带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析要点

1、题目：带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 引言：1 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动1 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动2 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的分析23.2带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程2带电粒子在非均匀，

2、恒定磁场中的运动5 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移65.1梯度漂移65.2曲率漂移8结论9 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 叁考文献：10致谢11带点粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况，并对带电粒子在非 均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论，及推导带电粒子在非均匀磁场中运动 时的漂移速度。关键词：带电粒子;电场;磁场;漂移速度引言:在很多等离子体的应用中，都涉及到磁场对等离子体的作用.因此，研究 带电粒子在非均匀磁场中的

3、运动，对于研究等离子体的应用是很有必要的.大家 知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成：一部分是沿磁感应线的 纵向）匀速直线运动；另一部分是环绕磁感应线的（横向）匀速圆周运动.这两部 分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动.在非均匀恒定磁场中，会发生 洛伦磁力方向上的漂移，还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动，受驰於力的作用，其运动方程：m a qv B（1）在磁场B均匀，恒定条件下，垂直于B的速度分量v受到与B和v都垂直的恒 力qvB的作用，使带点粒子在垂直于B的平面内以v作匀速圆周运动，圆半径为mvr = l qB称为回旋半

4、径或Larmor半径，圆周运动的角速度为 L（3）/尔为回旋圆频率（Larmor频率）。平行于B的速度分量不受力，使带电粒子 沿B的方向即沿磁力以作匀速直线运动。因此，带电粒子在均匀恒定磁场中的 运动轨迹是以磁力线为轴的等距螺旋线，螺距为= v/?=2 mvqBT =-(5)其中TL=2-=2-r称为回旋周期或Larmor周期。可以看带电粒子均匀磁场中的运动时，它的周期与轨道半径成正比，在恒定 的周期内轨道半径与速度成正比，利用这个规律可以使电子加速。带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动3.1带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的简单解释如果除了均匀恒定磁场外，还存在着均匀恒定电场或其他非电磁力，

5、或者， 如果磁场给均匀，不恒定，则带电粒子运动的重要特征是出现漂移即引导中心除 了沿磁力线的运动外，还有垂直磁力线的运动，或者称为漂移。3.2带电粒子在均匀电磁场中的运动分析k,电场强度为 z如图1所示,在三维直角坐标系。x y中，磁感应强度E Eyj Ezk。当t二时，一质量加，电量为q的带电粒子从坐标原点0经过，速度为v v i v j v k。 0 x0 y0 z0F qE q (v ) qEjqEk q(vivjvk)yzx y zz图1在不考虑重力作用情况下，带电粒子在任意时刻t所受到的合外力为qv i q (E v ) j qE k根据牛顿第二运动定律，粒子的运动微分方程为d 2

6、x dt 2d 2 yq (E v)zdt 2md 2 zqEdt 2zm初始条件为x 0,y 0z 0t 0t 010VVVVVVx 10 x0y 10y0求解微分方程根据式（6）得m d2x mVz 10z0dV xy qdt2q将式（9）两边对时间求一阶导数得dvm d 2vdt q dt2dtz将式（10）代入式（7）得d 2v q 2 q2xz V土 0dt2mxm2d 2Eq 2EvyzV 10dt2 xmxz这是一个二阶常系数线性微分方程，方程的解为y(10)再进行积分为csinq zt c cosq Zt1 m 2 mx t c x0z将式（11）代入式（7）得44七 qmzc

7、 co _ t c si ty c 冬i斐*y0 q m q m(11)(12)(13)(14)将初始条件 xt0 0，yt0 0，Vxt0 Vx0，VVy0代入式（12）（14）得cx0mv q皿，zcy0mqzvx0Eyz，c1Vy0，c2Vx0E yzxEtzmvy0-qzmvy0qzq cosm-ztmqzvx0Eyzq sinmzt(15)ymvy0qzq -sinmm z t-qVx0zEy_zcos.q z-mm t qVx0zEyz(16)根据式(8)和初始条件Z t 0 = 0, Vz|t0 Vz0得(17)1 qE Z V t t2式（15）, （16）和（17）即为带电粒

8、子在均匀电磁场中的运动方程。根据以上分析得到的结果，在一般的情况下，带电粒子在均匀电磁场中的运 动可以看成是3个运动的合运动。其中在Z轴上是一个匀加速直线运动；在xy 平面上是一个匀速圆周运动和一个沿x轴的匀速直线运动。图2中所示的螺旋 曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。图.2在一些特殊条件下，带电粒子可能只叁与以上3个运动中的一到两个运动，下面 我们将分几种不同的情况进行讨论。（1）如果空间电场和磁场的方向互相平（Ey 0），且带电粒子在乂 y平面上 的分速度不为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，既在z轴方向的匀 加速直线运动和在x y平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图3所示。（

9、2）如果空间电场和磁场的方向互相平（Ey 0），且带电粒子在乂 y平面上 的分速度为零，则粒子只有一个运动，既沿z轴方向的匀加速直线运动。图.3（3）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（Ez 0）,带电粒子在z轴上的分速度不为零，则粒子的运动仍然是3个运动的合成。其中在z轴 上的运动为一匀速直线运动；而在x y平面上还是 一个匀速圆周运动和一个沿x轴的匀速直线运动。其运动轨迹如图4所示图.4（4）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（Ez 0），且带 电粒子在z轴上的分速度为零，则粒子的运动可以看成是 两个运动的合成。既在x轴方向的匀速直线运动和而在x y 平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图5所示

10、。（5）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（Ez 0），图.5带电粒子在y轴和z轴上的分速度为零，且在x轴上的分速度为J 土i，则粒子只有一个运动。既沿x轴方向的 z匀速直线运动。带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动以磁场中所考察的那一点作为坐标原点建立直角坐标系，令z轴与原点上 B的方向重合，于是B 0 = B 0 = 0， B 0 = B由于磁场随空间缓慢地变化，所以在原点附近除了有Bz分量以外，还将出 现其它的分量.每一个分量都可随三个坐标x , y，中的任一个而改变，所以 需要9个偏导数才能完全确定磁场在一点的空间变化率；换句话说，为了描述磁 场的不均匀性，需要引入一个二阶张量磁场的空间梯

11、度B，把它写成矩阵形式就BXX_ B XyBXzB y XB y yB y zBXBz带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移5.1梯度漂移令Z轴平行于磁场，设磁场随X而改变，且 0.在图6中，一个正粒 x子将沿顺时针方向绕磁感应线 旋转.当它画上半部分轨道时，总是由弱场地点 向强场地点运动，回旋半径会越来越小；相反地，在画下半部分轨道时，则由强 场地点向弱场地点运动，回旋半径会越来越大.这样一来，引导中心就会产生一 个沿y轴向上的漂移.对于负粒子来说，因为回旋方向与正粒子相反，所以将 沿着y轴向下漂移图.6图.7现在来求磁场梯度引起的漂移速度vDEG .从粒子回旋轨道的对称性看到，粒子 每完成一个回

12、旋时，它在x方向的力学状态坐标、动量)就恢复原状，就是运动 方程mv(v)B q v B x在一个回旋上例如图6的1、2两点之间，积分将等于零，即 t2 v dt =xt1这里t1, 2t是粒子经过1、2v B x dt m y12两点的时间,(18)q t2r二一 B xdy = 0mt1y , y是两点的y坐标.把B ( x)对(19)原点作泰勒展开，略去高次项以后，有B x = B + x(20)x其中B是原点处的磁感强度.以式(19)代入式(20)，整理后可得:y yWdy 口 r2(21)21 B xB xy12其中y2七表示在一个回旋周期“=匚内引导中心沿尸方向的位移.计算上 c式

13、右方时，假设:是合缓变条件| rc B | B的小量，粒子回旋y轨道可近似看成圆，因此积分2dy等于拉莫尔圆所围面积-n% ,这里负号y1是因为正粒子拉莫尔圆所围面积按右手螺旋规则应为负值。根据以上结果，求得正、负粒子梯度漂移速度为:v dbg 亦B BqBTBB(22)梯度漂移速度取决于粒子的性质,正、负粒子将沿相反方向漂移，式(22)可以改 写成BBvDEGqB2(23)由此可以认为梯度漂移是由力fB所引起的，这里是粒子的轨道磁BG矩。5.2曲率漂移磁场的不均匀性除表现为梯度以外，一般还有磁场的弯曲。梯度相当于横 向不均匀性，而弯曲则相当于纵向不均匀。假设磁场弯曲时轻微的，即满足缓变条件r

14、 b|b，于是磁感应线曲率 半径R将远大于粒子回旋半径rc，而带电粒子在弯曲磁场中的运动仍可看成是 绕一个动点的回旋，不过这个动点现在已v的素的沿曲线运动者。在以它作为原 点的坐标系，带电粒子将感受到一个惯性离心力F”BC(24)的作用，根据DF B一而知，这个力将使引导中心产生一个漂移速度:mv 2vRDBCqB-R2B R B JbBbqB2R2qB2BB(25)叫做曲率漂移速度，正，负将粒子将沿相反方向进行漂移，式(25)的最后一步 用到了曲率向量式B如果研究的点不存在在电流，即B 0,并假设方 BB0,则式（25）可以简化为V DBC qB?B B(26)在此情形下，合并式（22）和式

15、（26），可得总磁漂移速度VDB VDBG2mv 2 mv 2(27)V B B- - R BDBC qB32qB2R2 2qB2R2这种漂移在环形磁场约束等离子体重视要努力克服的。6结论根据以上的讨论我们可以看出带电粒子在非均匀磁场中的运动，对于研究等 离子体的应用是很有必要的.带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成： 一部分是沿磁感应线的纵向）匀速直线运动；另一部分是环绕磁感应线的（横向） 匀速圆周运动.这两部分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动.在这个 基础上，推导出带电粒子在非均匀恒定磁场中的梯度漂移速度和曲率漂移速度。7.叁考文献：Alven H, Falthammar C G .电动力学。戴世强译北京：科学出版社1974许敖敖，唐玉华。电动力学导论。北京