电磁场和电磁波第一章矢量分析

1、电磁场与电磁波Electromagnetic Field andElectromagnetic Wave2012-3-18矢量代数三种常用的正交曲线坐标系标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环流与旋度无旋场与无散场运算与定理亥姆定理2012-3-18矢量代数标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示rAAreA矢量的代数表A示： eA矢量的大小或模：AAA矢量： er矢量的常矢量？AA矢量？2012-3-18A矢量的几何表示矢量用坐标分量表示A ex Ax ey Ayez AzA co s AxA co

2、 s A co sA yAzA A(er cos erxycos erzcos )erA ex cos ey cos ez cos 2012-3-18zAzAAyAx Oyx矢量的代数运算（1）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,。在直角坐标系中两矢量的加法和减法：rer(BrBe(A)A)A)eByyyzzz矢量的加减符合交换律和结合律rrr交换律A B B Arrrrr结合律A (B C) ( A B) C2012-3-18A BBA矢量的加法BAA BB矢量的减法矢量的代数运算（2）标量乘矢量kA er kA er kA er kAxxyyzz（3）矢

3、量的标积（点积）A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bzr rA B B A矢量的标积符合交换律r B ABA B 0ABA/ BAex ey ey ez ez ex 0ex ex ey ey ez ez 12012-3-18BA矢量 A 与 B 的夹角矢量的矢积（叉积）A B er AB sin n用坐标分量表示为A B er ( A BA B ) er ( A B A B ) er ( A BA B )xyzzyyzxxzzxyyx写成行列式形式为exAx BxeyAy ByezAz BzrrA B rrA B B Ar ，则A B ABA B若2012-3-18若 A /

4、 B ，则A B 0A BBAB sin A矢量A 与B 的叉积矢量的混合运算( A B) C A C B C 分配律rr( A B) C A C B C分配律rrrA (B C) B (C A) C ( A B)标量三重积r rA(BC) ( A C)B ( A B)C矢量三重积2012-3-18三种常用的正交曲线坐标系三确定。任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来三条正交曲线组成的确定三任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。2012-3-18圆柱坐标系

5、x, y, z坐标变量矢量e, e,e坐标xyzex点P(x0,y0,z0)o xeyydy 位置矢量r线元矢量eezxyzdl xe dxedezzrrdS e dl dl e dydz面元矢量xxyzxe dr lr eddSdlxd zyyxzydz S ezdlx dl y e dxz dyd V d x d y d z体积元体积元2012-3-18yy y0（平面）xx x0（平面）直角坐标系zz z0（e 平面）zPeyz dSz er zd x d ydzdSy er dxdzydxoddySx er xd y d zyx直角坐标系的长度元、面积元、圆柱坐标系zz0（平面） ,

6、, z坐标变量)坐标矢量 e ,e, z e 0（圆柱面）e 位置矢量rzez 0（半平面）圆柱坐标系dl er derer dz线元矢量dze r dld l r edd面元矢量Sd Sdzzre rd r edld ldz ezzrrrdSz e zdld ld ddV 体积元dddz圆柱坐标系中的线元、面元和体积元2012-3-18P(0,0, z0 0（圆锥面）球坐标系r0r（球面）坐标变量r,r0 ,P()00矢量er, e,e坐标 eredl rr d位置矢量rre线元矢量drseinrddS er dl dlr面元矢量 e r sin2ddrrrder dlr e sirn dS

7、ld rdrz e d rd rdSe l dr lddV r 2sin drdd体积元球坐标系中的线元、面元和体积元2012-3-18 0（半平面）球坐标系坐标矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系x直角坐标与球坐标系erexeyzin cos sinsinesrcoscossin sinsinscionse coser02012-3-18圆ox直角坐标系与柱坐标系之间坐标矢量的关系yeeyeeexeyerzercossin0esincos0ez001坐标矢量之间的关系圆柱坐标与球坐标系ezzeree圆o柱坐标系与求坐标系之间坐标矢量的关系2012-3-18ereezersin0cosecos0

8、sine010标量场的梯度确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。如果物理量是标量，称该场为标量。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：F、)z(静态标量场和矢量场可分别表示为u：(x ,y,时变标量场和矢量场可分别表示为：u(,x y, z t,)、F(,x y, z t,)2012-3-18标量场的等值面等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。等值面方程：

9、 u ( x , y , z ) C标量场的等值线(面)等值面的特点：常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。u=c1u=c2u=c3等值面族2012-3-18方向导数u | lim u u cos u cos u cos概念：llxyzM 0l 0式中：cos 、 cos 、 cos l 的方向余弦。意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 u lu0u(M)沿l 方向增加； 0u(M)沿l 方向减小；u(M)沿l 方向无变化。lu 0l2012-3-18lrM0Ml方向导数的概念方向导数特点：方向导数既

10、与点M0有关，也与l方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？2012-3-18标量场的梯度其中 er uu er ul |max概念：取得最大值的方向lll意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向梯度的表达式：u eru eruu er直角坐标系xyzxyzu er 1 u er uu er圆柱坐标系 zzu er1 u eru1u er球坐标系rrr r sin2012-3-18标量场的梯度梯度的性质：标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方

11、向上的投影。标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）2012-3-18标量场的梯度梯度运算的基本公式： C 0 ( Cu ) C u ( u v ) u v ( uv ) u v v u f ( u ) f ( u ) u2012-3-18标量场的梯度例1.2.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的矢量。(2) 求该函数 沿量er 60receroso45er矢soocoslxyz方向的方向导数，并以点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。20

12、12-3-18标量场的梯度解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 er )(e r(erx y 2 z)2PxyzPxzye (r2x r e2ye r )er2re2 rexyz(1,1,1)xyz表征其方向的矢量er 2x er 2 y erer ererer232313xyzlxyzP(2x)2 (2 y)2 (1)2P(1,1,1)2012-3-18标量场的梯度(2)导数为由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向 er (er 2x er 2 y er ) (er1 er22 er1 )2lxyzxyzl2 x 2 y 12对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为l

13、1 222 y 1 x 22P1 1 1(2x)2 (2 y)2 (1)2 3而该点的梯度值为P(1,1,1)描述了P点处标量函数 的最大变化率，显然，梯度P 即最大的方向导数，故恒成立。lPP2012-3-18矢量场的通量与散度矢量线概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：dxdydzFx (x, y, z)Fy (x, y, z)Fz (x, y, z)2012-3-18FMdrrr drrO矢量线矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量的概念r er dS d F dS FnSS

14、其中：dS er dS 面积元矢量；n面积元的法向矢量；enr er dS 穿过面积元r 的通量。d FdSn2012-3-18F (endS面积元矢量通量的物理意义矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 0 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。2012-3-18 0 0矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：SF (x, y, z) dS rF (x, y, z) limV

15、V 0称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。2012-3-18散度的表达式rF z 直角坐标系x yzr (圆柱坐标系Fz z球坐标系 r1F 2(r ) r2rC C 0 (为C常矢量)rr C(f)C frr(kF ) k F (k为常量)散度的有关公式：rrrF (G) F G2012-3-18直角坐标系下散度表达式的推导不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则x FxF (x , y , z ) Fx , y , zxx000 x0002x2x0 , y0 ,z0 x Fx, y , z ) F x , y , z

16、 F (x xx000 x0002x2x0 ,0 ,z0由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为F ( x x , y, z ) F ( x x , y, z )yz Fx xyzx000 x000 x222012-3-18zzP y xoyx在直角坐标系中计算 rF直角坐标系下散度表达式的推导同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为rrFFFF x y z yx y z yzd SxzxxyzS根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为FdSrF limSz zVx yV02012-3-18散度定理从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于

17、该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即SF dS V FdV散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。2012-3-18VSS1S2en2en1体积的剖分矢量场的环流与旋度矢量的环流与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。例如：流速场。2012-3-18矢量场的环流与旋度如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即C 0 I 0 S J ( x, y, z) dSB(x, y, z) dl上式建立

18、了磁场的环流与电流的关系。么穿过曲面磁感应线2012-3-18磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线要环流的概念矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即 C F ( x, y , z ) dl如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。2012-3-18矢量场的旋度（ F）矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。环流面密度过点M 作一微小曲面S ，它

19、的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0 时，极限rrrF1Cn limF dlrot n FSS 0M称为矢量场在点M 处沿方向 n 的环流面密度。特点：其值与点M 处的方向 n 有关。CS2012-3-18直角坐标系旋度的表达式r 的示意图推导。rot x Fdr F dr lF l dy dF F lFldll1y1l2l13l4CFz 2F zFy3 (y)z 4F(z )zzy z而3C24M2yzz yy21Moyx计算 rot x F 的示意图2012-3-18M直角坐标系旋度的表达式Fz F(M ) yFy3yz2yMF FF(M )zz4zy2MF

20、y ) yFzF dl (z于是yzCrF dlFrFrotF limCyz故得xSFzyzS0FyrFxrFxrot z F rot y F 同理xyzx2012-3-18矢量场的旋度概念：矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即 F er rotF nnmax理：旋涡源密度矢量。rotF er F性质：nn2012-3-18旋度的计算公式 r直角坐标系 F exxz xy zzxxyyerererxyzxyz圆柱坐标系球坐标系rrersrin rrerrzereee 1Fr1 FrsinFrr rFr sin zz

21、2F2012-3-18旋度的有关公式 C 0f)fC( C (F G ) F G(G) G0FF G F( F)2012-3-18 (u ) 0标量场的梯度的旋度恒为零矢量场的旋度的散度恒为零定理从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即r ldSFFdSC定理是闭合曲线分之间的一个变积分与曲面换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。2012-3-18C曲面的剖分n方向相反大小相等结果抵消散度和旋度的区别 Fv 0, Fv 0 FvFv0.0 FvFvFv F0,00,02012-3-18无旋场与无散场矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲