理论力学合集第四章e

1、第四章质点动力学的 运动定理Objects in motion are said to have a momentum. This momentum is a vector. It has a size and a direction. 第四章 质点动力学的运动定理 动量、动量定理 功 势能 动能、动能定理从基本运动定律导出一些带有普遍意义的关系式. 机械能守恒原理 功能原理 动量矩(角动量）定理 有心力从现代物理学的高度来看，在描述物质的运动和相互作用时，动量能量的概念要比力的概念基本。科学要在万般变化的世界里找出“不变性”，这就是各种各样的“守恒律”。在一定条件下，运动定理成为守恒原理。骑

2、士图 荷兰 M.C.Escher作Work 功:Everyday meaning: any activity that requires muscular or mental effort. 工作，脑力、体力In physics: the work done on an object by a force in a vector displacement is their inner product (scalar) 力与位移的标量积（内积） the same magnitude of force:positive, mines, zero workFrWork: varying forces

3、 or along a curve变化的力或者沿曲线位移下的功的计算：合力所做的功等于分力所做功的代数和。TmgFExample: Find the work done by F when particle m is slowly lifted to the present position. 把小球慢慢推到图示位置，求F的功Solution 1: Solution 2: TmgF（1）平面直角坐标系(planar orthogonal coordinate system)xyOxr0r1yFrs0s1FsWork in different coordinate systems（2）平面“自然

4、”坐标系 (planar intrinsic system)r1rOr0F(,)（3）极坐标系(planar polar system)Power (功率)Everyday meaning: energy or forceIn physics: the time rate at which work is done力的功率等于力与受力点速度的标积Summary on work 功的性质(1) Generally speaking, work is dependent on the path.功是过程量，一般与路径有关。(2) Work is a scalar with magnitude an

5、d signs.功是标量，但有正负。(3) Work done by resultant of all forces equals 合力的功为各分力的功的代数和。Case study 1: Work done by gravitation 引力的功两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:Gravitational work: independent of the path of the body; depends only on the starting

6、 and ending points引力的功：与路径无关，仅仅取决于起点和终点Case study 2: Work done by elastic forces 弹力kOabkOacbOakkOabkOa0Work done by elastic forces: 弹力的功independent of the path of the body; depends only on the starting and ending pointsRule of signs: 符号规则“Work” can be stored and recovered.“功“被存储和提取，“借”与“贷”Conservati

7、ve and nonconservative forces:Work done by a conservative force 保守力的功：(1) Reversible, “work” can be stored in a “BANK”; 可逆，能存取(2) Independent of the path of the body; 与路径无关(3) Zero work for closed path. 闭合路径功为零ABL1L2等价Reversible: you can deposit the “money in the bank and later withdraw without loss

8、 可逆：存储无损耗Can be expressed by the difference between the initial and final value of a certain function, the potential energy. 可以由某个与位置有关的函数的始、末差值来表达势能 币值的统一 Unify the currency: Euro, RMB, , 功与能单位的统一 Energy: Cal, JouleEnergy is defined as the ability to do work. 能量即为做功的能力Work is defined as the transfe

9、r of energy. 做功是能量转化的过程Potential energy(势能) Energy associated with the position of a system.Stored in a system, later recovered.与相互作用物体的位置有关的能量。 Work by conservative forces potential energy势能的增量等于保守力所做功的负值.（负号表示消耗了势能） (1)保守力做功 势能Gravitational potential energy 引力势能Elastic potential energy 弹性势能超重、失重平动

10、参考系：附加重力势能转动参考系：惯性离心力有没有势能？势能的形式是什么？非惯性参考系：惯性力的势能问题关 于 势 能：势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。(3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。(4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。(5) 惯性力可以计及势能，它参考系的选择有关！ (2)势能 保守力梯度：Example: find gravity from gravitational potential V

11、=mgySolution:(3) 1D Energy diagram 一维势能曲线xU(x)The elastic potential energy for a spring弹簧振子的势能曲线U(x)xOA hypothetical potential energy function假想的势能曲线平衡条件Stable equilibrium 稳定平衡？Unstable equilibrium不稳定平衡？Stable equilibrium 稳定平衡条件：U(x)xOA hypothetical potential energy function假想的势能曲线Exercise: 质量为m的物体放

12、在光滑的水平面上, m的两边分别与劲度系数(force constant,spring constant)为k1和k2的两个弹簧相联，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：（1）若以拉力非常缓慢地拉了一段距离l，它做功多少？（2）若拉到距离l后突然不动，拉力做功又如何？fk1k2Solution: (1) f =k1x1=k2x2 x1+x2=x (2) f =k2x2=k2x A(x1, y1)B(x2, y1)C(x2, y2)D(x1, y2)保守力的判据：保守力的判据：Summary on potential energy 小结Work done by a conservative forc

13、e can be represented in terms of a potential energy保守力的功用势能差表示（2）Potential energy is a shared property of the system, not one particle. 势能是系统所共有，不属于一个质点(3) Components of force are 分量式 In vector form 矢量式 Kinetic energy (动能) Energy associated with the motion is T=1/2mv2 A moving object has the ability

14、 to do work A scalar quantityT=1/2mv2Work-energy theorem: The work done by the net force on a particle equals the change in the particles kinetic energy动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体对它所做的功. Kinetic energy T=1/2mv2 is also the ability to do work 运动质点速度改变而所作出的功 牛顿第三定律: 运动质点的1/2mv2 值的减少正等于它所做的功. 运动质点以力f 施于它物所作

15、功: Conservation of mechanical energy 机械能守恒原理Work-energy theorem: The total work done by the net force on a particle equals the change in the particles kinetic energyPotential energy: Mechanical energy is conserved when only conservative forces do work.守恒还是不守恒？与参考系有关吗？kOV Mechanical energy:When only

16、gravitation does work: (1) Near the earths surface 质点高度变化不大: (2) High above the earths surface 质点高度变化很大: When only elastic force does work: 弹性力场: 机械能守恒原理适合于由若干个物体组成的系统（如果系统内只有保守力作功）Work-energy theorem: 功能原理作用于质点的力FAll forces Fc所作的功Wc可用势能的减少来表示.Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示. Dissipative 耗散The work done by al

17、l external and nonconservative forces equals the change in mechanical energy系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。The Law of Conservation of Energy 能量守恒定律Energy is never created or destroyed; it only changes form.在封闭系统内，不论发生何种变化过程，各种形式的能量可以互相转化，但能量的总和是恒量。功总是与能量变化或交换的过程相联系着的，而能量代表着系统在一定状态时所具有的特征，能量的量值只决定于系统的状态，

18、系统在一定的状态时，就具有一定的能量。能量是系统状态的单值函数。 守恒不守恒Conserved: Energy, Momentum, Charge, Not conserved- can be destroyed and created out of nothing! Currency(Wealth), Information, Happiness, 这个世界的一个大秘密：财富可以凭空产生和消失吗？例（P213/164）：飞车演员从光滑的倾斜轨道自由滑下，并进入半径为R的竖直圆形轨道。问出发高度h0 最小应为多少才得以通过竖直圆形轨道而不掉落下来？h0mgR隔离物体 具体分析(单侧的约束运动)

19、建立坐标（二维“自然”坐标）内禀运动运动方程求解及分析（设圆心高度的重力势能为0）根据机械能守恒原理演员通过竖直圆形轨道的条件N0（=）例（P221/170）：Find the mechanical energy of a satellite on a circular path around the earth. (Neglecting the resistance of the air)（1）势能（2）动能RO例（P111/82，212/163）：Find the least initial speed at which an object can escape the gravation

20、al field of the earth.竖直上抛的物体，最小应具有多大的初速度V0才不再回到地球？（第二宇宙速度或逃逸速度）PRO（1）动力学运动定律方法（2）动力学运动定理方法0分析：在无限远处，机械能至少为0。例（P215/166）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。2mvONABMm2r求解及分析在平衡点B周围作小振动，在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理振动系统的相图力学里，经常用到所谓的相空间，即由质点的坐标和速度（或者动量）构成的虚

21、拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解出来。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。以下利用相空间来分析一个自由度的振动系统的运动。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映速度和坐标的依赖关系。例1 研究弹簧振子的相轨迹。试写出相轨迹的方程，画出弹簧振子的相轨迹。 弹簧振子的机械能守恒，给出了速度和坐标的关系，亦即相轨迹的方程。对

22、应于不同的能量，相轨迹皆为椭圆 例：考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角q作为描述系统的坐标。相平面是由描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度下该摆的相图。时，单摆来回摆动；单摆的极限位置为竖直向上，但是在有限的时间内无法达到 摆不再折回，而是绕着固定端转动；Momentum Theorem 动量、动量定理Momentum (动量):Momentum equals mass times velocity.Forces applied over time periods create impulses. Impulse (冲量 I):力对时间的积分Newtons law： 动量定理的微分形式 动量定理的积分形式处理冲击过程The impulse equals the change in momentum. （惯性定律的另一表达式）（分量的守恒关系）Conservation of Momentum 动量守恒例:单个细微粒子撞击一个巨大物体的力是局部而短暂的脉冲，但大量粒子撞击在物体上产生的平均效果是均匀而持续的压力。设粒子流中每个粒子的速度都与物体的截面（壁）垂直，速率皆为v。此外，设每个粒子的质量为m，