遗漏。（2）直线方程（以下假设直线的方向向量 l, m, n ）1n, 1A , 1B A1 xB1 yB2 yC1 zC2 z1D02D01C，其中n1 n22C一般式2n, 2A , 2B A2 x【注】其几何背景很直观，是两个平面的交线；且该直线的方向向量 n1 n2 .x x0y 0yz 0z点向式（标准式，对称式）lmnx x0 lt y y mtM ( x , y , z 为) 直线上已知点， t

48、 为参数参数式0000z z nt 0 x x1y 1yz1 z z（直线过不同的两点 P (x , y , z )， i 1, 2 ）两点式iiiix xyyz2121212、点、直线与平面的若干位置关系（1）一组重要的距离公式（1）点 P x , y 到平面 A xd B yC zD0 的距离, z0000A2 B2 C 2x x（2）设直线1 y y1z zP x , y , z，方向向量 l, m, n ，则点1过点111 1lmnP0 x0 , y0 , z0 到直线的距离21Ax0 By0 Cz0 D数学网络课堂系列高等数学d l 2 m2 n2【简单推导】以 , P0 P1 为边

49、画平行四边形，则 P0 P1示该平行四边形的底边长.（3）直线到直线的距离d表示该平行四边形的面积，而 表P1 1x 1, y1 , z， P2 x2, y2 , z2 分别两平行直线的距离d ，（l2 m2 n2为两直线 L1, L2 上的两点）两异面直线的距离d（ P x , y , zd ，1 1 1 1 P2 x2, y2 , z2 分别为两直线 L1, L2 上的两点）【简单推导】以1,2, P1P2 为棱画平行六面体，则 1 2 P1P2表示该平行六面体的体积，而 1 2表示该平行六面体的底面积.【注】当 1 2 0 时， d 0 ，则两直线共面.P1P2D1 D2（4）两平行平面

50、之间的距离 d A2 B2 C 2（2）直线间关系 L1 L2 1 2 l1l2 m1m2 n1n2 0 l1 m1 n1 LL 1212lmn22222x2 x1y2 y1z2 z1l1m1n1l2m2n2ijkl1m1n1l2m2n21 2 P1P21 2ijkx2 x1y2 y1 z2 z1 lmnijkx2 x1y2 y1 z2 z1 lmn P0 P1数学网络课堂系列高等数学 1 2 直线 L1, L2 间的夹角 arc cos，其中 min 1, 2 ,1, 2 0, 2 （3）平面间的关系 1 2 n1 n2 A1 A2 B1B2 C1C2 0 1 2 222 min n1, n

51、2 , n n arc cos 12 ，其中 n1, n2 0,平面 , 间的夹角2 12（4）平面与直线的关系A B C L n lmn L n Al 0 n2 ，其中 , n 0, 2 间的夹角 a r c s i nn直线 L 与平面8.3空间曲线与曲面的基础知识1、空间曲线F (x, y, z) 0）一般式 :（其几何背景为两个曲面的交线1.G(x, y, z) 0 x t : y t ,t ,（2）参数方程 z t （3）空间曲线在坐标面上的投影（重点）以求曲线 对 xOy 平面的投影曲线为例，F (x, y, z) 0）将 :中的 z 消去，得到(x, y) 0 ，（1G(x, y

52、, z) 0(x, y) 0）则曲线 在 xOy 面上的投影曲线包含于曲线（2.z 0曲线 对其他平面的投影曲线可类似求得.2z y 0投影到 xoy 面，求其投影曲线及所围区域.【例】将空间曲线x y zyz 122223n1n21 2数学网络课堂系列高等数学2、空间曲面F (x, y, z) 0（1）曲面方程（2）二次曲面x2a2y2 z2 1椭球面b2c2x2a2y2 z2 1单叶双曲面b 22cx2a2y2z21双叶双曲面b2c2x2a2y2 z椭圆抛物面b2x2a2y2 z2椭球锥面b2x2 y2 z （了解即可，不用掌握其图形）双曲抛物面（马鞍面）a2b2（2）柱面动直线沿定曲线平

53、行移动所形成的曲面x2y2 1（ a b 时为圆柱面）椭圆柱面a2b2x2 y2 1双曲柱面a2b2y ax2几何中，除非作特殊说明，一般认为缺少变量的方程为柱面抛物柱面【注】在空间（3）旋转曲面（重点） 曲线C 绕一条定直线旋转一周所形成的曲面轴旋转所得旋转曲面方程为 f x, y2 z2 0 ； f x, y 0曲线C :x 0 x沿沿 y 轴旋转所得旋转曲面方程为 f x2 z2 , y 0 。 f x, y 0曲线C :x 08.4多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面、空间曲线抓切向量24数学网络课堂系列高等数学x (t) ）设空间曲线 由参数方程 y (t) （给出，其

54、中，方程中的三个函数均可导，1z (t) (x , y0 , 0 ) 是 上的点，且当t t0 时，(t0 ) ， (t0 ) ， (t0 ) 都不为 0，则这里的 是指向t 增加的方向 )曲线 在点(t ), (t ),(t(x , y ,) 处的切向量为0000000) 处的切线方程为 x x0 y y0z z0 .曲线 在点 (x , y ,0000(t ) (t )(t )000曲线 在点(x , y0 ,0 ) 处的法平(x , y0 , 0 ) 点且与切线垂直的平面）方程为面（过(t0 )(x x0 t0 )( y 0 )(z z0 0F (x, y, z) 0（2）设空间曲线 由

55、交面式方程组给出，则在以下表达式有意义的条件下，G(x, y, z) 0曲线 在点0) 处的切向量为 (x , y0 , ，GGGGGGP 0 yzxyzx P0P0 x x0y y0z z0曲线 在点 (x , y ,) 处的切线方程为，0000yGyGyGzGzGx P0GxPP00曲线 在点(x , y0 ,0 ) 处的法平面（过(x , y0 , 0 ) 点且与切线垂直的平面）方程为GzGx(z z0 ) 0P000GyGzGyGx P0P0二、空间曲面的切平面与法线、空间曲抓法向量（1）设空间曲面 由方程( , y, z 0) 是 上的点，则(x , y0 ,给出，曲面 在点(x ,

56、 y0 , 0 ) 处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为n Fx(x0 , y0 , z0 ), Fy(x0 , y0 , z0 ), Fz(x0 , y0 , z0 )x 0 xy 0 yzz0且法线方程为Fx( 0 x , y0 , 0z )F (0 x , 0 y , 0 z z)F 0( x ,0 y 0, z )y曲面 在点(x , y0, 0) 处的切平面方程为Fx(x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy(x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz(x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0（2）设空间曲面 由方程 (x y 给出，令 Fyx, z) ,()

57、 z, 则25面数学网络课堂系列高等数学 在点(x , y0 , 0 ) 处的法向量（垂直于该点切平面的向量）为n fx(x0 , y0 ), f y(x0 , y0 ), 1曲面x x0y y z z0.0且法线方程为f (x ,y) 1) fx (y ,x00y00曲面 在点(x , y0 , 0 ) 处的切平面方程为fx(x0 , y0 )(x x0 ) f y(x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0【例】设点 P 为椭球面 S： x2 y2 z2 yz 1上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xoy 面垂直，求点 P 的轨迹 C.8.5方向导数与梯度1、方向导数定义

58、 设函数u u(x, y) 在点 P (x , y ) 的某空间邻域U R2 内有定义， l 为从点 P 出发000的射线， P(x, y) 为l 上且在U 内的任一点，且令0 t cos y y y t cos 0以t (x)2 (y)2 表示 P 与 P 之间的距离，若极限0lim u(P) u(P0 ) lim u(x0 t cos , y0 t cos ) u(x0 , y0 )t 0tt 0t存在，则称此极限为函数u u(x, y) 在点 P 沿方向l 的方向导数，记作 u.0lP0定理（方向导数的计算公式） 设函数u u(x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 可微，则u u

59、(x, y) 在点P0 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且ul u (P ) cos u (P ) cos ,x0y0P0其中cos , cos 为方向l 的方向余弦【例】设 f (x, y) x y ，则f (0, 0) ， f (0, 0) .22xy2、梯度定义 设三元函数u u(x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 具有一阶偏导数，则定义gradu ux (P ), u (P )P00y026数学网络课堂系列高等数学为函数u u(x, y) 在点 P0 处的梯度.如果理解梯度的这个定义呢？请继续看下面.3、方向导数与梯度的关系u由方向导数的计算公式l u (P ) cos u

60、 (P ) cos 与梯度的定义x0y0P0gradu ux (P ), u (P ) ，P00y0到ul u (P ),u (P ) cos, cos gradulox0y0P0P0cos coslograduP0graduP0与lo 的夹角，当cos 1 时， u其中 为gradu有最大值.lP0P0于是可以得出结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得方向导数最大值的方向一致,而它的模为方向导数的最大值【注】梯度散度 div AA P x, y, z i Q x, y, z j R x, y, z kdiv A P Q RxyzA旋度 rotix Pjy Qkz RrotA 第