高中数学必修二 随机抽样

1、随机抽样9.1.1简单随机抽样1.统计的相关概念（1）普查像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查。（2）总体、个体在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体。组成总体的每一个调查对象称为个体。为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体。（3）抽样调查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为 。抽样调查（4）样本、样本量我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。【思考】抽样调查有什么优点？提示：相对全面调查而言，抽样调查由于只

2、抽取一部分个体进行调查，因此具有花费少、效率高的特点。在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用。2.简单随机抽样一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1nN）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样。【思考】在抽取样本时，“逐个不放回地随机抽取n个个体”，与“一次性批量随机抽取n个个体”等价吗？提示：从总体中，

3、逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的。3.简单随机抽样的方法（1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数。（2）随机数法：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，直到抽足样本所需的个数。用随机试验生成随机数；用信息技术生成随机数；用计算器生成随机数；用电子表格软件生成随机数

4、；用R统计软件生成随机数。【思考】（1）最常用的简单随机抽样方法有哪些？提示：抽签法和随机数法。（2）你认为抽签法有什么优点和缺点？提示：抽签法的优点是简单易行，当总体中个体数不多时较为方便，缺点是当总体中个体数较多时不宜采用。4.总体均值一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，YN，则称为总体均值，又称总体平均数。如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（kN）个，不妨记为Y1，Y2，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式5.样本均值如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，yn，则称为 ，又称样本平均数。样

5、本均值【思考】总体均值与样本均值有何区别与联系？提示：（1）区别：当总体中个体较多时，总体均值不易计算，样本均值比较方便计算。总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性。（2）联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值。【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大。（）（2）抽签法中，先抽的人抽中的可能性大。 （）（3）抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况。（）（4）在使用随机数法时，各个个体的编号位数要相同。（）提示：（1）。在简单随机抽样中，某一个个体

6、被抽到的可能性与第几次抽取无关，每一次抽到的可能性相同。（2）。抽签法中，每个人抽中的可能性相同。（3）。（4）。2.某重点中学在进行了一次模拟考试，为了解全年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，下面说法不正确的是（）A.1000名学生是总体B.每个学生是个体C.1000名学生的成绩是一个个体D.样本量是100【解析】选C。1000名学生或1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生或每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本量是100。3.一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的

7、概率为_。【解析】概率为答案：类型一简单随机抽样的概念【典例】下列抽样方法是简单随机抽样的有_。（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本。（2）从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验。（3）从班上50名同学中选数学成绩最好的2名同学参加数学竞赛。（4）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动。（5）中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码。【思维引】按简单随机抽样的概念判断。【解析】（1）不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的。（2）是简单随机抽样，因为一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次。（3）不是简单随机抽样，因为每个个体被抽

8、取的可能性不相等。（4）不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的。（5）是，它属于简单随机抽样中的随机数法。答案：（2）（5）【内化悟】判断简单随机抽样的关键是什么？提示：（1）样本总体个数是否有限；（2）抽取n个个体作为样本；（3）每个个体入样的可能性均为 。【类题通】1.放回简单随机抽样的特点（1）被抽取的样本的总体个数N是有限的。（2）逐个抽取n个个体作为样本。（3）抽取是放回的。（4）每个个体入样的可能性均为 。2.不放回简单随机抽样的特点（1）被抽取的样本的总体个数N是有限的。（2）逐个抽取n个，或一次性抽取n个个体作为样本。（3）抽取是不放回的。

9、（4）每个个体入样的可能性均为 。【习练破】下列抽样中是不放回简单随机抽样的是_。从100个号签中一次取出5个作为样本某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵参加救灾工作一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签从某班56名（30名男生，26名女生）学生中随机抽取2名男生，2名女生参加乒乓球混双比赛将一枚质地均匀的骰子掷两次，分别记录向上的点数【解析】是不放回简单随机抽样；不满足等可能抽样，所以不是简单随机抽样；是不放回简单随机抽样；是放回简单随机抽样。答案：类型二抽签法的应用【典例】学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目

10、，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学。【思维引】采用抽签法设计抽样方法，一定按步骤进行，即：编号、制签、搅匀、抽签、确定样本。注意抽签法的特点：逐个不放回地抽取。【解析】第一步，将32名男生从00到31进行编号；第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号；第三步，将写好的号签放在一个容器内摇匀，不放回地逐个从中抽出10个号签；第四步，抽到的相应编号的男生参加合唱；第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱。【内化悟】抽签法应用的关键是什么？提示：将总体中所有个体编号，将号签搅拌均匀。【类题通】抽签法的一般步骤【习练破】下列抽样

11、中，用抽签法方便的是（）A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱（每厂各一箱，每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【解析】选B。根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便。【加练固】某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案。【解析】方案如下：第一步，将18名志愿者编号，号码为01，02，03，18。第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签。第三步，将得到的号签放

12、到一个不透明的盒子中，充分搅匀。第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号。第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员。类型三随机数法的应用【典例】设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤。【思维引】用随机试验生成随机数，方便易行。条件允许也可以用信息技术生成随机数。【解析】步骤如下：第一步，将100名教师进行编号：00，01，02，99。第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，9，把它们放入一个不透明的袋子中。第三步，从袋子中有放回摸取2次，每次摸取前充分搅拌，并把

13、第1，2次摸到球的数字分别作为十位、个位，这样就生成了一个两位随机数。如果这个数在0099之间，就记录下来，否则舍弃，如果有重复舍去，直到得到12个不同编号。第四步，与这12个编号对应的教师组成样本。【内化悟】随机数法的关键是什么？提示：将样本编号，生成随机数，抽取样本。【类题通】随机数法解题步骤第一步，编号。第二步，生成随机数。第三步，记录样本编号。第四步，抽取样本。【习练破】要从高一年级全体学生450人中随机抽出20人作为校运动会志愿者，请用随机数法抽出人选，写出抽取过程。【解析】第一步，先将450人编号，可以编为000，001，002，449；第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球

14、上分别写上数字0，1，2，9，把它们放入一个不透明的袋子中。第三步，从袋子中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第1，2，3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位，这样就生成了一个三位随机数。如果这个数在000449之间，就记录下来，否则舍弃，如果有重复舍去，直到得到20个不同编号。第四步，与这20个编号对应的学生组成样本。【加练固】现有一批零件，其编号为600，601，602，999。利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数法，怎样设计方案？【解析】第一步，利用原有的编号。第二步，准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，9，把它们放入一个不

15、透明的袋子中。第三步，从袋子中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第1、2、3次摸到球的数字分别作为百位、十位、个位，这样就生成了一个三位随机数。如果这个数在600999之间，就记录下来，否则舍弃，如果有重复舍去，直到得到10个不同编号。第四步，与这10个编号对应的零件组成样本。9.1.2分层随机抽样分层随机抽样一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 。分层随机抽样层在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这

16、种样本量的分配方式为比例分配。在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数。【思考】（1）哪种情况下适合选用分层随机抽样？提示：在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样。（2）简单随机抽样与分层随机抽样有何异同？提示：简单随机抽样分层随机抽样方法要点随机“搅拌均匀”抽取分层比例抽取共同点抽样过程中每个个体被抽到的机会均相等；均为不放回抽样简单随机抽样分层随机抽样不同点从总体中逐个随机抽取将总体分成不交叉的若干层，各层中按比例抽取相互联系各层的抽样可采用简单随机抽样适用范围总体中的个体总数

17、较少总体由差异明显的几个部分组成【素养小测】1.思维辨析（对的打“”，错的打“”）（1）在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小。（）（2）分层随机抽样有时也需要剔除若干个个体，对这些个体来说是不公平的。（）（3）从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样。（）提示：（1）。在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外，还要依据总体的构成情况。（2）。根据抽样的意义，对每个个体都是公平的。（3）。适合用简单随机抽样。2.某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人。为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽

18、样方法是_。【解析】由于健康情况与年龄密切相关，不同年龄的人群其健康情况会有明显的差异，因此采用分层随机抽样的方法较合适。答案：分层随机抽样3.简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是_。（填序号）都是从总体中逐个抽取。将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取。抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的。将总体分成几层，然后分层按比例抽取。答案：类型一分层随机抽样的概念【典例】1.下列问题中，最适合用分层随机抽样方法抽样的是（）A.某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是140。有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行

19、质量检查C.某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D.从50个零件中抽取5个做质量检验2.分层随机抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类（层）各抽若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（）A.每层内等可能抽样B.每层内不等可能抽样C.所有层用同一抽样比D.所有层抽同样多的样本量【思维引】根据分层随机抽样的特点和适用情况进行判断即可。【解析】1.选C。A的总体容量较大，且个体的差异性不明显；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C的总体容量较大，且各类田地的产量

20、差别很大，宜采用分层随机抽样方法；D与B类似。2.选C。由分层随机抽样的定义和特点可知，所有层用同一个抽样比，等可能抽样。【内化悟】辨别分层随机抽样问题的关键是什么？提示：总体可以分层且层与层之间有明显区别。【类题通】分层随机抽样的前提和遵循的两条原则（1）前提：分层随机抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取。（2）遵循的两条原则：每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比。提醒：要明确分层随机抽样的前提，是用来判断是否是分层随机抽样的依据。【习练破

21、】某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是_。【解析】了解学生的健康情况，男、女生抽取比例相同，因此应用了分层随机抽样法。答案：分层随机抽样【加练固】某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生。该抽样可能是随机抽样；该抽样不可能是分层随机抽样；男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率。其中说法正确的为（）A.B.C.D.【解析】选A。该抽样可能是随机抽样，故正确；若是分层随机抽样，则抽到的是3名男生、2名女生，所以该抽样不可能是分层随机抽样，故正确；该抽

22、样男生被抽到的概率为 ，女生被抽到的概率为 ，女生被抽到的概率大于男生被抽到概率，故错误。类型二分层随机抽样的应用角度1用样本平均数估计总体平均数【典例】假设某公司的33名职工的月工资（单位：元）如表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500样本中职工月工资的平均数是_，估计该公司职工月工资的平均数是_。（精确到元）【思维引】求解样本中职工月工资的平均数。【解析】样本中职工月工资平均数是 （5500+5000+35002+3000+25005+20003+150020）2091，估计该公司职工月工资的平均数是20

23、91。答案：20912091【素养探】用样本平均数估计总体平均数，体现了数据分析的核心素养。某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4。则平均命中环数为_；估计该学员射击一次命中环数为_。【解析】用样本估计总体，估计环数最可能为7。答案：77角度2比例分配的应用【典例】1.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为（）A.90B.100C.180D.300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43002.某高中共有学生1000名

24、，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人。高二年级女生占全校学生总数的19%。现采用分层随机抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于_。【思维引】1.按各层的抽样比例相等，列出等式求解即可。2.先算出高二年级女生人数，再算出高三年级人数，最后根据各层的抽样比例相等，列出等式求解。【解析】1.选C。设该样本中的老年教师人数为x，由已知及分层随机抽样的特点得 ，故x=180。2.由已知，高二年级女生有10000.19=190（人），则高二年级共有学生180+190=370（人），所以高三年级共有学生1000-370-380=250（人），则采用分层随机抽样

25、（按年级分层）在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为 100=25。答案：25【内化悟】求解分层随机抽样问题的关键是什么？提示：分析总体分成的各个层以及各个层中抽取的个体数量。【类题通】分层随机抽样的操作步骤第一步，计算样本量与总体量之比。第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数。第三步，用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体。第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本。【习练破】1.（2019全国卷）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或

26、红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【解析】选C。由题意知阅读过红楼梦而没有阅读过西游记的学生人数为80-60=20，所以阅读过西游记的学生人数为90-20=70，故所求的估计值为 =0.7。【加练固】一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为532。若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取_个个体。【解析】因为A，B，C三层个体数之比为532，又总体中每个个体被抽到的概率相等，所以用分层随机抽样应从C中抽取100 =20。答案：202.已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层随机抽样的方法（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本量为_。【解析】分层随机抽样中抽样比一定相同，设样本量为n，由题意得， ，解得n=36。答案：36类型三抽样方法的综合应用【典例】在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？（1）从8台彩电中抽取2台进行质量检验。（2）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个样本量为100的样本